问题驱动 促进初中生函数图像理解——以《二次函数的图像与性质》第三课时为例

黄和悦

（三明教育学院，福建 三明 365000）

数学课程标准指出，要让学生在现实中和已有知识的基础上体验和理解数学知识.由此创设问题情境，引发学生自我意识的产生，让学生获得自我探索、自我思考、自我表现的实践机会，这种方式已成为数学有效教学活动中的一种策略，越来越得到教师的关注.数学教学中教师所创设问题，要激发学生学习的主动性和创造性，除了点拨学生的思路中，更是开启学生的思维.教学实际中为了突出“新、奇、趣”的效果，有的数学教师往往挖空心思地创设出花样繁多的情境，而实质是以“书本为中心”“教师为中心”，或是让学生在学习中变为被动和依赖，由于把握不当教学中的“度”，反而干扰了学生对知识真正理解，影响学生思维的发展.本文以北师大版九年级下册《二次函数的图像与性质（第三课时）》为例，谈谈如何创设有价值的数学问题来驱动和帮助学生对函数图像学习的真正理解.

一、基于迁移运用教学情境的问题驱动——在唤醒中理解

学生在解决问题时感到最困难的是如何调动原有知识结构中已有的哪些知识，对已有的经验与方法该如何选择.那么，课堂教学应从学生学习起点出发创设问题情境，让学生以一种积极的心态，唤醒已有知识和经验尝试解决新问题，同化新知识.关于知识的学习不宜强迫学生被动地接受，不能满足教条式、机械地模仿与记忆，而应在原有经验基础上，经过新旧经验相互作用而建构知识含义.

［教学片段1］

提出问题：对于二次函数y=3x2，y=3x2+1，y=3x2-1，并回答：

（1）从式子上看它们有什么相同点和不同点？

（2）从图像上看它们有什么联系？

师生活动：学生可画出三个二次函数的大致图像，在学生完成的同时，教师适时归纳总结.

设计意图：通过此问题进行研究框架的搭建，帮助学生理解、体会函数研究的思想方法都是从特殊到一般，为后续学习其他二次函数的图像和性质进行铺垫.

教学思考：通过具体实例来复习，唤醒学生对二次函数y=ax2和y=ax2+k 的图像及其性质的回忆，知道当a 相同时它们的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同，可以通过上下平移得到.引导学生既要从式子上又要从图像上认识二次函数，为接下来学习其他二次函数图像及其性质打下基础，学生数形结合的意识和能力得以培养和促进.而实际教学中许多教师更多是采用问答式或直接进入新课，这种机械式、顺理成章只体现在书本知识结构的编排和教师的想当然上，体现在学生身上，可能仅停留在结论的记忆上，对于方法、知识的迁移和运用，远没有达到灵活的程度.有典型意义的具体实例，可让学生在直观感知中，经历分析、综合、抽象、概括等过程，使学生既丰富了感性认识，又激起对观察的强烈兴趣，从而在学生认真观察、思考的过程中，获得生动表象，巩固新知.

二、基于类比推理教学引入的问题驱动——在猜想中理解

教学中应探索数学的价值，培养数学的应用意识，其最基本的前提和条件就是教师如何引导学生寻找或发现数学问题.教师通过设置问题活动，让学生在积极思考的过程中发现问题，类比地提出猜想，这既丰富数学活动经验，又能培养解决问题能力和思维能力.使学生在后续学习和应用中，可以准确把握事物的本质、规律和相互关系，对知识既能记得准确而牢固，又能用得迅速而合理.

［教学片段2］

提出问题：那对于二次函数y=2x2与y=2（x-1）2，并回答：

（1）从式子上看它们有什么相同点和不同点？

（2）你能猜想一下从图像上看它们会有什么联系吗？

师生活动：教师引导学生从式子观察两个二次函数的相同与不同，再类比、猜想出图像之间的关系.

设计意图：通过类比前面的知识，让学生先从二次函数解析式上看出区别与联系，由此大胆猜想出它们图像之间的联系，并自然会想通过画图来进一步验证.

教学思考：上述过程留足学生学习的时间，在类比、交流、猜想等数学活动中，逐步形成自己对二次函数相关知识的理解和有效的学习策略.可能在这个过程中，由于学生之间存在个体差异，致使猜想的结论是错误的，但这并不影响后续的学习，反而通过验证后，更能培养学生思维的深刻性.长期以来，我们的数学教学在定义、法则、公式、性质的形成过程是尽量少花时间，而把大量的时间用来做题，教学过程中有很强的应试色彩.殊不知这样，学生对数学知识的本质特征很难理解，很难感受到知识形成的过程中的茫然与困惑，探索问题过程的艰辛与成败，无法真正理解学习数学的意义.学生获得数学结论通过合情推理经历数学知识的发生发现的过程，也就是说进行数学知识的“再创造”过程，引导学生进行“火热的思考”来化解数学“冰冷的美丽”，不仅可以开拓学生的视野和学到数学的方法，更加准确理解数学知识，加以融会贯通而获得有关信息的学习.同时由于合情推理的结果具有似真性，所以需要学生再通过操作验证或演绎推理等方式证明合情推理所得结果.这样既让学生感受到数学学科的严谨，形成科学的数学观念，也能培养学生思维的发散性，解决问题的创造性.

三、基于动手操作教学实践的问题驱动——在探究中理解

教学中有效的数学学习活动一定不是单纯地把现成的知识给学生，或是让学生简单地进行模仿与记忆，数学学习过程应该是一个不断探索和思考的过程.教师应创设问题情境，使学生有更多的机会去动手实践、自主探索与合作交流，让学生在生动活泼的、主动的和富有个性的学习过程，找出答案或得出结论，更好思考和理解数学，除了获取信息和经验外，掌握其背后的策略性东西.

［教学片段3］

提出问题：请同学们画出二次函数y=2（x-1）2的图像，并回答：

（1）通过观察图像，验证一下你的猜想到底对不对呢？

图1

师生活动：让学生按画图像的步骤（列表、描点、连线）在自己的笔记本上画图，并根据所画的图像回答问题.教师则运用几何画板进行动态演示.

设计意图：在学生已知二次函数y=2x2的图像基础上，再独立画出二次函数y=2（x-1）2的图像，既可巩固函数图像的画法，又能让学生进一步验证自己的猜想，直观感受到两个函数的差异，培养学生检验猜想或结论是否正确的途径与方法.

教学思考：要充分认识到学生自身积极作用，是学习的主体、认识的主体、发展的主体，教师只有意识到“教”都是为了学生的“学”，深入思考“教什么和应该怎样教”.但笔者在听许多关于二次函数的图像及性质的课时，发现许多教师都因学生在课堂上不好画二次函数的图像，要么忽略直接用几何画板来代替，要么直接看课本，或是课前准备好.其实，学生几何直观能力哪里来，画图能力和水平是很重要的，很难想象一个学生连图形都不会画，他的几何直观和空间想象能力会很好.学生针对所得的函数图像，加上教师的几何画板演示，进行观察、对比，理性的思考，验证了自己的猜想，明确了两个函数图像之间的联系，进而使学生在获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面也得到进步和发展.

四、基于拓展应用教学提升的问题驱动——在思维中理解

教学中应关注学生的最近发展区，提供给学生富有难度和挑战性的活动和问题.为学生学习通过智慧地设计教学，重构教学，这不仅仅可以调动学生的积极性，也会生发出较“知识”更具生成性的因素，这或许是比任何预设的所谓知识的目标更为可贵的资源.这样学生在知识应用中，是经过系统化的学习，形成自己的知识框架基础上，去归纳和对比，迅速找到相应的内容，更好地解决问题.

［教学片段4］

提出问题：请同学们梳理前面所学的内容，并回答：（见图2）

印度梨形孢对黑松幼苗生长量及其根系形态的动态影响 周晓莹，梁玉，董智，李红丽，张梦璇，韩秀峰，范小莉，房用(7-7)

（1）如果是二次函数y=2（x+1）2呢？那它的图像可以由y=2x2的图像得到吗？

（2）结合二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1 图像之间的关系，如图2 你能得到二次函数y=2（x-1）2+1 的图像与二次函数y=2（x-1）2的图像的关系吗？

（3）由此你能说出二次函数y=-3x2，y=-3（x+2）2，y=-3（x+2）2-3图像之间关系吗？

（4）请你归纳出二次函数y=a（x-h）2+k 与y=ax2图像之间关系.

（5）请你类比二次函数y=ax2的特点，结合图像探究出二次函数y=a（x-h）2+k 的性质特点.

图2

师生活动：学生通过类比探究得出二次函数y=a（x-h）2+k 与y=ax2图像之间关系及其性质特点.教师结合几何画板的演示和分析，帮助学生更好地理解.

设计意图：通过以上几个问题让学生明白：只要a值相同，二次函数y=a（x-h）2+k 与y=ax2图像就可通过平移得到，自然就可由二次函数y=ax2的性质特点探究出二次函数y=a（x-h）2+k 的性质特点.

教学思考：教师在引导学生得到二次函数y=a（xh）2+k 的图像和性质特点时，一定要运用类比的思想，从数表上看——从图上看——从解析式上看，最后落实到从解析上看就能得出.教师通过设置循序渐进的问题，让学生形成新旧知识的对比和方法的迁移，只要学生是通过理性思维得到相应的结论，就能领悟到数学基础知识、基本方法在解决问题时所起到的“支撑”作用，更能领悟到解决问题绝不能仅仅靠所谓的“灵感”，更要注重基础知识、经验、方法的运用.理解是一个思维渐进的过程，学习是不断努力的结果，明白这点非常重要.教师应该避免让学生对知识形成过程做“早期废弃”，如果放弃了，就不存在思维，就不会付出更多的努力来达到理解.

五、结语

理解需要很多经历，经常做或者处理某些事情，试图寻找其来源，重视其过程，并积极参与，就会形成对事物的深层次理解.因此，教师要建立为理解而教学的理念，要设计出学生可参与的数学问题活动，让他们能够在已有知识基础上去思考，分析知识、概念、法则，找出其中的内在规律，而不是简单地做数学课本的数学题.在设计数学问题时，一般要注意下面几点：

一是问题要有现实性.问题合理的设置，引发学生积极探索，既保证问题的思维含量，又能够使学生在原有认知的基础上，得出结论，形成能力.

二是问题要有探究性.设计具有探究性的数学问题，注重引导学生对知识的主动去经历观察、猜想、计算、推理、验证等各种活动过程，不是简单地得到结论，学生的抽象概括能力和合情推理能力得到充分发展.

三是问题要有创造性.学生通过探究具有创造性的数学问题，进行深度思考和学习，自主建构和完善知识结构，真正落实学生思维能力的培养.