考虑滑移效应的钢-混组合梁桥车桥振动分析

2021-03-22谢轩晨颜全胜

河南科学 2021年2期

谢轩晨，颜全胜

（华南理工大学土木与交通学院，广州 510641）

钢-混组合梁充分发挥了钢材的抗拉性能与混凝土材料的抗压性能，因此在工程实践中大量被应用.特别在中等跨径的铁路桥梁选型中，钢-混组合梁桥凭借其自重小、施工方便等特点具有较大优势. 组合梁两种材料的界面间并非完全连接，滑移效应对组合梁的静、动力特性具有较大影响［1-2］. 过去主要研究针对静力作用下滑移效应的影响：Newmark 等［3］建立了考虑滑移效应组合梁的控制微分方程；Dall’Asta 等［4-5］采用不同格式的组合梁单元研究了考虑滑移效应组合梁的静力非线性问题；贾布裕等［6］基于总体拉格朗日列式和Newmark模式，推导了非线性组合梁单元刚度矩阵，能够考虑滑移效应、几何非线性和材料非线性的影响，并对若干算例进行了非线性数值分析，随后在此基础上采用随机有限元法进行了静力可靠度分析［7］.Ranzi等［8］建立了仅考虑钢主梁剪切变形与界面滑移的组合梁有限单元模型，并对长期效应下组合简支、连续梁的力学性能进行参数研究. 然而列车荷载作为一种动力荷载，是铁路桥梁运营期间受到的最主要的外力作用，考虑滑移效应的影响，组合梁车桥动力相互作用研究不多，侯忠明等［9-11］推导了钢-混组合简支梁基本动力特性的解析解，对移动荷载作用下钢混组合简支梁动力响应进行了理论和试验研究，最后对一座3跨钢-混铁路连续结合梁桥进行自振特性分析和车桥振动分析并与实测结果进行对比，但其用弹簧单元模拟柔性剪力连接件，建模过程较为复杂. 杜谷春［12］采用考虑滑移效应和箱梁剪力滞效应的空间组合梁单元对组合梁进行模拟，并进行车桥振动分析，其组合梁单元的轴向位移场采用线性函数近似，存在滑移锁定问题［13］.

本文采用考虑滑移效应的10自由度平面钢-混组合梁单元，结合线性简化的轮轨切线近似模型和平面列车模型，建立了列车-轨道-组合梁桥系统的竖向振动分析模型，采用数值算例验证了编制程序的正确性，通过一个算例，探讨了滑移刚度及行车速度对组合简支梁桥竖向振动响应的影响.

1 列车-轨道-桥梁系统

1.1 车辆系统

列车采用10自由度四轴车模型，如图1所示. 以单个车辆为例，考虑车体沉浮运动uc与点头运动θc、转向架沉浮运动uti（i=1，2）与点头运动θti（i=1，2）、轮对沉浮运动uwi（i=1～4）共10个自由度，车体与转向架之间通过二系悬挂系统连接，转向架与轮对之间通过一系悬挂系统连接，各悬挂系统均通过线性弹簧、阻尼来模拟，一系弹簧的刚度、阻尼分别为ktw、ctw，二系弹簧的刚度、阻尼分别为kct、cct，作用在轮轴上的力为Pwi（i=1～4）.

组合梁部分采用考虑滑移效应的平面组合梁单元模拟，如图2所示，其基本假定为：

1）上下部构件均采用欧拉伯努利梁假设（忽略剪切变形的影响）；

2）不考虑界面的掀起效应，即上下部构件的竖向位移场用同一个竖向位移场来表示；

3）界面间的连接件均匀分布.

10自由度组合梁单元通过内置两个轴向自由度来提高轴向位移场的阶次，使得轴向位移场与竖向位移场导数的阶次一致，从而避免滑移锁定的发生，其单元弹性刚度矩阵的推导在文献［6］中已有详细描述. 对于钢-混组合梁，连接件质量比混凝土板、钢主梁的质量小得多，忽略其影响，推导该单元的一致质量矩阵.

一个组合梁单元共i、j、k三个节点，i、j、k分别位于单元中x=0、x=L/2、x=L 处，L为单元长度. 组合梁单元的节点位移向量为

图1 四轴车辆模型计算简图Fig.1 Calculation diagram of four-axis vehicle

图2 钢轨-组合梁单元图示Fig.2 Diagram of rail-composite beam element

其中：u 表示形心处轴向位移；v 表示截面竖向位移；θ 表示截面转角. 第一个下标表示构件类型（c表示上部混凝土桥面板，s表示下部钢主梁，b表示组合梁整体），第二个下标表示在单元中的位置. 则uci为i节点处的上部混凝土桥面板形心处轴向位移，usi为i节点处下部钢主梁形心处轴向位移，vbi为i节点处组合梁截面的竖向位移，θbi为i节点处组合梁截面的转角，对于j、k节点同理.

由节点位移表征的单元位移场为

式中：δ 为变分符号，作用在位移场上表示虚位移场；ρ 为密度场（ ρc为混凝土桥面板密度，ρs为钢主梁密度）；V 为体积（Vc为混凝土桥面板体积，Vs为钢主梁体积）.

对于车桥耦合问题，其结构动挠度一般十分微小，因此可忽略（2）式中导数项引起的惯性力，将（2）式代入（3）式，采用矩阵记号，可得

钢轨单元采用2节点欧拉梁单元模拟，不考虑轴向自由度，每个单元共4个自由度. 对于双块式无砟轨道，钢轨与组合梁间的介质可简化为均匀分布的线性弹簧和阻尼［14］，通过单元矩阵的组集计入对总系统的贡献，其单元节点位移向量为

其中：下标r 表示钢轨构件；vri、θri分别为钢轨单元i 节点处截面竖向位移和转角，j 节点同理. 节点位移向量对应的单元刚度矩阵和单元阻尼矩阵分别为

其中：krb和crb分别为均匀分布在钢轨与桥梁间的线刚度和线阻尼；式（10）中的插值函数Ni（i=1～4）与式（5）中的插值函数表达式一致.

1.2 轮轨相互作用

轮轨相互作用模型是车桥耦合振动的核心，对求解结果影响很大. 对于车桥竖向振动研究，目前主要有密贴接触和非密贴接触两种类型的轮轨相互作用模型［15-16］. 密贴接触模型假定轮对运动与接触处的轨道运动一致，通过相容条件可对系统方程进行求解. 该模型本质是线性模型，通过对运动方程移项处理可避免迭代求解，应用十分简便，但密贴假设与真实情况存在差异；非密贴接触模型考虑独立的轮对自由度，通过引入轮轨相对位移与轮轨接触力的关系得到可求解的系统方程组. 接触力与轮轨相对位移的关系通常采用赫兹非线性接触模型，由于非线性轮轨关系的引入，系统方程一般需通过迭代法求解.

兼顾求解效率与真实性，本文采用文献［17］提出的轮轨切线近似模型，该模型取静轮重压缩量处的切线刚度将接触力与轮轨相对位移关系作线性化处理，极大提高了系统方程的求解效率，由线性化引起的误差仍在可接受范围内. 切线近似模型竖向轮轨力的表达式为

1.3 系统方程组及求解

按照常规有限元法生成总矩阵的模式［18］，将各车辆单元矩阵、桥梁单元矩阵、钢轨单元矩阵以及桥梁钢轨相互作用单元矩阵按自由度进行编号形成单元自由度定位向量，并集成系统刚度、阻尼和质量矩阵，施加边界条件，仅考虑高低不平顺影响，则车辆-轨道-桥梁系统运动方程为

其中：Mc、Mr、Mb分别为车辆系统、钢轨系统以及桥梁系统的质量矩阵；Cc、Cr、Cb分别为车辆系统、钢轨系统以及桥梁系统的阻尼矩阵；Kc、Kr、Kb分别为车辆系统、钢轨系统以及桥梁系统的刚度矩阵；Δc、Δr、Δb分别为车辆系统、钢轨系统和桥梁系统的节点位移向量；Δ̇c、Δ̇r、Δ̇b分别为车辆系统、钢轨系统和桥梁系统的节点速度向量；Δ̈c、Δ̈r、Δ̈b分别为车辆系统、钢轨系统和桥梁系统的节点加速度向量；Crb、Krb分别为桥梁轨道相互作用阻尼矩阵和刚度矩阵；Kq和Fq分别为由竖向轮轨力引起的车轨系统附加刚度矩阵、附加轮轨力向量［17］.

确定初始条件后，上述方程可通过任意一种逐步积分法求解. 本文基于MATLAB科学计算平台编写了列车-轨道-组合梁桥系统动力响应程序，采用Newmark- β 法对方程求解，在求解的每一时间步，首先更新车辆位置，计算附加刚度矩阵和附加轮轨力向量；通过单元自由度定位向量将附加矩阵、向量集成至总刚度阵和总荷载向量中；最后求解等效线性方程组获取该时间步的解答，该方法易于编程且计算效率高.

2 数值验证

为验证编制程序的可靠性和10自由度组合梁单元的适用性，对文献［19］中算例的单一材料简支梁的算例进行了修改，根据截面刚度和截面线密度等效原则，将单一材料简支梁参数换算为等效的完全连接组合梁参数，上下层截面均等效为矩形截面. 混凝土桥面板参数：面积Ac=0.358 m2，弹性模量Ec=3.45×1010Pa，材料密度ρc=2500 kg/m3，截面惯性矩Ic=0.007 2 m4；钢主梁参数：面积As=0.179 m2，弹性模量Es=2.1×1011Pa，材料密度ρc=7850 kg/m3，截面惯性矩Is=0.014 4 m4；混凝土截面形心至钢梁截面形心距离h=0.736 5 m，组合简支梁跨度Lb=30 m，忽略简支梁阻尼的影响.

通过无量纲滑移刚度系数α 来表征连接件刚度［1］，

图3 移动常量力作用下组合梁计算简图Fig.3 Calculation diagram of a composite beam under a moving constant force

式中：kS为连接件刚度，单位为N/m2.

分别计算移动常量力和移动弹簧质量作用下组合简支梁的动力响应.

2.1 移动常量力作用

如图3 所示，常力P 大小为56 350 N，其以移动速度vc=27.78 m/s 从组合梁的一端移动至另一端. 将组合简支梁用4 个组合梁单元进行离散，采用时程逐步积分法求解. 将所得跨中竖向位移时程与换算前单一材料简支梁在移动常量力作用下的前5 阶模态解析解进行对比，如图4 所示. 结果表明，当滑移刚度系数α 足够大时α=50，组合梁接近完全连接，其位移响应与解析解相当一致. 值得注意的是，当荷载作用在梁上时，滑移刚度α ≥20 情况下，位移时程曲线与解析解基本吻合. 当荷载离开简支梁后，α=20 情况下，位移时程与解析解存在较大差别，这是因为此时的组合梁进行无阻尼自由振动，其位移时程完全取决于卸载时刻的运动状态. 当α小于一定值时，组合梁跨中最大位移约为完全连接组合梁的2.5 倍，可见滑移效应的影响不可忽略.

2.2 移动弹簧质量作用

如图5所示，采用弹簧质量模型模拟桥上的车辆，上部质量块mc用于模拟车体，其质量为5750 kg，下部质量块mw用于模拟车轮，忽略其质量（质量取0），两个质量块通过竖向弹簧相连，弹簧刚度为1.595×106N/m，弹簧质量模型以移动速度vc=27.78 m/s 从组合梁的一端移动至另一端.

对组合梁采用前述算例相同的单元划分，不考虑轨道不平顺和轨道参振，采用轮轨切线近似模型，将不同刚度系数下的组合简支梁跨中竖向位移时程、簧上质量块竖向加速度时程与文献［19］中单一材料简支梁数值结果对比，如图6所示. 当滑移刚度系数α ≥20 时，组合简支梁滑移效应的影响可忽略不计，其结果与单一材料简支梁基本一致，从而验证了编制程序的正确性及该组合梁模型在车桥耦合分析中的合理性.

图4 竖向位移时程Fig.4 The time histories of vertical displacements

图5 移动弹簧质量作用下组合梁计算简图Fig.5 Calculation diagram of a composite beam under a moving sprung mass

图6 竖向位移时程和竖向加速度时程Fig.6 The time histories of vertical displacements and vertical acceleration

3 列车-轨道-桥梁系统动力响应分析

3.1 车轨桥系统概况

列车-轨道-组合简支梁桥系统如图7所示. 车辆系统采用10辆车进行编组，车辆系统参数见表1.

图7 车轨桥系统示意图Fig.7 Schematic diagram of vehicle-rail-bridge system

表1 车辆系统参数表Tab.1 Parameters table of vehicle system

钢轨全长890 m，桥梁为3跨组合简支梁，钢轨由组合梁支撑. 为保证车辆平稳通过桥梁，在桥梁两端各设有400 m刚性路基段. 钢轨与路基、钢轨与桥梁间的道床简化为均匀分布的弹簧、阻尼，桥梁阻尼采用瑞利阻尼，桥轨系统的详细参数见表2. 组合梁划分5 m一个单元，桥上钢轨同采用5 m一个单元，刚性路基上钢轨采用20 m一个单元，共76个单元，时间积分步长取0.005 s.

表2 桥梁轨道系统参数表Tab.2 Parameter table of bridge-rail system

3.2 轨道不平顺激励

考虑高低不平顺激励的影响，本文选取美国六级高低不平顺谱，模拟不平顺波长范围0.5～80 m，采用逆傅里叶变换法［20］，得到高低不平顺空间域样本，如图8所示.

3.3 计算工况

计算不同滑移刚度、行车速度下的系统响应，车速分别取40、60、80、100、120、140、160、180、200、220、240、260（单位：km/h），滑移刚度系数分别取0.1、1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、20，两两对应共144个组合.

3.4 计算结果及分析

分析行车速度为100 km/h时的系统响应结果. 图9为不同滑移刚度条件下，第二跨组合简支梁跨中位移时程曲线. 当车辆未在桥上时，跨中位移十分微小，表明钢轨及道床对振动能量的纵向传递十分有限. 跨中位移时程随滑移刚度的增大而逐渐减小，当滑移刚度系数α>9 时，位移时程曲线趋于稳定. 图10为第二跨组合简支梁跨中加速度幅值谱，频谱显示，能量主要集中2～16 Hz、30～60 Hz范围内，在2～16 Hz 范围内的加速度能量分布随滑移刚度增大向高频方向缓慢移动，当滑移刚度足够大时不再随滑移刚度的增大而变化，而在30～60 Hz 范围内，加速度能量随滑移刚度增大有略微减少的趋势，其表明滑移刚度主要影响车辆对该组合梁的低频作用. 图11为第一辆车的车体竖向加速度时程，从中可以看出，车体加速度几乎不随滑移刚度的变化而变化，滑移刚度对行车舒适性的影响可忽略不计.

图8 高低不平顺样本Fig.8 Sample of vertical irregularities

图9 竖向位移时程Fig.9 The time histories of vertical displacements

图10 竖向加速度幅值谱Fig.10 Vertical acceleration amplitude spectrums

将不同滑移刚度系数、行车速度组合下第二跨组合简支梁跨中竖向位移最大值、竖向加速度最大值及行车过程中的最大轮重减载率绘制成图12～图14.

图11 竖向加速度时程Fig.11 The time history of vertical accelerations

图12 竖向位移最大值Fig.12 Maximum vertical displacements

图13 竖向加速度最大值Fig.13 Maximum vertical accelerations

图14 最大轮重减载率Fig.14 Maximum rates of wheel load reductions

由组合简支梁跨中最大竖向位移结果可知，最大位移值随滑移刚度系数的减小而增大. 当滑移刚度系数α>3 时，车速对最大位移值影响很小；当滑移刚度系数α ≤3 时，车速对最大位移值的影响迅速提升.

由组合简支梁跨中最大竖向加速度结果可知，当滑移刚度系数α>5 时，跨中最大加速度值随车速增加而增大；当滑移刚度系数α ≤5 时，跨中最大加速度值随车速增加整体呈现上升趋势，但略有波动，当车速大于200 km/h 时，最大加速度值随车速增加明显增大.

由车辆最大轮重减载率结果可知，滑移刚度对车辆最大轮重减载率基本无影响. 最大减载率仅与行车速度有关，且随车速增大而增大. 值得注意的是，算例计算所得的轮重减载率都小于1，当轮重减载率大于1时，由轮轨切线近似模型将会得到轮轨相互作用力为拉力的情形，这与实际产生的跳轨情况不符，因此，对于车速更高的情形，切线近似模型并不适用.