唤醒思维，让数学学习走向深度

王惠清

[摘  要] 数学教学是数学活动的教学，数学活动应体现在数学思维的活动中. 数学学习不是简单的记忆、简单的套路，而是要对数学知识有融会贯通的本质理解. 因此，高中数学课堂需要教师精心进行教学设计，探寻更加科学的途径以唤醒学生的思维，使学生能够主动“经历”知识发生、发展的过程. 在这个过程中，知识成为学生能够观察、思考、探索、操作的对象，学生成为教学的主体，促使数学学习走向深度，真正达到数学核心素养的落地生根.

[关键词] 高中数学;学生思维;深度学习

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）提出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.”然而在当前的数学课堂中，仍然存在着大量的机械学习，以“狂练”替代理解，知其然而不知其所以然的浅层的学习现象，使得数学核心素养在教学中无法落地生根. 这就要求一线数学教师在进行教学设计时寻求更为合理的途径，让学生在教师的引领下，围绕有挑战性的学习主题，全身心地积极参与，唤醒思维，体验成功，获得发展，促使数学学习走向深度. 文章结合笔者多年的教学经验，对准《新课标》，试从数学课堂探究的不同环节的设计谈一谈教学中如何唤醒学生的思维，促进学生走向深度学习.

[⇩] 创设问题情境，在概念发生发展的过程中唤醒学生的思维

数学概念是数学知识体系中的核心环节，对培养学生的数学抽象素养具有举足轻重的作用. 唤醒学生的思维走向深度学习的首要环节是建立数学新旧知识之间的有效联系，通过设计熟悉有趣的问题情境，让学生体验数学和理解数学.

案例1 在“任意角”的教学设计中创设教学情境.

问题1：在初中我们是怎样定义角的？（从如下的静态和动态两个角度定义，见表1）

问题2：平面内一条射线绕其端点旋转一周后回到原来的位置，所形成的角是什么角？如果继续旋转下去，所形成的图形还是角吗？为什么？

问题3：生活中存在着上述的角吗？你能试着举出一些实例吗？我们又该如何去理解它们呢？

设计意图：通过问题1回顧旧知，并进一步提出问题2，使角的概念更加一般化，让学生自我总结初中对角的定义的优劣性——形象、直观、容易理解，但它是静态的，具有一定的局限性——从而引发思维冲突，激发学生主动去研究并推广角的概念，通过问题3联系生活实际，体会“用数学的眼光观察世界”.

[⇩] 把握数学本质，在整体理解新旧知识中唤醒学生的思维

新课标修订组组长史宁中教授曾说：“要培养学生的核心素养，在数学教育中至少应当遵循两个原则，一是把握数学知识本质;二是设计并实施合理的教学活动. ”因此，教学中需要基于学生的认知基础选定一个明确的认知主线，课程整体教学设计能够引发学生深度思考数学问题的本质.

案例2 在“圆的一般方程”教学设计中把握其本质.

问题1：圆的标准方程是什么？

问题2：从代数的角度看，圆的标准方程是什么方程？（二元二次方程）

问题3：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定表示圆吗？

通过“问题串”的形式引发学生走向深度思考. 对于问题3，组织学生小组讨论，展示并汇报结论：通过配方，得

x+

+

y+

=（D2+E2-4F），所以方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）叫作圆的一般方程. 此处揭示课题，并进一步说明两点：一是为什么要称其为一般方程（联系直线方程），二是两种方程（圆的方程的两种形式）的比较（从特征与互化的角度）.

设计意图：圆的一般方程是在学生学习了圆的标准方程后的一节内容，这两种方程只是圆的方程的两种不同的表示. 在本节课中采用“问题串”的教学设计，通过新旧知识的对比，理清圆的一般方程是什么;有了圆的标准方程，为什么还要讲圆的一般方程;圆的标准方程与一般方程有怎样的联系和本质区别. 清晰的逻辑关系、紧扣递进的“问题链”为学生设计了一条明确的认知主线，这种认知主线的确定，使得学生感觉本节课的生成自然和谐，本章的学习思路清楚明晰.

[⇩] 渗透数学文化，在激发兴趣主动学习中唤醒学生的思维

新课标强调，在教学过程中要将数学文化纳入数学教育目标之中，因为基于数学文化的数学探究是实现数学知识再发现、再创造的有效途径，有助于学生激发学习兴趣、开阔视野，从而唤醒学生的思维，促使学生理解数学，提高数学核心素养.

案例3 在“二项式系数的性质及应用”教学设计中渗透数学文化.

（1）展示成果说杨辉：（课前开展学习活动）了解“杨辉三角”的数学背景、历史地位和实际作用，探究并发现“杨辉三角”所蕴含的数学规律.

①引导学生从各种角度谈自己对“杨辉三角”的认识和了解;

②各小组结合课前准备展示自己探究和发现的成果（“杨辉三角”所蕴含的数学规律）.

（2）感知规律谈性质：通过师生合作、小组讨论、探究证明、展示提炼，学生发现了“杨辉三角”的一些数学规律，如“杨辉三角”的第n行数字就是（a+b）n展开式的二项式系数，这些系数具有对称性、和式关系、增减性及最大值等性质.

设计意图：《新课标》下的高中数学教学及考查，注重数学文化和数学知识的融合. 本节课中通过学生课外探究活动的开展——了解“杨辉三角”，探究、发现“杨辉三角”所蕴含的数学规律，弘扬中华数学文化，唤醒了学生的学习热情. 尤为重要的是，在本节课展示探究成果的过程中，为寻求二项式系数的性质，运用师生合作、小组讨论、探究证明、展示提炼的教学方法，激起了学生的认知冲突，为培养学生的批判性思维、促进深度思考及深度学习做好铺垫.

[⇩] 经历合情推理，在促进数学知识迁移中唤醒学生的思维

数学教育家G·波利亚曾说：“类比是一个伟大的引路人.”不同的数学知识的形成往往是具有一定相似性的，所以在知识的学习过程中获得的方法、思想、能力，对后续知识的学习可能形成有效迁移，这种迁移能力也是学生深度学习的集中体现.

案例4 通过类比“等差数列的前n项和”学习“等比数列的前n项和”.

探究：求S=1+2+22+23+…+263.

点拨：求等差数列的前n项和的方法有哪些？在推导过程中涉及的处理策略（去“省略号”），本质是整体观察、等式构造、方程思想、化繁为简、化无限为有限，把原本不熟悉的无限求和问题转化为熟悉易解的有限求和问题.

讨论：请同学们思考一下，是否可以类比等差数列的前n项和的推导方法，根据等比数列中各项之间的关系和特点，也可以构造一个式子，以两式运算达到求和的目的呢？此处安排学生进行小组讨论.

结果：构造式子2S=2+22+23+…+263+264，与式子S=1+2+22+23+…+263相减.

一般化：求S=a+aq+aq2+…+aqn-1.

设计意图：等比数列的前n项和公式的推导实质是把“加”变成了“减”，这样的转化在教师看来是“顺理成章”“自然贴切”的，但是从学生的角度来看，却是“突如其来”“不可思议”的，所以这节课的设计就该在这里花费力气：通过学生已经学习过的等差数列的求和推导方法让其思考讨论，由教师引导学生类比联想倒序相加法求和，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法.

当然，唤醒学生思维的手段不能局限于以上四种. 对于不同的课型，可以借助于数学实验、语言表达、经验迁移、研题编题等手段唤醒学生的思维;对于课堂中不同的阶段，可以通过教师的限时讲授、学生的合作探究、合作小组代表的展示来唤醒学生的思维. 只有唤醒学生的思维，促使学习走向深度，才能真正让学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，让数学知识的构建更加合理，让认知结构的形成更加稳固，让核心素养的培育成为现实.

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