椭圆曲线 y2=x3+33x±74的整数点

冉银霞

（陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 陇南 742500）

1987 年，Zagier 在文献[1]中询问椭圆曲线y2=x3+27x- 62的最大整数点是否为（28844402，154914585540），由于这是一类典型的秩等于1 且有大整数点的一种椭圆曲线，所以该问题对于讨论椭圆曲线的算术性质有着重要的意义. 因此，椭圆曲线整点问题对于在不同情况下构造合适的椭圆曲线函数具有重要的理论意义及应用前景. 然而寻找其较大正整数解非常困难，其耗费的时间可以用正整数的指数幂来计算. 因此，针对不同的椭圆曲线解决的方法也有待探讨与提高.

针对椭圆曲线y2=(x+a)(x2-ax+p)的整数点，研究结果主要集中在：

1）当a=- 2时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[2-7]：p= 7,15,18,23,31,43,139；

2）当a= 2时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[8-12]：p= 7,15,23,27,31,43；

3）当a=±2时，已经找到了当p= 36s2- 5，s为正奇数，且 6s2- 1， 12s2+ 1均为素数[13-14]时的全部整数点；

4）当a=- 6时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[15-16]：p= 15,19；

5）当a= 6时，已经找到对应椭圆曲线所有整点的p值如下[17-18]：p= 15,19.

针对椭圆曲线y2=（x+a）（x2-ax+p），本文将讨论a=±2,p= 37的情况，得到了如下结论：

定理椭圆曲线y2=x3+33x±74仅有整数点（x,y）=（-2 ,0）与（2,0 ）.

1 主要引理

引理1[19]25设是方程的某结合类k的基本解是的基本解，则有

引理2[19]26设是方程的某结合类k的基本解，是的基本解，则有

引理3[19]27设D＞ 0，N＞ 0，D不是平方数，不定方程u2-Dv2=N或u2-Dv2=-N的解仅有有限个结合类. 所有结合类的基本解可由引理1、引理2 经有限步求出. 设是类k的基本解，则类k的全部解可经表出，其中是的基本解，n为整数.

2 定理的证明

设椭圆曲线

的整数点为（x,y），显然，（x,y）=（-2 ,0）与（x,y）=（2,0）是（1）的解. 下面讨论方程（1）的非平凡解.设则因此d=1,3,5,9,15或45.

1）当d=1 时，可令于是即但上面两个方程都无整数解.因此，当d= 1时，椭圆曲线y2=x3+33x±74均无正整数点.

2）当d= 3时，可令易得：b2-则有设是x2- 3y2= 1的基本解，则有（x0,y0）=（2,1）. 由引理2 知经计算方程u2- 3v2= 12无整数解. 因此，当d= 3时，椭圆曲线y2=x3+33x±74均无正整数点.

3）当d=5 时，可令易得5b2=- 36. 令则有u2- 5v2=-36. 设是x2- 5y2= 1的基本解，则有（x0,y0）=（9,4 ）. 由引理2 知：经计算（u0,v0）=(±3 ,3),（±12,6）满足方程u2- 3v2=-12. 那么由引理3 知，方程u2- 3v2=- 12的整数解有4 个结合类，且由其中是Pell 方程的基本解，可以得到解的递归序列及序列性质如下：

当n≡ 3 （mod4）时，令n= 4m+ 3，则而所以此时也无整数解.综上，均无整数解.

4）当d= 9时，可令易得：无整数解. 因此，当d= 9时，椭圆曲线均无正整数点.

5）当d= 15时，可令易得则有设是的基本解，则有（x0,y0）=（4,1）. 由引理2 知经计算，方程无整数解.因此，当d=15时，椭圆曲线均无正整数点.

6）当d= 45时，可令易得则有设是的基本解，则有由引理2 知：经计算，满足方程那么由引理3 知，方程的整数解有6 个结合类，且由其中是Pell 方程的基本解，可以得到解的递归序列及序列性质如下：

因此，椭圆曲线y2=x3+33x±74均无正整数点.

3 结论

文中根据不同的情况，综合应用多种方法，主要通过构造二元四次方程，利于其解结构序列的递归性质及模序列的周期性，分别巧妙地解决了在不同的方程中遇到的高次丢番图方程的求解问题，从而成功地解决了y2=（x+a）（x2+ 2x+p）,a= ±2,p= 37这两条椭圆曲线的整点问题，得到的结论填充了这类椭圆曲线研究成果的空白. 其求解方法可应用于其他类似方程的研究.