指导学生数学解题反思写作实践与思考

广东省东莞市东莞中学松山湖学校(523808) 谭云峰

数学家乔治•波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的反思”.目前数学教育的同行们对数学解题反思的内涵及其重要性有所研究,但具体在数学解题后如何进行反思,以及如何指导学生进行反思写作呢?笔者在指导学生进行数学解题反思的写作实践的基础上,界定了数学解题反思能力的内涵与外延,分析学生解题反思的案例,并提出指导学生数学解题反思写作的建议.

1 数学解题反思写作的涵义

数学解题的反思是让学生通过对题目理解过程、解题过程进行反思,对做错的题目进行改正、反思和总结,从而提升学生的思维的深度,加深对知识理解,提升批判思维能力,严谨的逻辑思维的品质.

数学解题反思的内容通常是对题意(审题过程)进行反思,或者对解题思路,解题策略进行反思.其写作内容如下表所示:

表1 解题反思内容表

2 典型案例分析

笔者在指导学生进行解题案例反思后, 及时进行点评,组织同学互评,让学生相互学习,提高数学解题反思的能力.现列举如下两个实践案例进行评述.

例1 如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC的顶点A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点, 点P为线段BC上的点, 以OD为腰的等腰∆ODP的顶点P的坐标是____.

图1

学生解题反思:

(1)理解模糊,忽略了等腰三角形中需要分类讨论,这里并没有明确腰是哪条线段,所以有多种可能性,结果一定不唯一.

(2)思路不清,等腰三角形应两两对应分组搭配,对于每种情况要检验是否符合题意.

(3) 利用圆规画图, 避免漏掉可能的情况.从画图可知当PD=OD时,分两种情况讨论,若点E在点D的左边,OE=2,此时,点P的坐标为(2,4),若点E在点D的右边,则OE= 8, 此时, 点P的坐标为(8,4), 当PO=OD时,OE== 3, 点P的坐标为(3,4), 故答案为(2,4)或(8,4)或(3,4).

教师评析: 解决此题你需要熟悉矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识,本题主要看你在等腰三角形运用中是否具有分类讨论思想,这里符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.可以从你的反思看到你开始有了分类讨论意识,但是可能对等腰三角形的分类情况还不是特别明确.所以解决此题的关键应该是等腰三角形具体怎么分类讨论.反思中提到可以借用圆规画出图形,避免漏掉可能出现的情况.值得提的是在分析题目的过程当中,建议你在一个图当中把三种不同的三种情况都表示出来.对于几何问题涉及到的分类讨论,反思时你将不同的情况对应的图形一一画出来.这样会更清晰的看到不同的情况所对应的图形,更有助于对问题的理解.

例2如图所示,有一张一个角为60°的直角三角形纸片,沿其一条中位线剪开后,不能拼成的四边形是____.

图2

A.邻边不等的矩形 B.等腰梯形

C.有一个角是锐角的菱形 D.正方形

学生反思:

(1) 理解问题不透彻, 我陷入了思维误区, 认为BC=CD,以致于我从头到尾都认为可以拼出正方形,正所谓“输在起跑线上”.

(2)题目说明∠C= 90°,∠B= 60°,故∠C= 30°,这时Rt∆ABC是“黄金三角形”,它的斜边是30°角所对的直角边的一半.我们就可以设BC=x,AB= 2x,再利用勾股定理求出AC的长.但BC ̸=CD,不能拼成三角形,我们要知道各边的关系才能正确完成此题.

教师评析: 这是一道生活联系实际的问题,不仅要用到三角形中位线的性质、菱形、等腰梯形、矩形的性质,还锻炼了你的动手能力.解答此类题目时应先画出图形,再根据已知条件判断各边的关系.这道题关键是要根据条件画出相应的图形,进而拼出各种组合.在反思当中写到关键是“要知道各边的关系”——这个“各边的关系”指的是剪完之后各边的关系,还是剪之前各边的关系,不够明确.在你呈现的几个图形当中,不能够直观的得到拼出的图形,所以我觉得你的反思中并没有提到此题的核心思路,即将每一种组合如下拼出来.

图3

从以上的案例,我们可以看到学生进行数学解题反思的过程是与自我对话,与老师和同学对话的过程,在这个过程中逐渐理清思路,辨析概念,达到巩固理解知识并能运用解决问题的目的.数学解题反思写作既有助于学生深刻地思考数学,同时也帮助教师评估学生的学习过程和结果.在学生学习的情感态度方面, 通过师生之间借助数学写作的互动,有利于师生创造更加和谐活泼的学习气氛.

3 指导学生数学日记写作的思考

在指导学生进行数学解题反思的过程中,老师要充分发挥评价的功能,对学生进行引导,激发学生解题后主动进行反思总结,逐步规范学生解题反思写作表述,尤其注重学生进行数学反思写作的逻辑思考.充分发挥教师对学生的写作评价的引导作用,及时地对学生的反思写作进行点评,激发学生的兴趣,鼓励和引导学生在书写中不断深入思考.

(1)鼓励和引导,激发学生写作解题反思的积极性

学生书写数学解题反思,需要经历入门到提高,从初步体验到深入思考的过程,老师在这个过程中,要帮助学生逐步树立信心.老师对学生的作品在评价时,要以鼓励为主,对于能上交作品的同学要首先给予肯定,对于学生书写的语言的流畅性,表达的专业性,不宜要求过高.让学生坚持动笔书写是写好数学反思的前提.

学生日常课业负担比较重,我们要留给学生书写数学解题反思的时间和空间,让学生能静下心来思考,组织语言,记录自己的思考过程.鼓励他们一周至少留给自己两次书写数学反思的时间.给学业比较困难的同学布置一些描述性的课堂学习感悟的写作任务.

要在班级公开展示优秀的作品, 表扬参与写作的同学,对学生作品的亮点进行展示, 同时也可以让同学进行点评,引导班级同学主动寻找作品中的亮点,让同学在正面积极的评价引导下来鼓励学生写好数学反思.

(2)归类与整理,积累数学解题反思写作模式

对学生反思写作进行书面点评的时候,首先要引导学生对反思内容进行归类.分别从明确题目问题、分析题目条件、基础知识运用、语言解读、解题思路、学习他人思路、解题总结等方面引导学生进行反思.学生长期进行归类整理,把同类问题进行比较和总结,可以培养学生良好的数学解题思维习惯.同时,通过经常性地检视回顾自己思考问题的过程,提高学生的数学学习的元认知的能力.老师有意识地引导学生进行解题反思的归类,有利于学生能按照常用的写作模式进行写作,遵循既定的框架进行写作,从而达到深入思考和提升分析问题的能力.

(3)纠正与规范,不断提高学生反思写作的语言表述

笔者在指导学生进行写作的过程中,发现很多学生在日记中表达不规范,逻辑结构不是很清晰,数学概念也存在运用不当的现象.有部分学生容易停留在表层的描述,不太注重表达的规范和严谨.面对这种情况,教师应当给予学生敢于表达自己想法给予肯定,同时要引导学生在数学反思的写作中注意培养学生数学语言的规范表达,使学生能规范地运用数学语言.

经过笔者的实践研究,引导学生开展数学解题反思写作在初中数学教学中是有成效的,作为指导学生进行数学学习一种有效的途径,值得我们继续实践并进行研究下去.目前还有很多问题需要我们继续在实践中进行探究,比如,如何开展数学解题反思性写作让学生不再感受到是一种额外的负担? 如何对学生的反思进行有效的评价? 如何指导学生把数学反思和课后作业结合起来,发挥数学日记的复习功能等,这些问题值得我们在理论与实践中不断地继续深入研究.