一种超级梁单元桁架式臂架结构强度荷载计算

徐 金 帅， 齐 朝 晖*， 高 凌 翀， 卓 英 鹏， 李 强

(1.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连 116024；2.慕尼黑工业大学 物流搬运与起重研究所，德国 加尔兴 85748；3.太原重工股份有限公司，山西 太原 030021)

0 引 言

以桁架式臂节组装臂架作为主承载结构的臂架型起重机主要有履带式起重机、桅杆式起重机、塔式起重机等.臂架结构的承载能力是起重机的关键指标之一，主要由臂架结构强度、臂架稳定性两方面确定[1].臂架长度不断增加，在承载后有明显的变形，体现出几何非线性效应[2]，文献[3-5]在臂架稳定性计算方面做了大量研究.桁架式臂架具有组合规则、计算工况多的特点，工程技术人员通常依据现有国家规范的解析计算以及采用商用有限元软件建立相应的计算模型进行计算[6].随着起重机吨位的不断增加，臂架长度加长，采用这类计算方式存在明显的不足：(1)基于国家规范的结构应力解析计算方法[7]，在具有几何非线性效应的臂架计算中，通常采用带有经验特点的放大系数法对线性结构应力进行放大，虽然计算效率高，但所得到的结果往往偏于危险.(2)应用商用有限元软件计算时，由于臂架计算工况多以及结构自由度大，在长臂架的几何非线性计算中，计算效率低，同时还需要通过试算方式结合人为判断确定结构强度承载能力.如何满足桁架式臂架在工程中使用安全的前提下提高设计计算效率，成为一个非常实际的问题.

工程中的桁架式臂架，虽然承载后整体上存在较大变形，但在每个臂节结构中，仍属于小变形情况，因此，可根据臂架组合将其划分为多个子结构.子结构法能够大幅度削减所要求解的平衡方程的维数[8]，提高计算效率，在大量工程中一直被广泛应用[9-11].工程中针对以梁杆单元组成的空间框架结构的几何非线性计算，构造一种新的非线性单元也是很多研究人员专注的一个研究方向[12-14]，并且在一些框架结构中得到了应用.而应用共旋坐标法[15]解决这类工程问题相对于应用全量拉格朗日方法、增量拉格朗日方法以及二者混用的混合法体现出简单、高效的特点，同时并不需要构造新的非线性单元[16]，可以充分利用线性有限元所积累的大量成果.在考虑结构几何非线性效应的前提下，对于结构强度决定的承载能力进行快速搜索也是提高计算效率的途径之一，采用一维搜索中的黄金分割法[17]虽然能够进行其承载能力的搜索，但由于搜索区间的长度缩短比率为常数，其收敛速度较慢[18].

因此针对组合规则多、长度多变的桁架式臂架，本文在考虑臂节重力影响的基础上，基于静力凝聚法，针对每个臂节建立可参数化的两节点超级梁单元，以实现臂架参数化的快速建模.基于共旋坐标法考虑臂架的几何非线性效应，在得到单元的节点力之后，快速计算臂架的结构应力，同时提出一种臂架结构强度承载能力快速搜索方法，对于提高桁架式臂架起重机的计算效率以及结构安全性研究提供参考.

1 桁架式臂架的特点

桁架式臂架结构均为格构式，由于安装、运输等参数尺寸要符合相关国家运输标准要求，需拆分为多个独立的臂节，其臂节的组合可根据相应臂架的设计参数进行合理组装，形成不同长度参数的臂架，如图1所示.

图1 桁架式臂架起重机

臂架主结构由多根型材组成，称之为弦杆，弦杆之间通过销轴或者焊接形式的缀条连接，缀条称之为腹杆.这种结构形式在一定的空间尺寸上具有更好的抗弯与抗扭能力，能够承载更大的荷载.臂节一般可以分为底节、不同长度的中间节、变截面节、臂头等部件，如图2所示.

图2 臂节的基本形式

在确定臂节种类之后，不同长度的臂架组合通过配置不同臂节实现.因此，桁架式臂架组合只需要建立少量参数化的臂节，就可以快速实现不同臂节参数与臂架长度的组合.底节局部与臂头为刚度大的板梁组合结构，计算中作为刚体考虑.很多桁架式臂架起重机的臂架具有较大范围的工作角度，以单主臂为例，一般具有与水平面30°到85°夹角的连续工作范围，如图3所示.以带有超起桅杆结构的履带起重机为例，超起桅杆有3种工作角度，主臂以2°为离散间隔计算点，需要计算的离散点的数量接近900个，表1为太原重工750 t履带起重机主臂的组合表，也体现出需要计算大量臂架工况，因而一种快速的建模与计算方法对于桁架式臂架的计算有重要意义.

图3 履带起重机超起型主臂

表1 臂架组合参数

2 臂节子结构坐标系

建立每个臂节的臂节子结构坐标系(后文均称为臂节坐标系)，如图4所示，可以清晰地描述单个臂节内部单元在臂节坐标系的节点位移与截面转角，同时方便表达臂节坐标系相对于总体坐标系的大转动.单个臂节左右端面形心在总体坐标系的矢径分别为r1、r2.

图4 臂节子结构坐标系

在臂节子结构左端面，选择臂节一侧变幅平面内的两个点中心作为辅助参考点p，臂节坐标系可以按照如下原则建立：

(1)

臂节坐标系相对于总体坐标系的参数转换矩阵(坐标系基矢量为列向量)为

(2)

(3)

臂节右端面形心位移在臂节坐标系中的速度：

(4)

(5)

辅助参考点在臂节坐标系下的速度：

(6)

式中：ω1为左端面在总体坐标系上转动角速度；p=r3-r1，为点p在总体坐标系中的矢径.

结合臂节坐标系的定义，r2-r1在b2与b3轴上分量为0，矢径p在b2轴上分量为0，那么位移协调条件为

(7)

由式(7)可以得到速度协调方程：

(8)

根据臂节坐标系建立原则：

(9)

其中k1、k2、k2为常数，将式(9)代入式(8)，可以得到

(10)

根据式(10)可以得到臂节坐标系的角速度ωgs：

(11)

其中

(12)

3 考虑重力离散的臂节超级梁单元

桁架式臂架中的大量臂节内部节点除重力作用外，不承受外部荷载，而且重力加速度方向在总体坐标系中的方向保持不变，从而可采用静力凝聚的方法[8]，未知量为臂节两端节点自由度，内部自由度由两端节点自由度表达，从而实现自由度的凝聚，达到降低计算自由度数量的目的.

3.1 考虑重力离散的臂节内部自由度凝聚

采用文献[8]中对于子结构自由度凝聚的方法，可以总结为

(1)在重力影响不能忽略的情况下，可以将重力离散到所有节点上，得到每个单元的重力离散系数矩阵，针对整个结构进行重力离散系数组装；

(2)对于子结构的边界节点、内部自由节点的受力，在进行整体分析之前，虽然3种外力是未知的，但是可以确定其处于平衡状态，建立子结构的平衡方程；

(3)在消除结构刚体位移的前提下，内部节点自由度总可以用边界节点自由度表达.

图5为桁架式臂节的节点分类图，单个臂节的等效刚度矩阵为

图5 臂节子结构节点分类

(13)

等效刚度阵中的子矩阵

(14)

重力离散系数矩阵

(15)

其中，单个臂节刚度阵

(16)

单个臂节重力离散系数矩阵

(17)

3.2 臂节的超级梁单元

臂节连接端部均有加强直腹杆等局部加强结构进行连接，刚度较大.为提高求解的效率，假设臂节端面为刚性截面，进行第二次凝聚，将子结构端面节点的自由度用端面中心点的自由度表示，形成臂节两节点超级梁单元，如图6所示.

图6 臂节超级梁单元示意图

对于在臂节子结构左右端面上任意一节点，其位移与转角可以表达为

(18)

节点参数转换矩阵

(19)

根据式(19)以及臂节两端面边界节点数，可以组装得到边界节点参数与端面形心节点参数转换矩阵T，通过边界节点虚功率方程可以推导出超级梁单元等效刚度阵K与等效重力离散系数矩阵V.

(20)

这样每个臂节作为一个子结构，通过对其自由度的凝聚，形成了具有两个节点的超级梁单元，但是却完整保留了整个臂节的几何与力学信息.

4 参数化的臂节建模

4.1 臂节的参数化模型

产品设计计算是一个不断反复迭代修正的过程，建立可参数化的计算模型，实现对模型参数的修改，快速生成新的计算模型，对工程起重机设计计算有着重要意义.表2中以桁架式臂架的一个中间节为例，通过对表中臂节特征参数进行参数化设计，可以快速建立起对应的具有超级梁单元特征的臂节结构.参数化臂节模型见图7.

表2 中间节参数

图7 参数化臂节模型

4.2 参数化臂节的组装

如图8，每个臂节转换为具有两个节点的超级梁单元，单元的节点包括3个平动自由度和3个转动自由度，将所有臂节进行组装形成整体臂架，这样就从很大程度上减少了整个臂架计算过程中求解非线性方程的个数，提高了计算效率.

图8 臂架组合

5 臂节子结构节点力平衡方程

超级梁单元内的任意一点位移为u，在总体坐标系中速度为

(21)

总体坐标系中，超级梁单元的重力虚功率：

(22)

将式(21)代入式(22)：

(23)

由臂节子结构端面形心自由度所表达的子结构变形虚功率方程为

(24)

根据角速度的叠加原理[19]，超级梁单元左右端面在臂节坐标系中的转动角速度可以由臂节坐标系的转动角速度和梁单元端面在总体坐标系下的转动角速度表达：

(25)

在臂节坐标系中，臂节端面的转动均是小转动[20]，相应转动角速度与转动矢量变化率之间存在下面的关系：

(26)

式中

在臂节坐标系下，可以建立节点速度与端面角速度之间的关系：

(27)

式中Tθ为转动矢量的转换矩阵：

(28)

将式(11)代入式(25)，并结合式(4)，得到臂节坐标系与总体坐标系下节点速度与端面角速度之间的关系：

(29)

Ts为两者的转换矩阵：

(30)

综合式(27)、(29)可以得到：

(31)

式中

(32)

(33)

将式(11)代入重力虚功率式(23)前两项得

(34)

式中

式(23)第3项：

(35)

臂节子结构内力虚功率与重力产生的虚功率之差：

(36)

其中臂节坐标系下结构的广义节点力

(37)

式(36)给出了臂节结构由内力与重力在总体坐标系下产生的广义力，那么臂节子结构的平衡方程可以表达为

(38)

式中TQ来源于臂架所承受的外部荷载.

6 单元应力计算与强度荷载搜索

6.1 重力均布的梁单元应力计算

对于梁单元应力的计算，通常的处理方式是单元自重以等效节点力的方式作用到单元节点上，单元内部不受重力，而准确的描述应该是重力以均布荷载作用于整个单元，从而相对准确地计算单元的最大应力位置，并且可以得到应力在整个单元的分布情况.

(39)

式中梁单元重力的等效节点力为

(40)

重力加速度在梁单元坐标系下：

(41)

梁单元中距梁单元坐标系原点长度为L的截面上节点力：

(42)

式中：ρ为梁单元材料密度，A为截面面积，(F1xF1yF1zM1xM1yM1z)为梁单元坐标系下节点的节点力.

单元截面轴向拉压应力和弯曲应力合成单元的正应力，图9所示为轴向应力与弯曲应力的组合示意图.

图9 组合应力

轴向力在梁单元截面上正应力

(43)

弯矩在梁单元截面上的弯曲应力

(44)

式中：Wy、Wz为梁单元的抗弯模量.

剪切应力在各截面上是相等的，在中性轴处剪切应力最大：

(45)

扭转剪切应力在梁单元各截面相等，其最大值为

(46)

式中：Wt为梁单元的抗扭模量.

分别对合成正应力与剪切应力求导，可得到最大应力对应的长度参数Lmax.

(47)

梁单元Lmax截面处最大正应力与剪切应力为

(48)

6.2 强度荷载搜索

使桁架式臂架结构达到材料许用应力的荷载称之为强度荷载，强度荷载搜索为一试算过程，而搜索次数很大程度上影响计算效率.本文采用一种基于两点线性插值与三点二次插值的快速搜索强度荷载方法.首先确定一个相对精度较低的荷载区间，通过线性插值方式得到一个更接近结构强度应力的荷载，从而得到了3个荷载点.利用三点插值得到一个新的荷载，在此荷载基础上比较计算应力与结构许用应力之间的精度，在未满足精度要求的情况下，重新选择合适的两点进行再次计算，从而最终搜索到满足精度要求的臂架强度荷载，计算流程如图10所示.

图10 强度荷载搜索流程图

对于确定型号的臂架式起重机而言，明确臂架类型的最大起重量是确定的，以此数据可以确定一个合理的荷载区间[Q0，Q1，…，Qn].初始计算区间假设为[Qn-1，Qn]，在P0=Qn-1和P1=Qn作用下，计算臂架中单元的最大应力σ0和σ1，利用线性插值原理选取荷载：

(49)

σ2为荷载P2作用下的单元最大应力，对比σ2与结构许用应力σn=[σ]的数值差是否满足精度要求.未满足要求情况下，针对P0、P1、P2，采用二次插值方式得到更为接近σn的荷载：

(50)

σ3为荷载P3作用下的单元最大应力，计算σ3与[σ]的差，对比精度要求，实现一次搜索.

(51)

如不满足精度要求，继续搜索强度荷载.

7 数值算例

7.1 空间悬臂桁架结构

建立桁架式结构(参数见表3)组成的具有明显几何非线性效应空间结构，采用本文的计算方法计算，与有限元软件ANSYS在开启大变形条件下的计算结果进行数值对比.

桁架式结构左端面约束所有自由度；右端为自由端，承受竖直方向荷载.桁架式结构如图11所示，本文与ANSYS位移见图12.

图11 桁架式结构示意图

图12 荷载150 kN下的位移

分析数据是基于单肢弦杆单元数量为2的前提下进行的对比.从表4中可见：本文位移计算与ANSYS误差在0.3%左右，最大应力误差在5%以内，并且随着计算应力接近本结构材料许用应力，误差不断减小，能够满足工程要求.

表4 桁架式结构位移与应力

单元数量对于计算精度以及计算规模都有着影响，可根据所需要计算对象的实际需求进行综合考虑.以本算例中ANSYS计算模型进行网格密度改变，对其最大位移以及最大应力进行对比，可以发现随着网格密度增加，最大位移变化在0.6%以内，对于网格密度的变化并不敏感.单元最大应力随着网格密度的增加而呈现收敛趋势，最大应力变化在10%以内，如图13所示.

图13 不同网格密度下应力收敛曲线

7.2 桁架式起重机臂架

以太原重工750 t履带起重机超起84 m主臂为例，具体参数如下：臂架工作角度为30°～85°；侧向荷载与吊重荷载比为1.5%；弦杆屈服强度、抗拉强度、许用应力分别为890、960、583 MPa；腹杆屈服强度、抗拉强度、许用应力分别为770、820、501 MPa；超起桅杆长度为31.5 m；超起桅杆工作角度为120°；单侧拉板截面面积为0.004 68 m2.在考虑结构几何非线性的情况下，得到相应荷载下的节点力，实现了对臂架强度荷载的快速搜索，得到臂架强度决定的起重性能曲线，如图14所示.图15、16为3个工况计算结果.图17为72 m作业幅度工况下臂架头部侧向位移随着荷载增加的曲线，可以看出，随着荷载不断增加，臂架的几何非线性效应更加明显.

图14 84 m主臂结构强度荷载曲线

图15 84 m主臂正应力云图

图16 72 m作业幅度变形图(5倍)

图17 72 m作业幅度臂头侧向位移曲线

从计算时间上，本文方法与ANSYS软件计算对比，在考虑最小增量荷载为2 kN的前提下，本文单个工况的计算时间约为10 s，ANSYS软件采用几何非线性计算的时间约为300 s，本文方法计算效率有着很大提高.

8 结 语

针对桁架式起重机臂架，基于子结构方法，在考虑重力离散的前提下，通过两次结构自由度凝聚，形成一种可用于快速参数化建模与计算的超级梁单元，可快速组装参数化的臂架模型.采用共旋坐标法计算结构的几何非线性效应，建立臂节子结构的节点力平衡方程，进而计算臂架强度.提出一种基于插值方式的强度荷载搜索方法，能够实现对桁架式臂架强度荷载的快速搜索，在满足计算精度的前提下实现高效率的计算.通过数值算例验证了本方法的正确性与合理性.