破除定势方显“四能” 创新思考始得素养

薛新建

摘  要：独立重复试验是概率统计中的经典模型，在经典模型中扭转思维定势，把握内在逻辑，找到核心素养的植入点和生长点，是发展“四能”、落实数学课程标准面临的挑战. 从教材例题出发，对独立重复试验进行再探究，让学生亲历数学知识发生、发展的历史背景，对于树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神具有非常重要的意义.

关键词：独立重复;局制问题;二项分布;公平问题

一、结合教学，提出问题

高中阶段，以独立重复试验为背景的问题最后总是落在考查二项分布，而二项分布无论概率、期望还是方差都有简洁成熟的计算公式能够解决，以致高三复习在这个问题上总是点到为止. 浮于知识层面的机械授予和教条使用，难以让学生获得深入思维层面的强化提升和迁移应用能力，而导致缺乏核心素养的孕育点和生长点. 如何在独立重复试验背景下開发新的视角、提出新的问题，引发学生的思考与探索，形成并发展学生的数学学科核心素养，是一线教师必须持续思索的问题.

教材依据课程标准编制，是学科知识内容的载体，为教学活动提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要教学资源，对师生来说具有很大的研究价值和指导意义. 仔细研究可以发现，教材对独立重复试验是留有足够的探索空间的.

二、立足教材，引发思考

人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修[2—3]）》（以下统称“教材”）第59页有如下一道题目.

这两种解法本质上是相同的，差异在于第一种方法对基本事件（打满比赛）以甲至少能获胜的局数为分类标准，而第二种方法对基本事件以甲获胜时比赛总局数为分类标准，本质上甲获胜的局数完全服从二项分布. 教材配套的教师教学用书上结合上述计算结果对局制长短提出猜测“比赛的总局数越多甲获胜的概率越大”，比赛局数越少，对乙越有利，比赛局数越多，对甲越有利.

对此，有两个问题值得深思：（1）“有利”是否等于“公平”？如果甲、乙双方具有相等的话语权，那么该如何选定局制？（2）比较随着局制增多甲的胜率[0.6，] [0.648]和[0.682 56]，会发现比赛局数越多，甲获胜的概率越大，也越来越远离甲单局获胜的概率[0.6，] 这与概率的定义似乎矛盾，即随着比赛次数的增多，甲获胜的频率越来越趋近于单局比赛甲获胜的概率[0.6.] 问题出在哪里？

三、启发思考，探求本质

两种局制下甲获胜的概率都大于[0.6，] 这说明两种局制对甲的胜率都有加持，对乙的胜率都有抑损. 所谓“比赛局数越少，对乙越有利”只是局制之间相对而言，乙选择[3]局[2]胜制只能算是“两害相比取其轻”. 那么，是不是甲的实力强于乙的实力，局制有利于甲胜就是公平呢？显然不是！只有有利于所有选手发挥出自身实力的局制才是公平的. 这样说来，如果甲、乙双方具有相等的话语权，乙既不会同意[3]局[2]胜制，也不会同意[5]局[3]胜制. 因为这两种局制对乙都不够公平，只有一局定胜负才最公平！当然，实际比赛中很少会一局定胜负，因为一局不能给比赛提供足够的观赏性.

在[2n+1]局[n+1]胜局制下，甲获胜的频率不能逐渐趋近于[0.6，] 原因在于单局比赛甲获胜的“胜”和[2n+1]局[n+1]胜制甲获胜的“胜”的定义不一样. 实际上，在大家熟知的抛硬币试验中，通过做大量重复试验统计硬币正面向上的频率，这个频率会逐渐稳定于常数[0.5，] 就把[0.5]称作抛掷一枚硬币正面向上的概率. 在抛硬币试验中，统计频率时的标准“抛一枚硬币正面向上”和最后所下概率结论的标准“抛一枚硬币正面向上”是完全一致的，这符合概率的定义. 而例题在[2n+1]局[n+1]胜制下，统计甲获胜的频率（概率）时的标准“比赛[2n+1]局甲胜的局数多于乙（不是全胜）”和甲获胜概率结论的标准“比赛一局甲获胜（全胜）”是不一致的，因此其稳定的数值与[0.6]不一致也就不奇怪了. 但这也说明[2n+1]局[n+1]胜局制是不能公平体现双方实力的一种局制（只有在甲、乙实力相当的情况下，该局制才公平）.

两个问题都涉及局制问题，那么[2n+1]局[n+1]胜制是怎样的一种局制呢？“[n+1]胜”实际上是优先累计胜至[n+1]局，比赛总局数并不重要，这也是教材例题两种解法结果相同的本质原因. 该局制的要点在于先发制人，选手需提前调整技战术和心理状态，尽快拿到第[n+1]胜局取得胜利，慢热选手就容易陷入被动. 从胜局累计的视角来看，除了优先累计胜至[n+1]局，还可以采取“净胜局”来定胜负，而“净胜局（球）”的思路在排球和羽毛球等比赛中已有应用，下面以净胜3局为例进行探究.

变式1：甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为[0.6，] 乙胜的概率为[0.4，] 若净胜3局者胜，求甲获胜的概率.

变换问题情境，把“两选手比赛”换成“检验两种新药药效”，变式[2]就变成了2019年全国Ⅰ卷理科第21题.

四、追溯根源，拓展数学史

概率史上有一个著名的“赌金分配问题”：十七世纪中叶，法国有一个叫德[·]梅赫的名人，在赌博过程中经常遇到赌金分配的点数难题，他觉得这个问题并不是一个简单的比例问题，但自己又无法解决，于是向当时著名的数学家帕斯卡提出了这个问题：赌技相当的甲、乙二人各出赌金20金，规定必须要赢[3]场才能赢得全部赌金，但比赛中途因故终止，且此时甲已胜[2]局，乙已胜[1]局，请问如何分配赌金.

这个问题实质上就是在甲胜[2]局的情况下计算甲优先累计胜至[3]局的概率. 历史上对这个问题的探讨长达两百年之久，诸多数学家如帕西沃里、卡兰奇、卡丹、塔塔里亚、费马、帕斯卡、惠更斯等都按照自己的理解给出了点数分配方案，但是只有费马按照古典概型给出的[3∶1]的分配方案是正确的，这就是历史上的组合概率时期，古典概型在这个时期得到了极大发展.

比赛过程中判断比赛结果就是“赌金分配问题”的难点，该问题只是胜局累计优胜的情况，变式1所解决的问题是净胜局优胜的情况，即在甲净胜[i]局的条件下推出甲最终获胜的概率. [1906]年，俄国数学家马尔科夫提出的“马尔科夫链”，就是把变式1中选手比赛问题提炼成了质点在数轴上[k+1]个整数点随机游动的直观模型，边界点[0]和[k]处设置吸收壁对应“赌徒输光”问题. 布朗运动、感染人群的人数、群体的增长等问题都可以视为马尔科夫过程，具有非常大的理论和实际研究价值.

五、服务选才，提供发展

对上述过程中得到的很多结论只要稍加推广，就可以为将来大学对概率知识的进一步学习打下基础.

六、深入反思，指导教学

本文从教材提出的局制问题出发，破除思维定势，对独立重复试验重新思考、深入探究，以问题导引逐步搭桥，以逻辑推理顺势铺路，最终总结提炼了两个解决问题的模型——胜局累计优胜制和净胜局优胜制. 前者是高中阶段概率部分的重点知识二项分布，学生理解较为深刻;后者可能出现无穷的情况，高中教材中未提及，由于推理论证完全可以用高中知识加以展开，成为数学学科核心素养新的植入点，也为2019年全国Ⅰ卷理科第21题提供了很好的注解.

题目 （2019年全国Ⅰ卷·理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只時，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得[-1]分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得[-1]分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为[α]和[β，] 一轮试验中甲药的得分记为[X.]

通过问题的探究过程不难发现，教材提供的例题和习题不仅能借以巩固基础知识、训练基本技能、培育基本思想，更为学生积累学习活动经验提供了极有价值的数学问题情境，教学中要充分加以利用;对经典模型的再探究，既是出于完善知识和方法结构的需要，也能够充分启发学生思考，激发学生兴趣，树立学生的钻研精神和创新意识，体现《标准》“四能”的课程目标要求，教学中应当大胆进行开发.

参考文献：

[1]李晓琳，罗碎海. 五局三胜制能不能用二项分布做？[J]. 中学数学研究，2019（10）：33-35.

[2]孙立群，崔淮玲. 数学探究性学习案例一则：对“三局二胜、五局三胜、七局四胜”制公平性的数学探究[J]. 数学教学通讯（上半月），2004（3）：27-30.

[3]王芝平，张唯一，李振雷. 2019年高考全国Ⅰ卷理科概率问题的解析与背景[J]. 数学通报，2019，58（8）：55-57，62.

[4]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

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