双指数源激励下垂直电偶极子产生的极低频近场

许红蕾 顾婷婷 朱勇 韦笑 李粮生 殷红成

（1. 电磁散射重点实验室，北京 100854；2. 浙江大学，杭州 310027；3. 浙江大学CAD & CG国家重点实验室，杭州 310058）

引言

雷电过程是自然界最主要和常见的极低频激励源. 云和地之间的闪击（地闪）闪道近似地垂直于地面，其放电过程产生高达数千安培的瞬态电流，是极低频电波的主要激励源[1].

国内外之前对极低频电波传播问题的研究主要集中在远距离信号传播问题和应用，如极低频全球通信、大气噪声等方面. 其理论基础一般将大地和电离层之间的空间传播模型看作同心球形腔体来分析其时频响应和舒曼谐振特性. 但近年来，研究表明极低频电磁脉冲的产生在近区可能给电磁系统，如风力发电系统等带来不利影响[2].

极低频近场传播特性的理论研究一般选取平面地-电离层波导求解[3-7]，但对于雷电电磁脉冲在附近区域（如10 km）将不再合适. 此时，电离层（垂直高度：通常60～90 km）对其影响几乎可以忽略不计.

基于上述问题，本文提出一种极低频近场传播的解析计算方案，利用前期工作中对极低频海底传播近场的准静态求解方法[8-10]，推导出基于平面半空间模型下雷电磁脉冲的时频响应解析表达式，以及典型大地参数情况下的数值算例.

1 极低频近场理论

将地闪雷电源假设为地面放置的垂直电偶极子，如图1所示. 其中，k0和k1分别为空气层（真空）和地表（如岩石）的波数.

图1 雷电脉冲激励极低频电磁波原理图Fig. 1 Schematic diagram of ELF electromagnetic wave excited by the lightning pulse

1.1 极低频电磁波在平面半空间表达式

1909年，Sommerfeld给出了均匀无界半空间中电磁场的积分表达式[11]. 取柱坐标系 (ρ,φ,z)，在空气区域0（z≥0）一侧，电磁场表达式可以表示为如下形式：

1.2 极低频近场准静态近似

考虑文献[1]给出的海底极低频近场传播理论的准静态近似假设，有：

下面对垂直电偶极子在空气层-大地（或海平面）构成的无限大平面半空间模型，沿用其思想，假设如下：

本文求解单位脉冲响应频域近似解，如下：

式中，传播距离d0，d1和r0，r1定义为d0=|z−d|,d1=z+d和

若令z=d=0,Idl=1，取高阶无穷小近似（式(4)），可得：

式中，ρ′=ρ/c,c=3.0×108m/s.

1.3 双指数源激励极低频电磁波近场瞬态解

根据时域卷积定理，定义如下：

先把式(9)～(11)逆傅里叶变换，得到单位脉冲响应时域近似解，再带入式(12)～(14)，可以求解出双指数激励下垂直电偶极子产生极低频近场的时域表达式，如式(15)～(17)所示：

2 数值计算

作为对文献[8]工作的拓展，我们推导了由双指数源激励的各向同性岩石层表面的垂直电偶极子产生的瞬态场的近似表达式. 双指数源激励的垂直电偶极子产生的瞬态场最终可以表示成一系列的基本函数.

表1是常见的地表模型下介电常数与电导率情况[12]. 如图2(a)和(b)所示，利用表1的参数分别对工作频率f=10Hz 和f=30Hz两种情况进行相关数值计算，给出了垂直电偶极子激励下极低频电磁波沿空气层和地表分界面电场E0Z分量随传播距离的变化曲线. 其中，传播距离均选择ρ=100km以内的近区区域. 可以看出，极低频电磁波的高频段，即接近 30Hz的工作频段对大地的介质参数敏感；而低频段，即1 0Hz以下的工作频段对应图中几类大地情况差别不大. 可以推测若选用高耗介质的大地参数，在极低频频段，即3～30 Hz与图2(a)中衰减趋势区分不大.

表1 常见地表模型下介电常数与电导率情况Tab. 1 The dielectric constant and conductivity under common earth surface models

图2 垂直电偶极子在空气-大地分界附近激励极低频近场Fig. 2 The ELF near-field near the air-earth boundary excited by the vertical electric dipole

如图3(a)和(b)所示，分别给出了电场分量Ex和Ez能量归一化后在x-z平面的投影分布情况.

图3 垂直电偶极子在空气-大地分界附近激励极低频电磁波空间分布情况（d=50 m）Fig. 3 The spatial distribution of the ELF electromagnetic wave excited bythe vertical electric dipole near the air-earth boundary (d=50 m)

根据公式(17)，考虑电场分量E0z(ρ′,t)随不同大地介电常数 ε的时域变化情况，得到 φ=0、d=0 m下双指数雷电脉冲信号激励下的瞬态电磁场，如图4所示. 从图4可以看出：双指数源产生的瞬态响应的第一个传播分量在t=ρ′处产生，第二个传播分量在处出现. 当传播距离比较近时，到达时刻初期可观察到波形混叠现象. 随着传播距离的增大，一方面时域响应到达的时刻延后，另一方面双指数源产生的两列传播波型发生分离.

3 结 论

本文对雷电地闪过程在近地面产生的极低频近场传播特性进行了研究，利用文献[8]提出的极低频近场准静态近似方法，推导出双指数源激励下垂直电偶极子产生的极低频近场解析近似表达式. 通过数值计算，给出了空气层-大地层分界面附近电磁场的空间分布情况，给出了双指数激励下不同地面情况的瞬态结果. 该求解模型可用于分析雷电极低频近场，在后续工作中可进一步展开对复杂地面情况，如各向异性、分层地表以及混合路径下极低频近场的时频响应特性分析.