一道期中试题引发的高中数学文化的课堂教学思考

徐兰

[摘  要] 由一道期中试题引发的关于数学文化在高中数学课堂中渗透的教学思考，文章从情境引入数学文化、课堂小结展示数学文化、习题讲评扩充数学文化三个方面进行了阐述. 作为一线数学教师更要提高自身的数学文化修养，提升专业素质，打造高效课堂.

[关键词] 数学文化;数学思维;渗透方式

2020—2021学年溧阳市高二数学阶段性测试中出了这样一道题：

数学中，斐波那契数列看似平凡无奇，却对图案和图形“滋养”甚丰，且与大自然关系奇妙. 斐波那契数列{a}满足a=a=1，a=a+a（n∈N*）. 图1是由边长为斐波那契数列生成的“斐波那契数列矩形”，由此生成的矩形边长之比越来越接近于（  ）

A. B.

C. 1.5 D.

办公室数学教师做完这道题后，明显形成了两个截然不同的立场，有一方认为本题的难度太大，二阶线性递推数列的通项不是教材的主干知识，所以不作要求;另一方则认为本题是一个好题，因为是一道选择题，所示选出正确答案不一定需要用到数列的递推关系，可以根据对题意的理解，多列举斐波那契数列几项，然后用排除法求解.

我们先来看一下推导数列通项的求解过程：因为a=a+a，构造a+λa=μ（a+λa），所以μ-λ=1，

λμ=1，解得

λ

=，

μ

=，

λ

=，

μ

=，代入上式可得

a

-

a=

n+1，

a

-

a=

n+1，消去a，得a=

-

. 所以a=·

-

，将n=1，2代入验证符合. 根据图形得知，矩形的长与宽之比为=，当n→+∞时，

n→0，

n+1 →0，所以→.

另一种解法是多列举出斐波那契数列几项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，…. 通过计算会发现每一个数与前一个数的比约等于1.618，而A选项、B选项、C选项的数值都小于或等于1.5，只有D选项大于1.5，所以用排除法选出D选项.

从上面的解法分析中，我们可以看到出题者的本意肯定不是用推导数列通项的方法来求解本题，而是考查学生对数学文化的认知程度.笔者是这样认为的，斐波那契数列满足a=1，a=1，an+2=an+1+a，当n→+∞时，的极限值为λ=，只要学生了解了这点数学文化，那么这个题目立刻就可以选出D选项. 笔者本校的两个文科班都是16人选对了选项，其中绝大部分学生是用第二种方法（排除法）求解的，并非直接根据认知进行的判断，可见真正知道斐波那契数列的黄金分割比的学生少之又少. 那么，是学生缺少接触这些数学文化的机会吗？初中、高中都有的一些包含斐波那契数列的相关习题，为什么学生在考场中一点认知反应都没有？笔者认为，这是因为教师在处理这些题目时仅仅停留在了解题上，而错过了向学生渗透相关数学文化的时机，所以这道题狠狠地给了我们教师一个教训.

[⇩] 数学文化的含义

数学除了知识与方法之外，还是一种文化的传承.数学文化从广义上讲就是数学本身，从侠义上理解是指数学思想和方法、数学观点、数学语言及其形成和发展的过程，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学有关的人文活动.这种文化的熏陶对提高学生的数学核心素养起着不可估量的作用.

高考卷中總有以数学文化为背景的考题出现，这类考题本身用到的数学知识与方法较为简单，但是从文化背景中抽象出数学模型或者数学知识是一个难点，也是学生最畏惧的.原因还是平时的课堂中相应的实践太少，教师对数学文化的了解不够深入、不够全面，课堂上不能在恰当的情境中传播数学文化.

[⇩] 数学文化在数学课堂中的渗透方式

1. 情境引入数学文化，激发学生的学习兴趣

案例1 “函数与方程”的情境引入.

在神圣罗马帝国时期，国王腓特烈酷爱数学，经常举行宫廷数学竞赛.在一次竞赛中，有一道题是“求三次方程x3+2x2+10x=20的解”. 来自比萨的斐波那契成功判断其只有一个解，且获得了精确到小数点后六位的近似解（1.368808）.用方程求根的典故来激发学生的学习欲望：形如x3+2x2+10x=20，lnx+2x-3=0， 0.84x=0.5等这样的方程该如何求解呢？用这样的典故引出课题，学生一开始都会感觉到很新奇，积极地思考用什么方法能解决这么复杂的方程，当上完这节课后学生会获得很大的成就感！

案例2 “椭圆的几何性质”的情境引入.

如图2所示，地球绕太阳公转的轨道大致是一个椭圆，太阳的位置在椭圆轨道的焦点F处，地球的位置是动点P，近日点是地球离太阳最近之处，你能确定此时地球（点P）的位置吗？学生感知此时地球在椭圆轨道的右顶点处，但是又说不出道理，教师解惑释疑——求PF的最小值，于是进入课题，即用代数的方法来研究椭圆的几何性质.

案例1中引入数学家的事迹不仅可以拓展学生的视野，也能够让学生对本节课所授知识充满好奇心和征服欲望，活跃进入课题的气氛. 案例2中对近日点和远日点位置的确定，学生从猜想到证明，思维从“形”转化为“数”，需要建立直角坐标系用点的坐标来刻画目标函数，这样用代数的方法解决几何问题就会深深地刻在学生的脑海里. 同时也加强了学科之间的联系，让学生感知数学在科学界的重要地位. 高中数学的概念学习非常抽象，在新授课的情境中恰当融入相关的数学文化，可以增加学生学习数学的兴趣，帮助学生更好地理解数学.

2. 课堂小结时展示数学文化，延伸数学思维

案例3 “充分条件和必要条件”这节课结束时，插入阅读题：我国战国时期墨子及其弟子们所著《墨经》有一段精辟描述：“有之则必然，无之则未必不然，是为大故;无之则不然，有之则未必然，是为小故.”根据今天所学的内容，说一说“大故”“小故”的含义并谈谈对这段话的理解.

案例4 函数概念的第一课，教师在课堂的结尾可以花上几分钟的时间向学生普及函数的发展历程：1673年前后笛卡尔在他的解析几何中发现了一个变量对于另一个变量的依赖关系;1718年贝努利定义了函数概念：由任一变量x和常数的任一形式所构成的量，叫作“x的函数”;欧拉于1748年也给出了函数的定义：一个变量的函数是由该变量和一些常数或常量以任何方式组成的解析式. 在这个定义中第一次提到了“解析式”. 这个时期是人们对函数概念的第一次抽象认识. 后来人们发现，不是所有的函數关系都能用解析式来表示，比如温度与时刻的关系、人口总数与年份的关系就不能用解析式表示. 于是欧拉更正了对函数的认识：函数是指两个变量之间具有的依赖关系. 这是人们对函数概念的第二次抽象认识. 新的问题又出现了，有的函数关系中两个变量之间不具有依赖关系，如计程车的收费问题——起步价范围内收费与路程没有关系，引发了人们对函数概念的第三次抽象认识. 主要代表人物有狄利克雷，观点是：函数就是两个变量之间的对应关系. 到了20世纪，随着康托尔创立的集合论，函数迎来了人们对它的第四次抽象认识——用集合的语言包装了函数变量的对应关系. 这就是我们今天课堂上学习的函数概念.

案例3中的课堂以中国的古代文化结尾，让学生谈谈对这段话的理解，由此加深了学生对充分性和必要性的理解. 解决数学问题首先要理解表达问题的文字，在此基础上再用数学语言来表达文字，所以平时的教学中教师要找机会在概念的理解或者辨析时渗透一些中国古代文化，在促进学生理解数学概念的过程中也能提高学生的语言理解能力，感受中国文化的源远流长. 案例4中提出的函数是高一学生觉得最抽象、最难理解的一个概念，而对函数数学史的介绍能够让学生获得心理安慰——原来经历了这么长的时间，经过几代伟大数学家艰辛的努力才有我们今天对函数的定义——可以增强学生学习函数的信心，也让他们感受到历史长河中的任何一个数学家都是在曲折中不断前进的，有的甚至用了毕生精力还没有完成一个猜想的证明. 这将鼓励学生在挫折、错误和失败面前不必轻易否定自己，要鼓起勇气迎难而上. 美国数学史家M·克莱因指出：“历史上数学家遇到的困难，正是学生会遇到的学习障碍，因而数学史是教学的指南.”

3. 习题评讲时扩充数学文化，增加学生的知识，提升学生解决问题的成就感

案例5 课本习题：已知点M到定点O（0，0），B（3，0）的距离之比为1∶2，求点M的轨迹方程，并画出该曲线.

变式：如果比值变为2呢？变成1呢？变成λ呢？

我们知道：平面内到两定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆;到两定点的距离之差的绝对值为定值（小于两顶点的距离）的点的轨迹是双曲线. 那么，在平面内到两定点的距离之比为λ的点的轨迹是什么呢？案例5以课本习题为切入口，进行从特殊到一般的探究、拓展、归纳、猜想，得出阿波罗尼斯圆的定义：平面上给定相异的两点A，B，设点P与其在同一平面上且满足=λ，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是一个圆. 借此机会展示背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》. 之后很长一段时间，后人对圆锥曲线的研究都没有超越过这本书.

数学文化的介绍可以渗透进教学的各个环节，它在数学课程中的体现是多样化和灵活的，像这样利用课本中的一个习题来引出阿波罗尼斯圆，一方面可以培养学生的归纳推理能力，另一方面展示了阿波罗尼斯圆的定义，并且顺势介绍了数学家阿波罗尼斯，促进学生对这一知识的掌握和理解，也增加了学生学习数学的兴趣.

从以上案例可以看出，在高中数学的教学中渗透数学文化有着重要的意义. 首先，可以激发学生学习数学的兴趣，优化学生的学习方式，促进学生深度理解数学;其次，古今中外的数学家在艰难的环境中研究科学的无私精神和崇高品质是我们学习的榜样，是我们敬佩的对象.这正是文化的迁移、文化的教育.

张奠宙先生提出“数学文化必须走进数学课堂”，所以数学文化不能停留在一个个数学小故事中，数学文化更应该以合理的形式和内容延伸到课堂教学活动中，通过数学文化的有效价值来提升课堂的品位，提高课堂的质量，改变学生的数学观，促进学生理解数学，提升学生的数学核心素养. 数学文化以怎样的方式进入课堂，怎样与课堂内容进行有机结合，依旧是国内学者研究的重要内容之一. 作为一线数学教师，首先要充分开发并利用教材中的数学文化资源;其次要深入研究平时的练习中遇到的数学文化，挖掘其教学价值;最后是多学习、多研究教学案例，教师之 间互相探讨、互相吸取有益的思想养料，提升自身的专业素质，打造更高水平的课堂.

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