参数选择与运算繁简的关联度初探

王海棠　刘新春

[摘 要]平面解析几何中，一个常见的策略就是假设参数来表示题目中的相关量.但不同的参数对运算的繁简影响很大，这就需要合理假设参数优化运算.研究选择参数的方法，分析参数对运算量的影响，指导学生根据题意合理选择参数，能提高学生的解题速度.

[关键词]解析几何;参数;选择

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）08-0010-03

在求解平面解析几何问题的过程中，一个无法回避、令人头痛的问题是如何假设参数.设立参数是为了将问题中的几何条件用数量关系来表示.通常有假设直线的斜率（斜率参数）、假设动点坐标（坐标参数）、假设角度（角度参数）和假设线段的数量（数量参數）四种方法.实践与研究表明，选择不同的参数往往会产生不同的运算量，那么，它们之间的关联度到底如何？

从以上5种方法我们还可以看到，在解决解析几何问题的过程中，运算量是怎样产生增加的.

（1）联立方程组解交点坐标.

（2）动点坐标为两个及以上的参数所表示的代数式尤其是分式，表示直线方程和进行其他运算.

（3）基本量或直线（曲线）方程形式用多个字母及复杂的分式、根式表示时，如三角形的面积、线段的长度.

（4）复杂的消元过程导致运算量增大.

（5）问题本身条件众多，绝对计算量大.

综合分析假设参数与运算量形成原因之间的关系，我们对如何假设参数有以下启示.

（1）如果假设直线斜率为主参数，并用于表示其他动点坐标和数量关系，如果不需要联立方程组解交点坐标，则不会增加过多运算量.

（2）如果能直接运用动点原始坐标（单个字母）表示数量关系，其结果形式比较简单;若设立坐标参数表示的数量关系中一个字母[x（y）]只含有二次项，则可以运用圆锥曲线的方程消去参数，此时则宜设动点坐标为主参数，其运算量相对减少.

（3）通常可以先同时设立直线的斜率参数和坐标参数，然后分别用这些参数表示题目条件并转化为数量关系，比较哪种参数对应的数量关系运算量少、形式简单，就以此种参数为主参数表示另外的参数和数量关系.

（4）参数的选择对解题过程的运算量大小有直接的影响，但有些运算量并不是因为设立某种参数造成的.假设任何参数都有一定的运算量，但可以通过一些技能技巧简化形式，减少运算量.如能不解方程组尽量不解，直接假设坐标参数为主参数，尽量不设斜率参数表示交点坐标，对于表示长度、面积以及复杂的分式根式，能整体代换尽量不化整为零，对于复杂的分式能分解因式尽量不要先行展开，以便分母、分子约去公因式，化简到最后再代入求值.假设参数不需要求出结果的尽量设而不求.