基于改进最优迈步模型的楼梯区域疏散模拟

程泽坤，宋卫国，张 俊

(中国科学技术大学火灾科学国家重点实验室，合肥，230026)

0 引言

随着城市内多层和高层建筑物数量的增加，如何在紧急状况下进行建筑物内的人员疏散与疏导成为急需研究的重要课题。对于高层建筑火灾，由于一些国家的法律不允许使用电梯进行疏散[1,2]，而根据Kinsey等[3]进行的问卷调查，多层和高层建筑物中大部分人员对于疏散的第一反应便是使用楼梯。因此，楼梯间内行人疏散行为的研究对于紧急情况下建筑物中的人员疏散至关重要。

Xu和Song[4]针对楼梯间行人疏散的特点，建立了一种多格子模型，通过和真实疏散演习数据的比对分析，证明了模型的有效性。Qu等[5]用改进的社会力模型模拟楼梯上人员上行、下行的运动，在模拟过程中观察到了“分层现象”等楼梯间行人疏散典型自组织现象。Huo等[6]基于楼梯间行人运动特性，利用拓展的格子气模型来分析楼梯间平台的汇流行为，研究了两种典型的楼梯口结构对行人汇流行为的影响。Zeng等[7]区分楼梯处以及平台处的场域生成规则，采用拓展的优化迈步模型模拟行人楼梯疏散,相较于传统的场域生成算法，模型能够使行人更平滑地经过楼梯转角。Fu等[8]建立了考虑楼梯上行人运动疲劳效应的元胞自动机模型进行模拟，并说明了行人流的特征。

在以往的楼梯间疏散模型中，元胞自动机模型空间划分离散性过高，模拟的行人运动规则和运动方向等相对死板；社会力模型的连续性导致其难以复现典型楼梯区域行人的迈步特征，且由于需要划分极小的时间步，计算效率较低；对于平台处等可能出现高密度行人聚集的区域采用原始最优迈步模型模拟效果不够理想。在最优迈步模型的基础上，我们考虑了疏散行人在楼梯上与平台转角处运动的差别，并结合转角处圆形场域以及给定的期望速度，建立改进的行人楼梯优化迈步模型，用于楼梯间内的行人流建模。模型的验证方面，选取美国国家标准与技术研究院(NIST)公开的疏散演习数据[9]中的四个场景进行疏散模拟，场景楼层数从6层楼到30层楼，参与人数规模从100余人到600余人，涵盖现代多层和高层建筑的主要特征。模拟完成后，从实时疏散人数、整体疏散时间、基本图等方面进行详细对比并定量分析了演习与模拟的结果，验证了模型的有效性。

1 最优迈步模型原理

最优迈步模型由Seitz和Köster[10]提出，在模型设计方面结合了社会力模型和元胞自动机模型的特点，在空间上具有连续性，在时间上则具有离散性。模型由静态场域驱动，空间中每一点的势能值由静态场域、周围行人对该点的势能作用之和、周围障碍物对该点的势能作用之和构成。其基本表达式如下：

(1)

其中，Pl(x)表示该点最终势能值；Pstatic(x)表示该点静态场域值；Pp,i(x)表示行人对该点的势能贡献；Po,j(x)表示障碍物对该点的势能贡献。

1.1 行人以及障碍物的势能贡献

空间中行人以及障碍物对某点的势能贡献公式如下：

(2)

其中，δp,i(x)表示该点到行人或障碍物的距离；μp、ap、bp、vp、gp、hp均是模型势能计算的相应参数。

根据以上公式，当该点与行人或障碍物产生挤压时，势能贡献为某一极大值；距离在合理范围内时，势能贡献随距离的增大而平滑减小；而在距离稍大时，势能贡献为0。

1.2 行人的运动规则

在模型中，行人用类似社会力模型[11]中的圆形表示。每一个时间步模拟行人的迈步，以行人所在位置为圆心，步长为半径作圆，假定行人下一位置就在以步长为半径的圆上。将圆q等分，每一个等分点都是行人下一步的潜在位置，在所有潜在位置中选择势能值最小的点作为连续空间中行人下一个时间步所到达的位置，完成行人在该时间步的运动。表达式如下：

xk=x0+r(cos(φ),sin(φ))

(3)

其中，φ表示潜在点的角度；圆总共被q等分，q推荐取值为8～32之间的整数，在保证精度的同时也有相对合适的计算效率；k表示该点的编号；实际计算时，添加变量u以保证一定的随机性。

最优迈步模型有空间上的连续性和时间上的离散性，在考虑周围行人、障碍物的作用时参考了社会力模型；而在模拟行人迈步、静态场域驱动行人的时间离散上则吸取了元胞自动机模型[12]的特点。在下一章中，我们将考虑楼梯上行人的运动特征，改进最优迈步模型以模拟楼梯区域的行人流。

2 模型改进

2.1 静态场域的生成

研究表明，行人通过楼梯间转角平台的轨迹应为圆弧形[13]。对于较为典型的楼梯场景，我们设置楼梯处、平台处、连接平台间隙以及入口处的场域按照行人运动趋势方向线性减小；而对于转角处，我们采用圆形连续场域的生成策略。典型的楼梯结构及转角处圆形场域示意如图1。

图1 楼梯结构及转角静态场域示意图Fig. 1 Schematic diagram of stair structure combined with static floor field of corner

对于入口处、楼梯转角平台间隙处、楼梯台阶处以及出口处的静态场域，均遵循线性连续场域的生成规则，如图2。

图2 线性连续场域的生成Fig. 2 Generation of linear continuous floor field

线性连续场域值Fstatic和分界线Fmin或Fmax关系表达式如下：

Fstatic=(Fmin+μ·d) or (Fmax-μ·d)

(4)

其中，μ表示线性场域的系数，d为行人运动趋势垂直方向上与线性场域分界线的距离。

转角圆形连续场域示意如图3，场域值随行人转弯趋势方向以圆弧形式逐渐减小。

图3 转角圆形连续场域示意图Fig. 3 Schematic diagram of the corner circular floor field

转角区域内点P的静态场域值Fstatic与结束分界线的静态场域值Fmin关系表达式如下：

(5)

其中，ΔFπ/2为圆形场域每90°的变化值；dx为P与转角中心连线在x方向上的投影；dy为P与转角中心连线在y方向上的投影。

在楼梯区域的三维场景中，计算空间点的最终势能为考虑静态场域与周围所有行人以及障碍物对该点的势能贡献之和，如图4所示。

图4 周围行人及障碍物的势能贡献Fig. 4 Potential value contribution from surrounding pedestrians and obstacles

2.2 行人迈步

考虑到行人在楼梯台阶与平台处的迈步特性有很大的不同，我们区分考虑行人在楼梯台阶与平台处的迈步规则，改进潜在点的搜寻机制，使模型更好地适用于楼梯行人流的模拟。

在台阶处，行人迈步如图5所示。行人所在位置为P，可能目标点在下一级阶梯的T1-Tk选取，且可能目标点在下一级阶梯的横向偏移Δdnext与所处阶梯的横向偏移Δdcur相等。在阶梯上的搜寻角度θ参考Zeng等[7]的研究，设置为60°，在可能的k等分目标点中寻找最合适目标点，k值越高结果越精确。实际实现时，考虑计算效率选取合适的值。

图5 行人在楼梯台阶上的迈步Fig. 5 Pedestrian’s step on the stair

在楼梯间平台处，行人迈步规则如图6。将行人运动的最大步长s等分，以行人位置为圆心作s个半径等量递增的圆，选取每一个圆的k等分作为可能目标点。行人的最终目标点是根据计算规则得到热能值最小的目标点。一般来说，s和k值越高越精确，实际实现时，考虑计算效率选取相对合适的值。

图6 行人在楼梯间平台的迈步Fig. 6 Pedestrian’s step on the stairwell platform

2.3 更新规则

倘若在模型实现中设置时间步，任意时间步按照顺序更新方式进行行人位置更新，则模型中行人运动总体的期望速度和所设定时间步长直接相关，行人运动决策也直接依赖于时间步长。而真实的行人运动中，每个行人迈步的时间点、迈步的频率都各有不同，为了在模型中方便设置期望速度，通过设置微小时间步长以提高模型的精确性，使得行人的运动更加接近真实的行人决策，模型更新规则采用事件驱动更新[14]。在事件驱动更新中，每一个运动实体(场景中为行人)，拥有个人信用时间τ、迈步步长λ以及期望速度v，其中每一个时间步长为Δt。行人个人信用时间τ每一个时间步增加Δt，当且仅当τ≥λ/v时，行人做出迈步决策，并且τ减小λ/v。流程如图7所示。

图7 事件驱动更新流程图Fig. 7 Flowchart of event-driven update

2.4 多级步长的优势

Boulic等[15]提出的全局行走模型分析了行人行走中速度和步长的关系，具体表达式如下：

(6)

其中，Lenstep表示步长；Lenleg表示腿长；v表示速度。在传统的最优迈步模型中，行人速度和迈步频率相关性最大。为了证明多级步长能使模型中行人的速度与步长关系更接近前人的研究结果，我们考虑拐角通道行人流场景，该场景包含直行行人流和转弯行人流，对于直通道行人，运动自由度较高；对于转弯行人流，则出现了更多拥挤和冲突，小步长、混乱迈步频率更常见。设定具体场景如图8。其中，Len1=Len2=3 m、LenR=Lenc=1.5 m，行人流以1.5 ped/(m·s)的流量随机进入通道；行人腿长统一设置为0.9 m，期望速度1.6 m/s，行人的最大迈步步长设为0.9 m，为了使结果更加精确，最小步长取为最大步长的1/20，即S=20。

图8 拐角通道场景示意图Fig. 8 Schematic diagram of corner channel scene

图9为模拟获得的行人等价(归一化)速度与等价步长之间的散点图和全局行走模型结果的对比。

图9 模拟中步长-速度关系与[15]的对比Fig. 9 Comparison of step-speed relationship in simulation with [15]

由图9可知，转弯区域行人流大部分集中在速度偏低、步长较小的区域内，总体范围更大，分布相对均匀；而直通道行人流的速度以及步长分布偏大，稳定性更高。总体来说，与构建的行人迈步模型对应结果相近。由此可知，相比于原始的最优迈步模型，多级步长的使用可以使行人迈步从机理和表现上都更加贴近真实的行人运动。

3 演习实验介绍

为了更好地理解行人在紧急情况下在建筑物内的运动，NIST的工程实验室(EL)收集了14幢从6层到62层建筑物的疏散演习数据[9]，旨在更好地了解建筑物楼梯间行人疏散的特点，为标准和规范的制定奠定基础并且为行人疏散模型的建立提供数据和验证。具体数据在 NIST官网[16]上提供下载。演习实验数据中收集每个参与者的序号、个人特征、演习中进入楼梯间的楼层、进入每层楼梯间的时间以及离开每层楼梯间的时间等辅助建模的信息。

14幢建筑物的演习数据中，有一些场景存在建筑结构与模型不相符、行人数据记录缺失等问题，我们选取编号为Building1A、Building3E、Building7_3以及Building8N的四次演习，四次演习建筑物楼层依次递增，从6层的普通多层建筑到30层的高层建筑，且行人数据完整，场景规模恰当，较有代表性，建筑物的描述以及楼梯间的几何结构参数如表1。

四个场景中，Building1A、Building3E、Building7_3、Building8N的整体有效参与人数(原始数据完整记录了参与者的运动细节)分别为125、116、228、665；疏散演习中场景最高的实时人数分别为34、81、98、468，均属于有一定规模的疏散演习。

表1 演习建筑物的参数

图10 模拟与演习场景实时总人数对比Fig. 10 Comparison of real-time total number of people in simulation and drill

图11 模拟与演习场景实时总人数对比Fig. 11 Comparison of real-time total number of people in simulation and drill

为了验证模型的有效性，我们将结果与公开的真实建筑物疏散演习数据进行比对分析。此外，为了保证结果的普适性和可靠性，尽量避免随机性对模拟结果的影响，每一个场景取15次运行的平均结果。

4 模拟结果分析

4.1 场景疏散人数

在各个场景中，由于行人分布以及进入楼梯间时间的随机性，我们绘制场景中行人总数以及累计疏散人数随时间的实时变化图像，将模拟结果与演习结果进行比对，并且通过误差以及相似性分析来验证模型的有效性。图11(a)、图11(b)、图11(c)、图11(d)分别给出了场景Building1A、Building3E、Building7_3、Building8N中模拟与演习场景实时总人数的对比。

图12(a)、图12(b)、图12(c)、图12(d)分别给出了场景Building1A、Building3E、Building7_3、Building8N中模拟与演习场景累计疏散人数的对比。

对于一组数据和真实值之间的误差，常用平均绝对误差(mean absolute error, MAE)来衡量,表示预测值和样本真实值之间误差绝对值的平均，计算公式见式7。相较于直接平均误差，平均绝对误差避免了误差相互抵消的问题，因而可以准确反映实际预测误差的大小[17]。

图12 模拟与演习累计疏散人数对比Fig. 12 Comparison of cumulative number of evacuated persons from simulation and drill

(7)

根据模拟结果和疏散演习实验的数据，我们计算15次模拟的实时场景总人数和累计疏散人数的平均绝对误差(分别表示为MAEsum和MAEcum)如表2。

表2 各场景平均绝对误差对比

平均绝对误差在物理意义上可以理解为每一时刻模拟值和演习实际人数相差数绝对值的平均。由表2可得，场景Building3E的MAEsum最小，为1.401；而场景中最大实时人数为81人，考虑到人数的规模，其平均绝对误差属于较小水平。此外，场景Building1A、Building7_3的MAEsum分别为1.735和3.707，参考演习规模，可以得出这两个场景模拟与演习在实时人数方面都较为接近。场景Building8N的MAEsum、MAEcum两项指标均为最大，这是因为其演习规模最大，参与人数至少是其他场景的2.92倍。但是，从对比图来看，模拟和演习场景的两条曲线差距属于较小的水平。因此，我们还需要引入考虑整体曲线差异性的绝对误差[18]来衡量模拟结果的可靠性与真实性。如图13，假定f(x)是真实值曲线，h(x)是模拟结果曲线，c(x)=f(x)-h(x)是真实值与模拟结果值的差值曲线，绝对误差的物理意义为S1/(S1+S2+S3)，即差值曲线、x轴围成图形的绝对面积与真实曲线、x轴构成图形的绝对面积之比。绝对误差评价了曲线整体的相似性以及匹配程度，在计算时可直接采用序列绝对值的和来表征面积，意义相同且操作更加直接，如公式8。

图13 绝对误差计算示意图Fig. 13 Schematic diagram of absolute error’s calculation

(8)

根据绝对误差的概念，我们分别计算15次模拟实时场景平均总人数的绝对误差Erssum；模拟和演习实时累计疏散人数的绝对误差Erscum如表3。

表3 各场景绝对误差对比

由表3可得，场景Building8N、Building3E的Erssum都较小，分别为3.7%和3.9%，表示模拟场景实时人数曲线与演习实验较为接近；场景Building8N和Building1A的Erscum较小，分别为2.9%和4.3%，表示模拟场景实时累计疏散人数曲线与实际演习较为相似。值得注意的是，MAEsum、MAEcum两项指标均为最大的场景Building8N，Erssum和Erscum均为最小，这是由于场景Building8N中参与者数量为665人，最大实时人数为468人，整体疏散规模远大于其他场景，故平均误差在数值上相较于其他场景会更大。可见在这种情况下，单单从数值上比较平均绝对误差不足以评估模拟结果的吻合程度。

综合两种衡量指标的定量分析，在四个场景中，模拟结果与演习数据绘制的曲线相似度较高，趋势大体一致，数值上有一定的差异，考虑整体的演习规模，差异较小。究其原因：1)行人个体运动的差异性，在楼梯间的疏散中，行人个体的迈步频率与自身身体状态、疲劳程度、精神状态都有很大关系，因此不同行人个体速度差异性较大，而模型中行人的期望速度选取为整体疏散行人的平均速度；2)实际演习过程中，有一些难以预测的细节可能对整体的结果有很大影响，例如短暂休息的行人可能阻碍后方疏散人员的运动，甚至造成一定程度的拥堵。3)根据组织者对演习过程的描述[9]，在演习中出现了群组(即疏散过程中多个行人由于彼此之间的社会关联形成的聚集组合)，对于群组内个人以及整体疏散的运动特征都会有一定的影响。

4.2 总疏散时间

上一小节中我们对比了模拟和演习的实时人数数据，本小节我们将15次模拟的平均整体疏散时间与演习整体疏散时间进行对比。值得注意的是，由于疏散演习中参与者进入楼梯间时间的随机性以及行人个体的差异性，对于行人进入楼梯间时间序列不够均匀的场景，全体行人的总疏散时间不一定能够真实反映模型的可靠性[9]。例如场景Building8N，最后一名行人在演习第1 255 s时进入场景，此时前面已有658名参与者疏散完成，占比98.9%。在这种情况下，总疏散时间和最后几位进入楼梯间行人的个体运动关系很大，难以反映模型对整体行人流的模拟。因此，我们也计算了95%的参与者的疏散完成时间，总体对比如表4。

表4 95%参与者整体疏散时间对比

通过以上数据对比，我们发现对于所有参与者的总疏散时间，模拟结果往往大于实际演习的结果。这是由于演习过程中参与者进入楼梯间时间分布的不均匀性造成的，最后的总疏散时间往往只和最后几位进入楼梯间的参与者相关。在真实的疏散演习中，最后几位参与者进入场景时，整体密度较低，并且几乎不存在局部高密度的情景，因此这些参与者的速度往往大于整体平均速度。我们用整体平均速度作为期望速度进行模拟会使得总疏散时间高于真实演习的数据值。在此基础上，我们又将模拟与演习95%参与者的总疏散时间进行对比，百分比差异明显更小，且由于疏散还未完成，剔除了少量行人随机性的影响，该参量更能反映模型对行人流整体模拟的有效性。

4.3 基本图

基本图表征了行人流中流量、密度、速度三个基本参量的关系，通过基本图可以刻画行人流的基本运动特性。由于楼梯区域的行人个体速度以及局部密度计算均要考虑垂直方向的作用，因此我们为其制定相应的规则。

由于模型采用事件驱动更新，故模型中的行人个体并不依赖单个时间步进行运动，行人实体两次迈步之间可能相隔了多个时间步Δt。由此，假设行人在本次时间步进行了迈步决策，时刻为TickCntcurΔt，而行人上一次迈步的时刻为TickCntlastΔt，本次迈步的长度为Lenstep，规定行人本时刻到下次迈步之前的个体速度为vped，计算如方程9：

(9)

值得注意的是，对于行人在楼梯台阶上的迈步，有如下关系式：

(10)

其中，Lenstep表示行人的迈步长度；LenstepH表示迈步矢量在水平面的投影长度；drise表示单个台阶的高度(如图14)。

图14 迈步步长示意图Fig.14 Schematic diagram of step length

对于局部密度的计算，采用Steffen和Seyfried[19]提出的泰森多边形法。泰森多边形是一组由连接两邻点线段的垂直平分线组成的连续多边形，其面积表示个人所占面积，面积的倒数就是区域内的局部密度。值得注意的是，对于楼梯台阶上的行人，局部密度的计算需要考虑纵向上行人的排列与分布。对于楼梯台阶处行人俯视图绘制的泰森多边形，其面积倒数不能直接表示行人流的局部密度。从物理意义来说，俯视图绘制的泰森多边形是真实三维空间的多边形在水平面的投影。因此，楼梯台阶处行人的局部密度方程如式11：

(11)

其中，ddeep表示台阶阶深，drise表示台阶高度；AP表示俯视图多边形的面积，如图15。

图15 楼梯上的行人泰森多边形Fig.15 Pedestrian’s voronoi diagram on stair

美国消防工程师协会发布的SFPE手册[20]为消防安全基础、火灾动力学以及火灾模拟和计算等方面都提供了重要的资料来源，而其对火灾中人的行为也有相关描述。手册中建筑楼梯间内行人速度与密度的关系有如下表达式：

(12)

其中，k和vmax跟随楼梯的几何结构而改变。在我们进行的模拟中，楼梯台阶的结构并不确定。在SFPE关系中，台阶高度0.190 5 m、深度0.254 8 m以及台阶高度0.165 1 m、深度0.304 8 m最为接近我们进行模拟的场景，将其分别标记为SFPE1和SFPE2。同时，Fang等[21]进行的楼梯间疏散实验、Huo等[22]进行的楼梯行人流模拟中也绘制了行人的基本图，我们将模拟中所获得的速度、密度、流量关系与前人结果和SFPE结果绘制在同一张图中进行比较，如图16。

图16中实心圆点为模型模拟得到的结果。由速度-密度基本图可知，我们获得的模拟结果与Huo等[21]模拟的楼梯行人流上段吻合度较高。而点分布最为密集的部分，即密度在1.5 ped·m-2～2.5 ped·m-2时，模型得到的结果基本处于SFPE1和SFPE2绘制的曲线之间。相对来说，较低密度下，模拟获得的行人流速度偏低，这是由于在我们的模型中，行人个体的期望速度均为演习场景的平均速度。较高密度的情况下，模型行人流的速度相对更快地趋近于0，这是由于模型个体由圆形表示，而真实的行人个体所占面积要小于圆形，模拟中出现局部密度≥3 ped·m-2的情况相对较少。基本图展现了特定场景下行人流的基本运动特征和规律。实验得到的基本图在趋势以及数值上都与前人结果以及SFPE手册有一定的相似和重叠。因此，模型能够较好地复现楼梯间疏散行人流的基本特征。

5 结论

图16 模拟结果基本图与前人数据对比Fig. 16 Comparison of fundamental diagram of simulation results with previous data

本文针对楼梯间行人流的运动特性，修正了传统的最优迈步模型，区分了行人在楼梯以及平台上的迈步规则，并集成圆形场域构建了改进模型，用于楼梯区域行人流的模拟。与前人步长-速度关系结果较为吻合，说明了模型在平台处使用多级步长能够更加贴近真实的行人运动。为了验证模型的有效性，我们使用模型复现了美国国家标准与技术研究院(NIST)收集的4场疏散演习，并通过实时数据、整体时间、基本图的定量比对分析，证明了模型的有效性和可靠性。

改进的模型对平台处行人使用多级步长机制，使得平台处行人运动更加接近真实行人流的迈步机理；同时，典型楼梯间场景连续场域的应用压缩了模型程序所需准备时间和空间。相较于原始最优迈步模型和元胞自动机模型，改进的模型对楼梯行人流的模拟更加精细，而相较于社会力模型，改进的迈步模拟更加真实，且运算效率更高。本文所提出的模型可用于多层和高层建筑物疏散、楼梯行人流自组织行为以及汇流特性的模拟研究。