数学分析中有限向无限的转化

文_杨洋

数学分析的学习对锻炼青少年的数学思维很有帮助，但对青少年学生而言也有一定的难度，青少年通常会遇到无限集不一定具有最大值和最小值，而有限集必须具有最大值和最小值，从而出现无穷大的问题。为此，本文将主要介绍几种重要的无限、有限方法，分析数学分析中将无限问题转换为有限问题的方法：一种方法是将闭合间隙分成相等的部分解决，另一种方法是使用有限覆盖定理用无穷大替换无穷大，从而轻松解决问题。

从数字的角度来看，最大的有限总趋近于最小的无限，那么，最大的无限是否存在？如果存在，是否总趋近于最小的超越无限？超越无限，实指一种缘式无限，比最大无限更加难以衡量。该假说可以引出几个概念，即有限、无限、最小无限、最大无限、缘式最大无限以及一般的缘式无限。以下，笔者就从数学的角度，证明最大无限是存在的，而超越最大无限一般都是最大无限之间或本身的缘式叠加，即缘式最大无限。

无限是有限的基础

掷硬币的概率是青少年比较熟悉的事。投掷一枚硬币得到正反面的概率都是1/2，但我们将硬币抛10 次，有4 次正面，6 次反面，投掷硬币得到正面的概率是2/5，反面的概率是3/5—为什么都不是1/2 呢？实际上，我们常说的1/2 的概率是经过无数次实验后得出的近似值，都是以无限为基础的结果。如果没有无限的基础，我们得到的概率就不再客观。

无限是由有限构成的

有限的运算建立在无限的基础上，虽然你看不到它的存在，但你不能无视它的存在，因为它一直在我们身边。下面笔者将说一个出自杰出数学家大卫·希尔伯特之口的故事。

无限旅馆有无限个房间，住着无限位旅客。一天晚上，一个人想在无限旅馆住宿。店主对他说：“对不起，我们没有空房间，但是也许我们可以为你找个房间。”然后，店主不情愿地唤醒了他所有的租户，让1 号房间的租户搬到了2 号房间，2 号房间的租户搬到了3 号房间，3 号房间的租户搬到了4 号房间，继续下去，直到各租户都搬进了下一个房间。这时，令人惊讶的是，竟然空出来了1 个房间。

从这个故事中，我们可以看到，无限由有限构成，每个房间都有限制，每个房间只能住一个游客，但即使有无限位旅客，也可以入住这个无限旅馆。世界上很多东西都是无限的，但组成它的部分是有限的。我们都知道数学中自然数是无限的，但是构成自然数的各数量是有限的。例如，1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这些数字都是构成自然数的成分，这也证明了无限由有限构成。

利用有限覆盖定律实现无限转有限

数学研究的目的是量化。换言之，一个量会跟着另一个量而形成一个空化，而另一个量的变化可以是有限的或无限的。对无限对象的研究通常不知道如何开始，并且似乎没有经验，因此对无限的研究变成了对有限的研究，这种思想已成为解决无限问题的重要方法。另外，在积累了解决无限问题的经验之后，可以通过将有限问题转换为无限问题，从而解决有限问题。该方法是有限和无限思想的体现。

在具体碰到问题时，运用有限与无限的数学思想可以快速地求解。有限覆盖定理可表述为，从闭区间[a,b]的任一无限开覆盖H中可取出[a,b]的有限个开覆盖。在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间[a,b]改为开区间(a,b)，定理不一定成立。例如，开区间集H 覆盖开区间(0,1)，但是H中任意有限个开区间不能包含间隙(0,1)。通常使用有限覆盖定理实现该目的，以将每个点的局部属性在一个封闭区间内扩展到整个封闭区间。使用有限覆盖定理证明问题通常是基于问题的要求，构造具有特定性质P的一组开放区间H，以包括闭合区间[a,b]并使用有限覆盖定理，从H中取出有限个开区间H(i＝1,2,…,n)也覆盖[a,b]，这样将无限问题转化为有限问题，使得每个开区间H(i＝1,2,…,n)局部属性转换为整个闭合间隔[a,b]的属性。这种将无穷大转换为有限并将局部性质扩展为整体的方法是有限覆盖定理的阶梯应用思路，反映了从“部分”扩展为“全部”的性质。

本文介绍的等分方法和使用有限范围定理将无限问题转换为有限问题的两种方法主要用于封闭区间或有限封闭区域。如果不是闭合区间，则只要能解决问题，也可以在闭合区间中使用这两种方法，用有限度替换无穷大。至于超越最大无限，不能用简单的代数式衡量，可能只有在依托载体的情况下才会被实现，即两个若干无限量的事物发生一种名为“缘式叠加”的反应，如果它们都不是最大无限，那么结果不一定会到达超越无限的境地。对于缘式最大无限，可以明了的是，它的值一定不是无限，绝对在前，相对在后，因为这已经完全抹去了时间的概念。

简而言之，青少年在提前学习数学分析的过程中，可以通过掌握变化的趋势或临界状态或变量的边界快速而准确地回答有限和无限的问题，但是要想做到熟练就必须具有较强的感知能力和扎实的基本技能。可以说，有限的无限思维测试已应用在高考中，如广泛的思维、良好的相关性等。此类思维方式的应用为青少年带来了数学思维发展和数学技能的提高。为了提高学生对数学的整体理解，必须巧妙地将这种数学思维渗透到教学中。