基于“智慧课堂”的医用高等数学STC教学研究

孙江洁，郑治波，陈 姚，杜亚楠

（1.安徽医科大学卫生管理学院，安徽合肥230032；2.云南保山学院，云南保山678000；3.九姑中学，安徽宿松246525；4.安徽省高等医学教育合作委员会，安徽合肥230032）

“医用高等数学”是卫生统计学与流行病学的先修课程，也是生物医学工程专业的基础课程之一。在国家级重点医学院校，医用高等数学课程面向全体学生开设；在国内大多数二本院校，医用高等数学课程面向除护理学专业外的其他学科学生开课。因此，医用高等数学课程授课对象来自不同专业，学生原有数学知识水平存在差异，加上课程内容体系复杂、抽象，传统教学效果往往不够理想。2002年，Benkiran和Ajhoun提出学习者可根据自己的节奏进行个性化和自主化的学习[1]。2008年，智慧课堂在智慧教育的基础上被正式提出，与国外smart classroom相对应[2-3]。智慧课堂采用知识构建理论、移动平台和互联网开展具备信息智能特色的教学模式，具备“基于数据”、“个性化”、“合作”、“动态开放”和“高效”等特点[4-5]。2018年教育部发布《教育信息2.0行动计划》，人工智能和大数据等互联网技术对课堂教学产生了较大影响[6-7]。2020年，全球受COVID-19侵袭，传统教育模式彻底被颠覆，线上教育已经成为主流，面对如此庞大而深远的应急改变，如何开发和利用已有的教育教学改革成果，保障教育教学质量成为全球教育工作者迫切需要解决的问题。

本课题组与时俱进，持续探索教育教学模式的创新，于2016年提出基于“自主学习—传统教学—交叉协作学习”的“医科高等数学STC教学模式”[8]，其中S指的是自主学习（Self-directed learning），T指的是传统教学（Traditional teaching），C指的是交叉协作学习（Collaborative learning）。2018年申报了“医用高等数学”省级智慧课堂项目，开展“主题微课程”体系建设，在“智慧课堂”的建设路径[9]和STC教学模式方面获得了一定的经验[10-11]，故在此分享基于“智慧课堂”的医用高等数学STC教学的几点思考。

1 医用高等数学智慧课堂综合体系

智慧课堂将计算机、互联网、人工智能和软件辅助等手段应用于复杂性、理论性强和抽象度高的学科教学，可提高教育教学质量[10]。智慧课堂框架构建讨论较多，其中孙曙光和刘邦奇[13]提出的“智慧课堂”体系较容易被大众接受。我们在此基础上，结合医科高等数学STC教学模式特点，提出“学生端、教师端和互联云端”三端合一的医用高等数学智慧课堂总框架。

我校临床医学专业的学生“医用高等数学”教学内容共计七章，内容包括“函数、极限与连续”、“导数与微分”、“微分中值定理和导数的应用”、“不定积分”、“定积分”、“定积分的应用”和“常微分方程”等7个一级目录，共计151个知识点[14]。医用高等数学智慧课堂教学分为课前、课中和课后3个阶段。课前为准备层，既包括教师学情分析、课前备课、微课制作与资源整合及推送、预习检测等版块，又包括学生的课前预习、预训练兼疑难备注，为课中教学集中攻关难点做准备。课中为关键层，这里包括教师的主题引入、主题教学和实时检测等版块，同时包括学生的协作、互动、探究提升等。课后为优化层，包括教师的答疑、课后作业批改和反思等版块，也包括学生的课后作业、评价和合作等。

2 基于智慧课堂的医用高等数学STC教学设计

2.1 医用高等数学智慧课堂教学设计

我们以知识点“定积分的应用之旋转体体积”的教学为例，阐述医用高等数学智慧课堂教学总设计。

定积分的应用是学习重积分的基础，我们的微课程将从可视化的案例引出课题，从古典的数学百科中提炼数学问题，激发学生学习知识的积极性，培养学生善于发现、独立思考和明辨创新的思想意识，进一步提高学生逻辑思维能力和知识迁移能力。通过教学使得学生熟练掌握旋转体侧面积公式、体积公式以及具体运用，并最终理解“无穷与有限”辩证统一的数学思想。

医用高等数学智慧课堂教学流程主要包括课前、课中和课后三个阶段和师生两端，如图1所示。

学情分析指教师利用学生成绩数据和智慧课堂教学过程中的及时反馈数据进行分析，精确掌握学生学情资料，确定课程教学目标。备课指教师根据学情分析结果，结合学生预习检测统计情况设定教学目标、教学内容和教学方案。微视频制作指根据章节教学内容，结合知识构建理论，设计特定主题内涵的2～3分钟短视频，用于激发学生学习兴趣，引出教学主题。资源整合及推送是教师根据教学目标和学情，向学生推送教学课程相关的网络共享资源（包括微视频、微课、音频、课件、图片等）。预习检测指教师在推送课前优质资源的同时，向学生推送预习后的作业，以检测预习效果，培养学生自学能力。课前预习指学生课前预习智慧课堂教学平台推送的自学内容。预训练指学生在完成教师课前推送的自学内容后完成并提交训练题目。疑难备注指学生将课前自学过程中出现的疑问记录下来，待教学过程中集中学习解决。

主题引入指教师在教学前播放的微视频，引出教学内容，唤起学生注意力，激发学生学习兴趣。主题教学指根据教学目标、教学内容和教学方案开展的系统性教学。实时检测指在教学过程中，教师根据学生学习的现状，同步开展监测与评估，为同步修正教学策略提供数据支持。协作指学生互助学习，主要包括分组探究、游戏教学等方式开展（在这个部分，我们组建数学学习兴趣小组）。互动指教学过程中的师生知识问答交流，以保障学生全过程投入到学习和掌握新知识的过程当中。研究提升指针对学生学习过程中仍存在的问题或新发现的问题，又或者是与所学知识相关的实际问题，通过智慧课堂平台进行讨论、交流，提出自身见解或互助解决，进而达到互为提升的过程（在这里，我们结合定积分应用之体积求解的主题，探究定积分公式在医学上的应用，如植皮手术策略等[9]）。

答疑指教师基于智慧课堂平台数据分析，结合测评反馈结果，对知识点薄弱环节补充讲解，对重点、难点进行深度辨析的过程，包括对学生发现的新问题的解答。课后作业指教师课后给学生推送的一般性作业、个性化作业和诊断性作业，同时还包括教师推送给学生下一次教学所安排的新任务。课后作业批改指教师针对学生提交的作业进行及时批改、反馈和点评的过程。评价指学生对教师教学的全过程进行有效性、科学性评估，同行听课后的及时评估。反思指教师根据教学全过程的自身体会，结合智慧课堂平台反馈的数据进行思考，为教学改革提供智慧。合作指师生组团完成新任务、新项目。

2.2 基于智慧课堂的STC教学案例设计

为了更好地推广基于智慧课堂的STC教学模式，在这里提供一个医用高等数学STC教学范式——定积分应用举例之旋转体体积。

课前

教师结合医学生数学功底不强的实际，我们在“定积分的应用之旋转体体积”教学过程中构建神话故事“喇叭”，结合“喇叭悖论”，以“旋转体——神奇的喇叭”为主题，制作完成2分钟35秒的神话故事微视频，在教学前推送给学生，并发布参考文献《用帕普斯—古尔丁定理解释喇叭悖论》[15]，提出求解喇叭侧面积问题，激发学生学习动力。

在“定积分的应用之旋转体体积”教学过程中，拟定知识维度（要求学生熟练掌握旋转体侧面积公式、体积公式以及具体运用，理解“无穷与有限”辩证统一的数学思想）、能力维度（培养学生观察、分析、运用知识的能力，认识从有限到无限转变，进一步提高学生逻辑思维能力、知识迁移能力）和情感维度（从可视化的现实案例引出课题，激发学生学习知识的积极性，培养学生独立思考的思想意识，渗透“无穷与有限”的辩证统一唯物观），对教学内容及重难点进行剖析，确立“掌握旋转体面积、体积公式”为教学重点，“利用定积分理论分析问题、解决实际问题”为教学难点。以主题教学法和问题驱动法等教学方法构建教学方案。

课中

[教学引入]：以“神话故事”制作微视频推送给学生，并提出“主题悬念”（相传在很早以前，加百利拿着神奇的喇叭，演奏出悦耳、动听的声乐，得到了天庭的赞赏，成就了加百利“上帝的使者，炽天使的最佳候选”，主要负责吹奏号角来宣布人的生老病死……）

这喇叭到底有何奇特之处呢？要了解真相，那要从375年前说起，当时意大利著名的数学家、物理学家托里塞利（Evangelista Torricelli）研究发现该喇叭无穷的面积包围了有限的体积，如图2所示。这种神奇的现象令人“难以置信”，后人称之为“喇叭悖论”。

[切入主题]：这也就是我今天要介绍的微课内容——定积分的几何应用之喇叭悖论。

图2 托里塞利小号[16]

针对“喇叭悖论”，学者们研究了相当长的一段时间，直到1941年，美国哥伦比亚大学的数学家对这一悖论给出了一个通俗的描述“一个装有π立方单位的油漆桶，其中的油漆不能涂满油漆桶的表面”。那么这个“体积π和面积∞”是怎么得到的呢？

[主题教学]：在解决这个问题之前，先来回顾一下以前的教学内容，规则曲线运动所形成的圆柱、圆锥、圆台等的面积、体积公式；不规则曲线所围成的平面图形的面积公式，不规则曲线绕坐标轴旋转的旋转体的侧面积、体积公式。

这里，基于教学内容需要，先回顾一下旋转体体积公式：

和侧面积公式

在此基础上，先分析公式形式和结构，再着手利用公式解决托里塞利小号的神奇之源。在PPT上展示托里塞利小号的3D动画（让学生们切身体会旋转体的结构）。构建坐标系，把托里塞利小号看成是函数所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。接下来，计算旋转体体积和侧面积。根据求体积的步骤，要做两件事，找积分上下限和曲线方程。

平台提问：该积分上下限为?选定学生回答。

平台提问：旋转曲线方程为?选定学生回答。

故由体积公式（1）有：

这样一来，体积π就通过公式计算而得到了！

同理求旋转体的侧面积，由侧面积公式（2）有：

至此，就全面得到了托里塞利小号体积为π、侧面积为+∞的事实。用定积分公式揭示了“一个装有π立方单位的油漆桶，其中的油漆不能涂满油漆桶的表面”的科学性和合理性。

[小结]

本节微课是一节知识应用课，主要展示了旋转体体积公式（1）和旋转体侧面积公式（2）在喇叭悖论中的应用，主要从激发学生学习兴趣的角度，结合图形可视化的优点，让学生切实感受从直观体验到抽象升华的全过程，在教学过程中，渗透“无穷与有限”的辩证哲学观，体现积分学中对立统一的哲学思想，让学生体会数学的美妙与神奇。

课后

发布作业并批改，根据相关数据进行后续教学改革，并向智慧课堂平台同步发布、分享教学视频、文本等资源。

3 结束语

我们提出的医科高等数学STC教学模式于2018年度荣获安徽省教育厅教学成果三等奖，微课程建设在国内教学比赛过程中，课题组荣获省级教学竞赛一等奖1项、特等奖2项、华东地区特等奖2项、全国二等奖2项。在此基础上，2018年度进一步申报智慧课堂建设项目，2019年初立项，2020年度通过安徽省省级示范课程评审，并获立项（项目号为：2020jsk1341）。在人才培养方面，取得了初步成效，如当下在中山大学读研的姜园园，自学习医用高等数学课程以来，加入我课题从事助研工作4年有余，参与发表SCI、EI论文3篇、中文论文多篇。再如在山东大学读研的王平、在校生张清、麻祖青、李梦莹等一批学生参与发表SCI、EI、中文论文多篇。本研究基于“智慧课堂”的医科高等数学STC教学模式打破了传统的“灌输式”教学方式，采用知识构建理论，结合主题教学法，在整合网络资源基础上，构建知识点微课程体系，从教学内容模块化、教学方法多样化、教学场所时空化、教学评价及时化等多维度改革，充分体现出基于“智慧课堂”的医科高等数学STC教学模式的及时性、有效性，值得推广。