扩展的高阶非线性Schrödinger 方程的有理周期解

王 媛

（山西能源学院 强基学院，山西 晋中 030600）

0 引言

在过去的几十年，光孤子的研究已经有了显著的进步.它的控制方程式是非线性薛定谔方程，此方程的可积性已经通过最古典的反散射方法被研究，并且此方程的其他性质也已经被很好的研究过，一般来说，人们主要研究的是非线性薛定谔方程带有各种非线性形式的变量，比如：克尔效应、色散效应等［1-13］.

当光脉冲的传输速度小于1皮秒的时候，无法用低阶的非线性薛定谔方程描述，例如，在固态激光领域就产生了低于10飞秒级的光脉冲.因此，这个激光的拟单色性不再是合理的，需要考虑高阶色散项的影响，一方面是考虑这个远距离的传输，另一方面也需要考虑在短脉冲甚至超短脉冲中的传输.因此，本文主要针对两个扩展的四阶非线性薛定谔方程进行研究，方程如下：

1 方程（1）的周期解

Ankiewicz 等人研究了方程（1）的Lax对和Darboux变换［14］，Ankiewicz 等人研究了方程（1）的一阶、二阶怪波解［15］，北京邮电大学的王玉风推导了方程（1）的无穷守恒律，并得到的N孤子解［16］，本文主要应用改进的辅助方程展开方法对方程（1）进行研究.

首先，假定方程（1）有如下形式的解

其中φ(ξ)是待定的实函数，k，ω，λ，μ是待定实常数，将（3）式代入方程（1），并分离实部和虚部可得

由齐次平衡法，假定方程（4）有如下形式的解

其中F(ξ)满足

将（5）及（6）代入（4），提取F(ξ)的系数并令其为0，得到12个代数方程，解此方程组并利用方程（6）的解，得到了方程（1）如下有理形式的周期解.

依据方程（1）所满足的条件，将这些解分成4组：

2 方程（2）的周期解

方程（2）目前研究的还比较少，刘德胤得到了方程（2）的守恒律和暗孤子解［17］，本文主要应用改进的辅助方程展开方法对方程（2）进行研究.

为了寻找方程（2）形式丰富的周期解，假定方程（2）有如下形式的精确解

其中φ(ξ)是待定的实函数，k，ω，λ，μ是待定实参数，将（7）式代入（2）式并分离实虚部可得

由齐次平衡法，假定方程（8）有如下形式的解

其中F(ξ)满足

将（9）及（10）代入（8），提取F(ξ)的系数并令其为0，得到12个代数方程，解此方程组并利用方程（10）的解，得到了方程（2）如下有理形式的周期解.

依据方程（2）所满足的条件，将这些解分成4组，其中参数m(0

3 结论

在动力系统和分叉理论领域，形式丰富的精确解对解释一些相应的现象变得越来越重要.本文主要应用改进的辅助方程展开方法，并借助于数学软件Maple，对两个扩展的四阶Schrödinger方程进行了研究，最终得到了方程（1）4种类型、方程（2）10种类型的有理形式的周期解.在此基础上，我们会对这两个方程做进一步的研究，比如考虑加入非线性随机扰动项等.