浅析高中数学如何利用解后反思提高学习效益

沈宏

[摘  要] 高中数学学习时间紧、任务重，若想提高解题效率单凭“题海战术”不仅枯燥乏味，而且效率低下，也不利于学生自主学习能力的提升. 因此，为实现解题的主动性和高效性，必须重视解后反思. 通过反思深挖知识的内涵和外延来完善知识体系，通过“多解”“多变”等手段来挖掘和发挥学生的潜能，从而培养学生多思善想的好习惯，提高解题效率.

[关键词] 高效性;解后反思;解题效率

解题训练是数学教学中必不可少的环节，解题可以直接反映学生对知识的掌握程度，从而有针对性地查缺补漏，然解题不能盲目追求数量，应该重视效益，不能因过多强化训练而造成思维定式，得不偿失[1]. 笔者认为，为了使解题训练获得更好的效益，应该重视解后反思，通过反思深化理解，形成知识脉络，有助于知识的迁移和解题效率的提升. 那么如何进行有效的解后反思呢？笔者结合几个解题训练，提出了几点浅见.

[⇩] 深挖联系，提升解题能力

高考题目主要考查学生的综合能力，大多题目的思维量较大，涉及的知识点较多，因此需要在解题后注意反思. 通过思考相关的知识点有针对性地进行查缺补漏，进而巩固基础知识;通过思考知识点之间的联系，进而将知识系统化、网络化. 可见，通过有效反思有助于知识的巩固，有助于学生解题能力的提高.

例1 平面α与平面β异面，m，n为两条不同的直线且不在α和β平面内，现给出四个条件：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α. 请任选三个条件作为已知、一个条件转为结论，写出一个真命题：________.

本题考查的内容是“平面与平面垂直的判定”. 其中，条件①为线线垂直，条件②为面面垂直，条件③和条件④为线面垂直. 根据以上四个条件可组成四个命题，分别是“①②③⇒④”“①②④⇒③”“①③④⇒②”“②③④⇒①”. 在考试时学生一般只要推理出一个正确答案即可. 然若作为平时练习题目或解后反思则需要进一步验证，这样有利于学生加深对该模块内容的理解，进而培养学生思维的严谨性. 同时，通过进一步的推理验证，能帮助学生克服粗心的习惯，提高学生的解题能力.

[⇩] 尝试多解，培养发散思维

为了使学生具备多角度观察和解决问题的能力，学生在求解后应进一步思考，尝试新思路、寻找新方法. 教学中教师可创设一个平等、和谐的交流环境，让学生通过交流与合作体会多角度观察和多角度思考的魅力，从而锻炼学生的发散思维[2]. 利用“一题多解”的锻炼，使学生通过多角度观察受到启发并尝试不同的方法来分析和解决问题，这有利于培养学生的发散思维，也有利于提升学生的解题能力.

例2 设p>0，q>0，且p3+q3=2，求证p+q≤2.

思路1：构造法. 因结论中p+q为两数之和，因此可通过构造一元二次方程进行求解. 设p，q是方程（x-p）（x-q）=0的两根，令p+q=m，pq=n，则p3+q3=（p+q）·[（p+q）2-3pq]=2. 将p+q=m，pq=n代入上式得m（m2-3n）=2，即n=，所以Δ=m2-4n=m2-≥0，解得m≤2，即p+q≤2.

思路2：反證法. 设p+q>2，则（p+q）3>8，即p3+q3+3pq（p+q）>8. 因为p3+q3=2，所以2+3pq（p+q）>8，所以pq（p+q）>2，所以pq（p+q）>p3+q3，即pq（p+q）>（p+q）·（p2-pq+q2），即pq>p2-pq+q2，即（p-q）2<0，这显然不成立. 所以p+q≤2.

思路3：均值不等式. p3+1+1≥3=3p，q3+1+1≥3=3q，以上两式相加得p3+q3+4≥3p+3q，即3p+3q≤6，故p+q≤2.

当然此题的解法不局限于这几种，学生还可以利用函数的性质、三角代换、向量等知识和方法进行求解，解后让学生进行多解训练有助于培养他们的知识综合应用能力，通过不断地思考和探索使思维发散和升华;同时，学生通过大胆尝试体验创新的快乐，从而培养创新意识.

[⇩] 寻找规律，举一反三

高中数学学习时间紧、任务重，若不重视规律的总结会使学生一直在“题海”中沉浮，解题效率无法提升. 因此，在日常学习中不要让学生解完一题后就急于求解下一问题，而应让学生“思一思”“变一变”：是否可以将其转化为相似的问题，从而总结出解决此类问题的通性通法？是否可以将问题的特殊性转化为一般性，从而发现规律提升解题效率？相信通过推广和延伸，学生的探究能力和解题能力都会有所提升.

例3 已知异面直线m和n所成的角为50°，点P为异于m，n所在面的任意一点，则过点P且与m和n所成的角都是30°的直线有且仅有（  ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

在本题中起关键作用的就是过点P且与m和n所成的角的度数，若想进一步理解本题不妨将此角的度数进行变化：

变式1：将“过点P且与m和n所成的角都是30°”改为“过点P且与m和n所成的角都是25°”（其他条件不变）;

变式2：将“过点P且与m和n所成的角都是30°”改为“过点P且与m和n所成的角都是65°”（其他条件不变）;

变式3：将“过点P且与m和n所成的角都是30°”改为“过点P且与m和n所成的角都是70°”（其他条件不变）;

变式4：已知异面直线m和n所成的角为x°，点P为异于m，n所在面的任意一点，过点P且与m和n所成的角都是y°的直线有且仅有1条，则x与y的关系式是______.

数学习题虽然多变，但大多数有规律可循，通过解后反思大胆提出变式题，由表及里层次深入，透过问题的表象思考问题之间的本质联系，从而通过特殊发现一般（规律和性质），找到解决此类问题的方法，进而通过举一反三的训练达到融会贯通的目的，提升解题效率和解题能力.

[⇩] 反思错题，提升思辨能力

解题过程中不可避免地会出现错误，同时错误的种类也不尽相同，有的是审题不清，有的是概念混淆，有的是忽视了隐含条件，有的是逻辑出了问题……出现错误不可怕，关键的是出现错误后如何处理. 有些学生对错误常常置之不理，有些学生仅限简单地订错，这样学生将一无所获，浪费了整理归纳、查缺补漏的机会. 因此，学习中必须利用好错误，通过对错误的反思进行分类和整理，从而建立清晰的知识框架，提高辨析能力和解题能力[3].

例4 求和S=

x+

+

x2+

+…+

xn+

.

错解：S=（x+x2+…+xn）+

++…+

=+.

学生应用等比数列求和公式时因忽略了公比而造成了错误，当公比q为不确定值时，应进行分类讨论，将其分为q=1和q≠1两种情况. 在本题求解时需分四种情况：①x=1，y≠1;②x=1，y=1;③x≠1，y=1;④x≠1，y≠1. 出现上面的错误主要有两个原因：一是对公式的内涵理解得不够深入;二是分类讨论的意识淡薄，思维不够严谨和全面. 因此，教学中要引导学生进行错误反思，从而提高思维的全面性，提高解题效率. 本题应用分类讨论将不确定的公比转化为确定的公比. 另外，分类讨论在解决复杂问题时还可以实现化繁为简. 分类讨论是重要的数学思想也是重要的解题策略，应引起足够的重视.

[⇩] 动手改编，提升应变力

高考题目灵活多变，如果教学中仅是“就题论题”，不仅会使学生陷入“题海”增加课业负担，而且也不利于学生思维能力的提升. 为了改变“就题论题”的现象，可以利用一些典型问题进行改编，使学生可以更加全面地思考问题. 同时，通过改编进行拓展和延伸，把问题变得更高更广，这势必引发学生的深度思考，促进解题能力的提升.

例5 动点P在椭圆+y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离AP的最大值.

本题是一个典型题，求解不难，AP的最大值为. 求解后可引导学生以此题为基础，通过有效变式来增加题目的难度和广度，以此提升学生的应变能力. 为了提升学生的参与程度，教师可以引导学生编制题目，经过猜想、分析、争论、整理得出了以下几个改编题：

改编1：动点P在椭圆+y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离AP的最小值.

改编2：动点P在抛物线y2=2x上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离AP的最小值.

改编3：动点P在椭圆+y2=1上运动，求定点A（0，a）（a>0）到动点P的距离AP的最大值.

改编4：动点Q在圆x2+y2-4y+3=0上运动，动点P在椭圓+y2=1上运动，求PQ的最大值.

改编5：设椭圆的中心点为（0，0），焦点在x轴上，离心率e=，动点P在椭圆上运动，若动点P到定点A（0，2）的距离的最大值为，求椭圆的方程，并求出此时点P的坐标.

显然通过上述的改编使得内容更加丰富，将相关知识点进行了有效串联也大大地提升了知识覆盖面，有利于知识体系的建构. 同时，引导学生自己进行讨论和改编，使学生以出题者的角度去思考问题，拓宽了解题的思路. 另外，教学中通过拓展和延伸可以有效地避免“就题论题”，有利于培养思维的变通性，提高学生的应变能力.

总之，解后反思是必要的，教师在教学中不要急于求成，而要细心引导，充分发挥反思在深化学生数学认知、引导学生领悟数学思想、促进学生发展思维中的积极作用，让学生通过反思优化认知结构，促进学生的数学能力全面提升.

参考文献：

[1]  郑良. 一道题的解题思维策略[J].中学生数学，2012（05）.

[2]  赵伊惠. 核心素养视角下数学解题反思能力的培养研究[D]. 苏州大学，2019.

[3] 闫超. 利用“错题资源”培养高中学生数学反思能力的实践研究[D]. 天津师范大学，2018.

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