带可变遗忘因子递推最小二乘法的超级电容模组等效模型参数辨识方法

2021-03-16谢文超赵延明方紫微刘树立

电工技术学报 2021年5期

谢文超赵延明,2 方紫微刘树立

（1. 湖南科技大学信息与电气工程学院湘潭 411201 2. 风电机组运行数据挖掘与利用技术湖南省工程研究中心（湖南科技大学）湘潭 411201）

0 引言

风力发电是可再生能源技术中最具有发展前景的技术之一，在现代电网中，风力发电的普及可以降低电力系统的惯性[1]。而变桨系统是变速恒频风力发电机组的重要组成，它不仅关系到大型MW级风机的安全运行，而且对风能吸收具有较好的控制作用[2]。而变桨系统备用电源是其中的关键零部件。变桨系统的备用电源通常采用铅酸蓄电池或者锂电池[3]。随着超级电容储能技术的迅速成熟和大规模应用，超级电容器作为独立或辅助储能系统的运行安全性越来越受到人们的关注[4]。超级电容比传统的电解电容器具有更高的能量密度，比目前的储能元件（如电池）具有更高的功率密度[5]，且还具有充放电速度快、工作效率高、循环寿命长、报废处理绿色环保、能承受瞬时大电流充放电等优点[6-11]，已经开始逐步取代铅酸蓄电池等传统电池成为风力发电机变桨系统的备用电源[12-13]。备用电源属于典型间隙性工作，通常变桨系统都是由电网供电，正常工况下，备用电源处于静置状态；在遭遇大风恶劣天气或者电网掉电等极端情况时，备用电源给变桨系统供电完成紧急顺桨，保证风机安全稳定。

剩余容量[14]是用来标称当前电容容量的状态参数[15],为了精确估算超级电容模组剩余容量，必须建立一个能精确反映超级电容模组充放电特性尤其是静置自放电特性的等效模型，并辨识等效模型参数，其辨识方法的选取直接影响着模型辨识结果。准确反映实际性能特征的超级电容模型对合理利用、优化性能和系统仿真同样具有重要意义[16-17]。Luis Zubieta等[18]提出了一种基于双层电容器三RC分支电路模型参数辨识方法，通过对电容器进行充电，并在 30min内观察内电荷再分配过程中的终端电压，分析电路关系来确定模型参数。这种方法简单直接，可操作性强，但是辨识精度比较低，适用于精度要求不高的场合。Chin-Teng Goh等[19]在考虑电容的电压和电荷依赖性的基础上，提出了一种新的双变量二次型方法来近似超级电容器的电荷电压特性，从而辨识出模型的参数，二元二次拟合方法实验简单，但是求解结果为特定的解，可能产生虚根问题从而导致辨识结果不准确。赵洋等提出了一种改进的最小二乘法来辨识超级电容的参数[20]，最小二乘法简单直观，对非线性模型参数具有很好的统计效果，但辨识精度不高[21]。Xu Dan等利用受控电流源来反映超级电容器的自放电效应，采用粒子群算法对受控电流源不同阶段的参数进行辨识[22]，粒子群算法辨识精度高，但是计算复杂。黄凯等提出一种基于信息反馈的粒子群算法用于锂电池一阶RC 等效电路模型参数辨识，辨识精度较高，对超级电容模型辨识具有借鉴意义，但是对于多阶模型相对计算复杂[23]。A. E. Mejdoubi[24]提出一种基于自适应增益模观测器的在线辨识方法，考虑容量和偏置电压之间的非线性关系，进行了李雅普诺夫稳定性分析，但此方法辨识结构复杂，实现较困难[25]。等效模型参数的辨识方法的选取直接影响着模型辨识结果，进而影响模型精度，选择什么样的辨识方法与不同应用背景息息相关。

1 超级电容模组模型

许多国内外的专家学者对超级电容的建模做了大量的研究。超级电容的双电层模型是由德国的亥姆霍兹首先提出的，并由古伊等[26]提出的双电层理论发展而来，双电层模型能够很好地表达超级电容的物理意义，但是不适合表征超级电容的电气特性。单金生等[27]对几种基于阻抗特性的超级电容模型进行了分析和总结，基于阻抗特性的超级电容模型有较好的频率适应性，可以较好地表征超级电容的阻抗特性，但是参数需要通过阻抗谱分析来确定，需要的实验设备较多，实验较为复杂。分数阶微积分是描述超级电容器内部多孔电极和电解液电学行为的有力工具[28]，A. Allagui等[29]提出了一套分别在正弦激励、阶跃电流输入和线性电压输入下，用分数阶微积分计算超级电容参数的方法，超级电容分数阶模型具有精度高、参数少、复杂度低等优点，但是如果阶数较高会占用大量的运算时间，在要求实时性的场合不太适用。A. Varsha等[30]研究了经典等效电路模型，其电路简单，辨识方便，但是在长时间充放电和静置情况下存在较大的误差，不能很好地表征非线性特性。超级电容通常由电阻元件和电容元件组成的等效电路模型来表征其特性，如果要应用于频率敏感的场合，还可以引入电感元件[31]。超级电容通常串联成超级电容模组使用，而大规模储能应用中超级电容模组需要大量串并联组合工作[32]。于是本文以单体串联成的超级电容模组为研究对象，为了合理有效表征超级电容模组在充放电过程中、充放电结束后内部电荷再分配以及静置过程中自放电现象等动态特性，建立了超级电容模组三分支电路等效模型，如图1所示。I为输入电流；U为超级电容模组端电压；Rf为超级电容模组的等效串联内阻，包含了单体串联时产生的附加串联电阻；固定电容Cf0和随电压变化的可变电容Cf1并联构成可变电容Cf；Rf和Cf组成了充放电支路；Rl为固定电阻，Cl为固定电容，Rl和Cl组成了电荷平衡支路；Rsd为一个阻值较大的固定电阻，组成了自放电支路。

图1 超级电容模组三分支电路等效模型Fig.1 Three-branch equivalent circuit model of supercapacitor cell module

2 带可变遗忘因子的RLS参数辨识方法

递推最小二乘（Recursive Least Squares, RLS）法是一种常用的辨识算法,易实现且有较高的精度,但在辨识过程中随着数据量的增大会出现“数据饱和”等问题,对于时变系统不能很好地进行参数跟踪[33]。于是在递推最小二乘法中引入遗忘因子λ，用来确定数据更新的权重，防止出现“数据饱和”的情况[34]，其算法的收敛速度、跟踪速度和修正效果受遗忘因子的影响。

待辨识系统的输入-输出模型可表示为

式中，y(k)为系统输出量的第k次观测值；y(k-i)为系统输出量的第k-i次观测值；u(k-i)为系统输入量的第k-i次输入值；ε(k)为系统的测量噪声；φ(k)为系统输入输出量的观测向量；θ为待辨识的参数向量。

对于式（1）所示的待辨识系统模型，带遗忘因子的递推最小二乘法的递推公式为[35-36]

式中，W为加权对角阵；Φ为观测向量，加权对角阵W为

式中，N为观测数据组数，观测矩阵Φ为

式中，λ为遗忘因子，其表达式为

式中，λ1(k)和λ2(k)为构成遗忘因子的两个权重，取值范围分别为 0 ＜λ1(k) ≤ 1，0 ＜λ2(k)≤ 1。通过调整权重λ1(k)和λ2(k)的取值，影响自适应增益的变化，使误差的协方差矩阵P(k+1)最小。在参数辨识的过程中，可以根据被辨识系统的情况来确定λ1(k)和λ2(k)的取值，λ1(k)和λ2(k)的取值情况分为三种：

（1）λ1(k)和λ2(k)都取 1的情况，即：λ1(k)=1，λ2(k)=1，此时式（2）为基本递推最小二乘法。

（2）λ2(k)取 1，λ1(k)取范围内固定值的情况，即λ2(k)=1，λ1(k)=λ1， 0 ＜λ1＜1，适用于缓变系统的参数辨识。

（3）λ2(k)取 1，λ1(k)取可变值的情况，即：λ2(k)=1，λ1(k) =λ0λ1(k−1)+1−λ0，系数λ0的取值范围为0＜λ0＜1，适用于平稳系统的参数辨识，避免了自适应增益的过快下降，使收敛的速度加快。

对于超级电容模组三分支电路等效模型，如图1 所示，需要辨识的参数有Rf、Cf、Rl、Cl、Rsd。首先，确定系统输入-输出方程，并求解传递函数，再通过求解拉氏变换可得到系统拉氏变换系数表达式为

然后，对连续传递函数进行离散化并得到差分方程，此时可以得到递推最小二乘法的待求解系数为

将带可变遗忘因子的 RLS得到的系统待辨识参数估计值向量代入式（8），求解出β0、β1、α0、α1、α2，再代入式（7），即可求得超级电容模组电路等效模型参数Rf、Cf、Rl、Cl和Rsd。

3 实验平台搭建与数据获取

本文选取的研究对象是由8个超级电容单体串联的超级电容模组。单体选择的是由Maxwell公司生产的BCAP0350 E270 T11 350F，主要参数见表1。将 8个单体串联构成超级电容模组，额定电压为21.6V，额定电容为43.75F。

表1 超级电容单体主要参数Tab.1 Main parameters of supercapacitor cell

为了测取参数辨识所需要的实验数据，本文搭建了超级电容模组充放电实验测试平台，如图2所示。电池测试仪型号为 EBC-A10H，其主要产品功能信息见表 2。以恒定电流（I=1A）对超级电容模组进行充放电实验，充放电完毕后静置一段时间到模组端电压稳定。整个实验过程运用实验测试平台对其进行数据采集，并记录数据。采集的数据包括采样总时间、充电电流、放电电流、模组两端电压等，实验环境温度为23℃，采样周期为2s。

图2 超级电容模组充放电实验测试平台Fig.2 Experimental of charge-discharge test platform of supercapacitor cell module

表2 电池测试仪功能信息Tab.2 Functional parameters of battery tester

4 参数辨识与仿真分析

图3 超级电容模组参数辨识与仿真分析流程Fig.3 Parameter identification and simulation analysis flow chart of supercapacitor cell module

超级电容模组等效电路参数辨识与仿真分析流程如图3所示。在实验数据获取阶段，通过搭建的实验测试平台，进行多次充放电实验，获取相关数据；在模型参数辨识阶段，采用电路分析法、分段优化法和带可变遗忘因子递推最小二乘法对超级电容模组等效电路进行参数辨识，分段优化法和带可变遗忘因子递推最小二乘法的辨识初值是电路分析法的参数辨识结果，辨识数据是实验静置阶段的数据；在仿真结果分析阶段，将三种方法的辨识结果输入到超级电容模组多方法Simulink仿真模型中进行仿真，并计算出充电阶段、静置阶段、放电阶段的综合误差以及全过程的综合误差，然后进行分析与验证。

4.1 参数辨识

4.1.1 电路分析法

本文所建立的超级电容模组三分支电路等效模型能有效表征超级电容模组在充放电过程、充放电结束后内部电荷再分配以及静置过程中自放电现象等动态特性，并且三条支路的电阻与电容大小各不相同，具有明显不同的时间常数，采用电路分析法[35]来辨识模型参数，通过分析端电压随时间的变化，独立分析各个支路的暂态过程。

通过超级电容模组充放电实验测试平台对超级电容模组进行充放电实验，并记录不同时刻的暂态过程数据（充放电电流I=1A，电压增量ΔU=50mV），选取符合等效电路模型暂态过程的实验数据，见表3，代入到电路分析法相应的计算公式中[38]，依次得到的超级电容模组等效电路的参数辨识结果见表 4。

表3 电路分析法辨识使用的部分实验数据Tab.3 The circuit analysis method identifies some experimental data used

表4 电路分析法参数辨识结果Tab.4 The parameter identification results of circuit analysis method

4.1.2 分段优化法

基于三分支等效电路的分段优化法是一种具有较精准初值和较高辨识精度的超级电容等效模型参数辨识方法[30]。由于超级电容模组等效电路中各参数（电阻值、电容值）具有物理意义，且要求各个参数都大于零，选取θˆ(0)=0、P(0)=δE作为递推最小二乘法辨识初值时，辨识结果中出现了负值，因此，这种初值的选取是不符合实际的。

由于电路分析法具有在充电阶段能够较为准确地表征超级电容模组的动态特性的优点，递推最小二乘法具有在超级电容模组充电完毕以后的静置阶段更为精准的表征其自放电特性的优点，可以有效地表征静置阶段的特性。因此，分段优化法运用电路分析法参数辨识结果（见表 4）作为递推最小二乘法的初值、静置阶段的实验数据作为递推辨识数据，进行了参数辨识，运算得到其辨识结果见表5。

表5 分段优化法参数辨识结果Tab.5 The parameter identification results of segmentation optimization method

4.1.3 带可变遗忘因子RLS法

由于风机变桨控制系统备用电源属于间隙性工作，静置时间较长，因此采集的数据量较大。随着数据量的增加，式（2）中的K(k+1)和P(k+1)变得越来越小，修正项对θˆ(k+1)的修正能力变得越来越弱，新加入的系统输入/输出数据对参数向量的估计值的更新作用不大，会出现“数据饱和”的现象[34,37]。带可变遗忘因子的 RLS参数辨识方法引入遗忘因子，避免了自适应增益过快下降，有效克服了这种现象的出现。并以电路分析法的辨识结果作为辨识初值，以静置阶段的实验数据作为递推辨识数据，来确保精准地反映超级电容模组在充电阶段的动态特性、在静置阶段的自放电特性。

结合电路分析法参数辨识结果（见表 4）以及实验静置阶段的数据，通过多次调试，得到P(0)=0.000 13，λ0= 0 .997，λ1= 0 .99，然后进行了参数辨识，运算得到其结果，见表6。

4.2 仿真建模

为了能够验证辨识结果的有效性，本文根据提出的超级电容模组三分支电路等效模型，在Matlab/Simulink环境下搭建超级电容模组多方法参数辨识仿真模型，如图4所示。将实验平台所测得的实验电压随时间的变化数据和实验电流随时间变化的数据输入到电压数据框和电流数据框中，并将表4、表 6所示的参数辨识结果分别输入到电路分析法仿真子模块、分段优化法仿真子模块、带可变遗忘因子的RLS法仿真子模块中，即可得到三种方法参数辨识结果的仿真曲线，并在示波器中进行显示。

表6 带可变遗忘因子的RLS法参数辨识结果Tab.6 The parameter identification results of variable forgetting factor RLS

图4 超级电容模组多方法参数辨识仿真模型Fig.4 Multi-method parameter identification Simulink simulation model of supercapacitor cell module

4.3 仿真结果分析

通过将电路分析法、分段优化法、带可变遗忘因子的 RLS法的辨识结果以及实验数据输入到超级电容模组多方法参数辨识仿真模型（图 4）中进行仿真，得到了超级电容模组多方法参数辨识结果仿真曲线，如图5所示。对比模型仿真结果的输出电压和实验获得的电压，分析其误差并验证所辨识参数的准确性。相对误差计算如式（9）所示，综合误差如式（10）所示。

式中，re为各方法仿真结果与实验结果的相对误差；Us为仿真输出的电压；UEx为实验测得的电压；s为采样次数且s=1,2,3,…S；rc为各方法仿真结果与实验结果的综合误差。

4.3.1 仿真曲线与实验曲线趋势分析

图5 超级电容模组多方法参数辨识结果仿真曲线Fig.5 Simulation curve of multi-method parameter identification of supercapacitor cell module

由图5可以看出，在充电阶段，电路分析法、分段优化法和带可变遗忘因子的 RLS法的仿真曲线均与实验曲线较为贴合，当t＜410s时，电路分析法曲线在实验曲线下方；410s＜t＜938s时，电路分析法曲线在实验曲线上方且逐渐偏离。分段优化法曲线整个充电阶段都在实验曲线上方。当t＜748s时，带可变遗忘因子的RLS法仿真曲线介于分段优化法曲线和实验曲线之间；748s＜t＜938s时，位于实验曲线下方。

在静置阶段，电路分析法仿真曲线在实验曲线上方且相差较远；分段优化法仿真曲线和带可变遗忘因子的RLS法仿真曲线都与实验曲线较为贴合，当 938s＜t＜4 960s时，分段优化法仿真曲线在实验曲线上方；4 960s＜t＜9 000s时，分段优化法仿真曲线在实验曲线下方。当 938s＜t＜5 128s时，带可变遗忘因子的 RLS法仿真曲线在实验曲线下方；当 5 128s＜t＜9 000s时，带可变遗忘因子的RLS法仿真曲线介于实验曲线与分段优化法仿真曲线之间。

放电全阶段，9 000s＜t＜9 880s时，电路分析法仿真曲线在实验曲线上方且逐渐偏离；分段优化法仿真曲线介于实验曲线与带可变遗忘因子的RLS法仿真曲线之间；带可变遗忘因子的RLS法仿真曲线在实验曲线上方且较为贴合。9 880s＜t＜10 400s时，曲线高低依次为电路分析法仿真曲线、实验曲线、带可变遗忘因子的RLS法仿真曲线和分段优化法仿真曲线。

4.3.2 误差分析

在充电阶段，即 0＜t＜938s时，电路分析法的综合误差为2.52%，分段优化法的综合误差为0.66%，带可变遗忘因子的 RLS法综合误差为 0.4%，比电路分析法的综合误差降低了 2.12%，比分段优化法的综合误差降低了0.26%。

在充电后的静置阶段，即938s＜t＜9 000s时，电路分析法的综合误差为 7.11%，分段优化法的综合误差为0.28%，带可变遗忘因子的RLS法综合误差为0.19%，比电路分析法的综合误差降低了6.92%，比分段优化法的综合误差降低了0.09%。

在放电全阶段，即 9 000s＜t＜10 400s电路分析法的综合误差为37.01%，分段优化法的综合误差为 18.88%，带可变遗忘因子的 RLS法综合误差为7.72%，比电路分析法的综合误差降低了 29.29%，比分段优化法的综合误差降低了11.16%。

计算整个过程的综合误差，电路分析法的综合误差为 10.72%，分段优化法的综合误差为 2.82%，带可变遗忘因子的RLS法为1.22%，比电路分析法降低了9.5%，比分段优化法降低了1.6%。多方法仿真结果的误差对比见表7。

表7 多方法仿真结果误差Tab.7 The error of multi-method simulation results（%）

从表7可以看出，电路分析法辨识结果仿真误差在充电阶段较小，辨识精度较高，但是在后续的静置阶段和放电全阶段误差较大，特别是在放电全阶段辨识精度严重不足，整体误差较大。分段优化法辨识结果仿真误差在充电阶段、充电后静置阶段都在1%以内，与电路分析法相比误差明显降低，具有较高的辨识精度，在放电全阶段误差也有所下降，但误差依旧较大，辨识精度不足，整体误差较小。带可变遗忘因子的 RLS法辨识结果仿真误差在充电阶段、充电后静置阶段均在0.5%以内，与分段优化法相比误差进一步降低，特别在放电全阶段误差降低了11.16%，具有较高的辨识精度，且整体误差进一步减少。

综上分析，带可变遗忘因子的RLS法不仅在充电阶段能够保证辨识的精度，而且在静置阶段比分段优化法和电路分析法具有更精确的辨识效果，特别是在放电全阶段，带遗忘因子的RLS法收敛速度更快，较大地降低了误差，能够较为有效地辨识超级电容模组等效模型的参数。