引入人口老龄化和国民储蓄率因子的索洛模型

摘要：本文基于索洛模型，引入人口老龄化和国民储蓄率两个影响变量因子，对索罗模型进行扩展，使经济增长的研究方向更加接近现实意义。

关键词：人口老龄化;储蓄率;索洛模型

1索洛模型发展概况

经济增长是人类世代繁衍的核心追求，是经济发展的基础。因此，研究和分析经济增长的变化因素，为就显得尤为重要。许多经济学家和学者在对经济增长的机制研究和探索做出很多的贡献，并且研究模型种类繁多。下面简单介绍一些相关的模型发展历程：

1.1哈罗德-多马模型

20世纪40年代，哈罗德和多马曾最早在经济学中提出了一个结合数学模型，并且具有动态化以及长期化特点的经济增长理论模型，这个模型表明：国家经济增长的变化率等于储蓄率和一个常数的比值，并且假定的产品既是消耗又是资本，哈罗德-多马模型的这个固定系数在短期中才有现实性，而经济增长理论讨论的是一个长期的表现，因此这个固定系数的缺陷受到了很多经济学派的批评，所以很快被索洛模型修正并取代。

1.2索洛-斯旺模型

罗伯特·索洛（Solow）和斯旺（Swan）在1956年提出的索洛模型又称索洛-斯旺模型，他们弃用了哈罗德-多马模型中的许多不合理的假设，例如把生产函数固定系数不变的假设推翻，并使用柯布-道格拉斯生产函数。根据索洛模型假定的柯布-道格拉斯生产函数，并且还假定产量分为消费和投资，而现存的资本又有相应的折旧，其中s是投资的比例，δ是折旧率。根据链式法求解可得：

dkdt=sf（k）-（n+g+δ）k

2引入老年人口占比及国民储蓄率的索洛模型

传统增长模型的劳动L（t）利用人口来对进行衡量。即假定每个人都会对社会做出劳动贡献，并且贡献也是相同的，但现实生活中真正对经济提供劳动的人口，是适龄劳动人口（15～64岁）。传统的经济增长模型可表达为：

Y（t）=F（K（t），A（t）L（t））（2.1）

其中表示时间，而K（t）、A（t）、L（t）分别是与时间有关但和时间没有直接关系的资本、知识（或劳动的有效性）、劳动。本文以同样方式假定该生产函数是规模报酬不变的，用公式表达：

F（cK，cAL）=cF（K，AL），Ac≥0（2.2）

设总人口为N（t），其中，u指的是老年人口占总人口的比值，h指的是少儿人口占总人口的比值。

F（kAf（u，h）N，1）=1Af（u，h）NF（K，Af（u，h）N）（2.3）

因为有效劳动的总产出Y0按照投资比例进行投资，即Y0=F（K，Af（u，h）N），记Yu是用于養老部分的，Yh是用于抚养少儿部分的，那么Y0是在总产出Y扣除两部分抚养和赡养的消费后剩余的，用公式表达：

Y0=Y-Yu-Yh（2.4）

s=st（1-uq1-hq2）（2.5）

其中，st是指t时刻我国的国民储蓄率，s是我国经济发展中用于资本投资的比例。

同样的，k是指每单位有效劳动的平均资本产量，即：

k=kAf（u，h）N（2.6）

则（2.3）式子就可以简写成：

y=f（k）=F（k，1）=kα（2.7）

3扩展索洛模型的动态过程

本文同样对劳动、知识和资本是随时间的变化做出假定其中，劳动和知识可以假定为指数增长的，即劳动力和知识技术是以不变的速度增长：

dN（t）dt=nN（t）

dN（t）dt=gA（t）（3.1）

我国产量中用于投资的比例是按s进行投资，因此每单位投资的产品可以产生新的一单位资本，并且现存的资本是以δ为折旧率进行折旧。那么就有：

dkdt=sY0-δK（t）（3.2）

将公式（2.4）带入上式可得：

dkdt=St（1-uq1-hqz）Y-δK（t）（3.3）

本文猜测，经济可能随时间的增长而增长，那么可以从每单位有效劳动的平均资本存量k入手着重考虑，这样就比直接考虑资本存量K容易。因为k=kAf（u，h）N，f（u，h）=1-u-h，则可以用链式法对（2.11）求解：

dk（t）dt=st（1-uq1-hqz）y-（δ+n+g-u+h1-u-h）k（t）（3.4）

方程（3.4）是引入我国国民储蓄率以及老龄化因子的新索洛模型关键方程，其中，第一项由公式（3.4）可知y是每单位有效劳动的平均产量，而st（1-uq1-hqz）是我国用于投资的比例s。

4均衡增长路径

观察公式（3.4），第一项的实际投资的数学含义是一个常数乘以每单位有效劳动的产量，而第二项的持平投资数学含义是一条与k（t）成正比的直线，因为最开始是从0开始，所以两个函数的第一个交点在原点，并且发现实际投资的斜率f′（k）会由大变小直至慢慢变成0，即曲线会由陡慢慢变得平坦，这两条线最终将相较于一点（第二次相交），（如图2.1所示）并且f〞（k）<0，所以说这个曲线是一个向上凸的函数图像，那么与直线（持平投资的函数图像）只有除原点以外唯一的一次相交，我们把这个点记作K*，称为这个动态方程的均衡点。

当f′（k）=0时，求解可得：

y*（t）=（st（1-uq1-hqz）δ+n+g-11-u-h+1）α1-α（4.1）

对公式（4.1）两边同时取对数可得：

lny*（t）=α1-α[lnst+ln（1-uq1-hqz）-ln（δ+n+g-11-u-h+1）]（4.2）

由图4.1，我们可以看出两项之差的值由0逐渐变大再变到0，并且以均衡点为分界点，之前实际投资大于持平投资即是大于零的两项之差，之后是小于零的两项之差即实际投资小于持平投资。观察图4.2，可知无论k是从什么值开始，都是向k*收敛的（忽略k一开始就停留在原点的情况）。当模型是收敛于k*时，为了研究我国人口老龄化和国民储蓄率对经济的影响，首先分别求偏导数：

由上面偏导数的结果分析，可初步看出：我国国民储蓄率对最优的人均GDP增长率具有正向的促进影响（0<α<1，δ、n、g均是大于0的常数，0<1-u-h，0

参考文献

[1]Solow R M. A Contribution to the Theory of Economic Growth[J]. Quarterly Journal of Economics， 1956， 70（1）：65-94.

[2]张瞻基，李博文.人口年龄结构、储蓄率与经济增长关系的路径研究——基于修正索罗模型的研究[J].中国市场，2014（12）：57-60.

[3]姚帅.浅谈索洛模型与现代观点[J].时代金融.

[4]黄娟，黄宁阳.武汉市经济增长贡献因素的现状研究——基于索洛模型的分析[J].湖南农业科学，2018（08）

作者简介：沈炀，（1993.11-），男，汉，河南安阳人，助教，硕士研究生，从事中学数学教材研究、统计学金融方向研究。