可重构六维加速度传感器的构型奇异分析∗

陈华鑫尤晶晶王林康史浩飞叶鹏达

(1.南京林业大学机械电子工程学院，江苏 南京 210037；2.江苏省精密与微细制造技术重点实验室，江苏 南京 210016)

六维加速度传感器在汽车安全、机器人、航空航天等领域有着广泛的应用[1－3]。 随着科学的进步与发展，为了获取物体实时、精确的位姿信息，人们对六维加速度传感器的灵敏度、精度要求越来越高。目前，六维加速度传感器仍处于实验室原理论证阶段。 Vladimir Chapsky 等提出了一种弹簧光电型六维加速度传感器[4]，孙治博等提出了一种基于Gough-Stewart 机构的六维加速度传感器[5]，他们的不足之处是在解耦过程中忽略了质量块与基座的相对运动而没有考虑机构的奇异位形。 然而，由于多维传感器弹性体结构的自由度数较高，传感器在工作时可能处于奇异位形。 当弹性体结构的位姿接近于奇异位形时，其灵活度大幅下降，甚至实际自由度不再与理论自由度相等，严重影响了传感器的性能。因此，六维加速度传感器弹性体结构的奇异性是一个重要的性能指标。

本课题组已设计出四种构型的六维加速度传感器，包括9－3、9－4、12－4 和12－6 型。 前期研究结果表明，不同构型传感器的刚度、测量精度、效率等性能指标不同[6]，同一构型的多个性能指标之间也存在矛盾[7]。 为适应不同的工作场合[8－11]，我们提出了“可重构六维加速度传感器”的概念，即六维加速度传感器的弹性体结构能够在多种构型之间自由切换。

本文对一种可重构六维加速度传感器的四种构型建立了正向动力学方程和正向运动学方程，推导出了由基座加速度分量表达的质量块相对于基座的位姿解。 进一步地，使用Gosselin 法分析了四种构型的奇异位形。 最后，研究了传感器四种构型的奇异位形与基座加速度、质量块的质量之间的关系，从理论上指导了传感器构型的选择。

1 传感器的结构模型及工作原理

可重构六维加速度传感器由边长为2n 的质量块、基座以及数条初始长度为L 的SPS 支链组成(S代表球面副，P 代表移动副)。 如图1 所示，支链采用可改变工作状态的拉动式结构。 当传感器重构为某一构型时，拉动该构型对应的所有支链，此时支链上的弹簧压缩，弹簧刚度增大。

图1 可重构六维加速度传感器的支链结构

不同构型的并联式六维加速度传感器原理相同，根据传感器支链个数、复合球铰链个数，传感器可分为9－3、9－4、12－4 及12－6 构型等。 传感器在实际工作时，外壳刚性固定在待测载体上一起做加速运动，质量块在惯性力的作用下压缩或拉伸支链。各支链上压电陶瓷受到轴向力的作用，由于正压电效应，压电陶瓷的两端会产生电荷，且电荷量的多少与作用在外壳上六维加速度的大小有关。 实际解耦时，首先，测量出所有压电陶瓷两端的电荷量，并运用压电理论将其换算成支链的变形量；然后，运用并联机构的运动学理论将支链的变形量换算成质量块相对于外壳的运动参量；最后，用外壳相对于惯性参考系以及质量块相对于外壳的运动参量来表示质量块相对于惯性参考系的运动参量，通过建立并求解系统的动力学方程得到待测加速度的6 个分量[12]。

六维加速度传感器能够在9－3、9－4、12－4 及12－6 这四种构型之间实现重构，如图2 所示。 分别在质量块和基座上固联坐标系{O1}和{O2}。 初始状态下两坐标系重合，其坐标原点位于质量块的质心处。 本文以12－4 构型传感器为例，对其建立正向动力学、运动学方程并计算其雅可比矩阵条件数。

图2 传感器四种构型的支链布局原理图

2 正向动力学模型

六维加速度传感器的输入量为基座的六维加速度，输出量为所有支链的轴向力。 每个输入量均会引起所有输出量的变化，因此，六维加速度传感器属于多输入、多输出的非线性、强耦合系统。 通过构建系统的动力学方程，根据基座的六维加速度求解各个支链的轴向力，该过程称为“正向动力学求解”。

2.1 正向动力学方程

由于传感器质量块的质量远大于支链的质量，且各个支链两端均为球面副，因此各条支链均可看作二力杆。 记fi为传感器中第i条支链输出的轴向力。

定义前置矩阵和后置矩阵，其表达式分别为:

式中:子元素s1、s2、s3、s0均为实数，由它们组成的列向量记作S；上标“＋”、“－”分别表示对应向量的前置矩阵和后置矩阵。 当子元素取四元数的虚部λ1、λ2、λ3和实部λ0时，对应的矩阵称为前置四元数矩阵和后置四元数矩阵。 由此，可用单位四元数(λ1，λ2，λ3，λ0)描述载体系{O2}和惯性系之间的四阶旋转矩阵R:

运用牛顿－欧拉法可分别对传感器的四种构型建立两组动力学方程[13－14]。 12－4 构型的两组动力学方程为:

式中:a、ε分别表示三维线加速度矢量和三维角加速度矢量；m为质量块的质量；g为重力加速度。

2.2 正向动力学求解

根据所建立的两组动力学方程(4)、(5)，可得到传感器输入、输出量之间的映射关系:

进一步分析后发现，四种构型的支链数均多于动力学方程的数目。 因此，仅利用式(6)还无法求解出支链的轴向力。 本文基于并联机构的正向运动学理论，挖掘传感器在四种不同的构型下，输出量之间的固有约束关系，从而建立补充方程。

在坐标系{O2}中，传感器支链的矢量可表示为

结合式(6)，可得传感器的支链的轴向力与输入量之间的映射关系。 易证明，所建立的线性方程组系数矩阵的秩恒等于12，故fi具有唯一解。 同理可求得传感器在9－4、9－3、12－6 构型下支链轴向力的解。

3 正向运动学模型

并联机构的运动学正解指:在已知的支链长度的情况下，计算出质量块相对于基座的位姿正解。本节通过综合运用四面体单元法和几何约束法，计算传感器四种构型的运动学正解。

如图3 所示，以9－3 构型四面体B1b1b2b3为例，b1、b2、b3构成四面体底面，li对应于四面体侧棱边的长度，也是传感器第i条支链的长度，且满足关系式(13)。

图3 9－3 构型四面体B1b1b2b3

图4 9－3 构型位姿计算几何模型

图5 12－4、9－4 构型位姿计算几何模型

式中:

如图6 所示，根据质量块上点O、B1、B2、B3的几何位置关系有:

图6 12－6 构型位姿计算几何模型

将传感器各构型由正向动力学求得的支链长度代入位置正解，即可得到由基座加速度表达的质量块相对于基座的位姿解析式。

4 奇异位形分析

4.1 雅可比矩阵的推导

采用Gosselin 奇异分析法分析传感器的奇异位形。 在已知质量块在{O2}中的位置和姿态(x，y，z，α，β，γ)的情况下，求解各个支链长度li。 对支链长度表达式中的各变量x，y，z，α，β，γ求偏导数即可求得雅可比矩阵中的各个元素[15－16]。

由12－4 构型杆长条件可以得到:

4.2 雅克比矩阵条件数的倒数的计算

由矩阵理论可知，若雅克比矩阵J是一个m×n矩阵，其中m

雅可比矩阵条件数的倒数可用于评价机构的控制精度、灵活性和各向同性[17]。 若该指标值越接近于1，则表明机构中支链的分布越对称，其受力越均衡。 此时，在对应位姿下的并联机构也越灵活。 当雅可比矩阵条件数的倒数越接近于0，则此时弹性体结构的位姿越接近于奇异位形。

观察后发现，雅克比矩阵的前三行是与支链方向有关的向量，是无量纲的；后三行元素与支链和质量块质心间的距离有关，具有长度量纲。 因此，矩阵JTJ的六个特征值无法从大到小排序。 为使雅克比矩阵的各行量纲统一，将雅可比矩阵的最后三行同除以特征长度，此时矩阵JTJ中各元素单位是无量纲的[18]。 本文将n视为特征长度。

计算当基座加速度在一定范围内时，四种构型的雅可比矩阵条件数的倒数。 将由加速度信息表达的质量块质心位置O{O2}及欧拉角α、β、γ代入支链长度表达式，即可求得用加速度表达的雅可比矩阵。本文将以质心为参考点的反向雅可比矩阵视为标准雅可比矩阵，并将标准雅可比矩阵条件数的倒数小于0.15 的位形定义为奇异位形(奇异临界值可根据实际计算结果作出调整)。 为计算传感器在承受大幅值加速度情况下其雅可比矩阵条件数的倒数，设定输入加速度取值范围如表1 所示。

表1 输入加速度取值范围

为研究传感器奇异曲面与质量块的质量之间的关系，本文计算了传感器的质量块由5 kg 逐步增加至15 kg 时四种构型的雅可比矩阵条件数的倒数。 传感器结构参数如表2 所示，重力加速度g取9.8 m/s2。

表2 传感器结构参数

在设定的输入加速度范围内，四种构型雅可比矩阵条件数倒数的最小值随质量块质量的变化情况如图7 所示。 当质量块的质量越大，质量块与基座的相对运动越大，雅可比矩阵条件数的倒数的最小值越小，传感器越有可能出现奇异位形。 对于12－6 与12－4构型而言，在设定的输入加速度范围内，随着质量块质量逐渐增大，两种构型传感器均未出现奇异位形。对于9－3、9－4 构型，在保证传感器灵敏度的前提下，应尽量减小质量块的质量以避免传感器发生奇异。

图7 雅可比矩阵条件数的倒数最小值变化图

由雅可比矩阵条件数的倒数的计算结果可知，随着雅可比矩阵条件数的倒数的减小，对应的线加速度幅值逐渐增大，而角加速度无明显的变化规律。进一步地，分别计算六个加速度变量与雅可比矩阵条件数的倒数之间的spearman 相关系数[19]。 当相关系数越接近于1 或－1，表明两变量间相关性越大，计算结果如表3 所示。 结果表明:线加速度对雅可比矩阵条件数的倒数计算结果影响较大，而角加速度影响较小。

表3 spearman 相关系数计算结果

当雅可比矩阵条件数的倒数大于0.15 时，在m＝10 kg 情况下，对应的9－3 与9－4 构型的输入线加速度散点图如图8 所示。 由于在设定的加速度范围内，角加速度对计算结果影响较小，不再列出角加速度散点图。 由计算结果可知，9－3 构型与9－4 构型适用的输入加速度范围存在明显的差异。 在Z轴方向，9－3 构型可承受较大的正向线加速度，9－4构型则与之相反。

图8 9－3、9－4 构型适用线加速度范围

根据雅可比矩阵条件数的倒数的计算结果，9－3 与9－4 构型的位置奇异曲面与姿态奇异曲面随质量块质量的变化如图9、图10 所示。 当传感器质量块质量越大，传感器奇异曲面范围也越大。

图9 9－3 构型位置奇异曲面、姿态奇异曲面

图10 9－4 构型位置奇异曲面、姿态奇异曲面

5 应用实例

可重构六维加速度传感器可根据不同的工作环境重构为不同的构型。 若仅考虑避免使传感器发生奇异，根据第4 节所得到的线加速度对雅可比矩阵条件数的倒数影响较大的结论，角加速度不予考虑。当m＝10 kg 时，表4 列出几组传感器在输入不同的线加速度情况下应避免使用的构型。

表4 可重构六维加速度传感器构型选择

6 结论

本文对可重构并联式加速度传感器的四种构型建立了正向动力学方程、正向运动学方程，求出了由输入加速度信息表达的质量块相对于基座的位姿解。 进一步地，使用Gosselin 法分析了四种构型的奇异位形。 结果表明，传感器12－4、12－6 构型可承受较大的输入加速度。 9－3、9－4 构型为避免发生奇异，其适用的加速度范围相对较小且范围存在差异，即在Z 轴方向，9－3 构型可承受较大的正向线加速度，9－4 构型则与之相反。 此外，当质量块的质量越大，构型奇异曲面范围也越大。 如若传感器承受较大的输入加速度，在保证传感器灵敏度的前提下，应尽量减小质量块的质量。