将信息技术融入数学课堂，使数学核心素养落地生根

金芬

摘 要：要改进“一支笔一块黑板一张嘴”的教学现状，突破“意会”与“言传”的交流障碍，实现数学课堂教与学的良性互动，高中数学课堂教学离不开现代教育技术的支持和助力。笔者以GeoGebra为例，在新教材的课堂教学中，注重将GeoGebra与数学课程深度融合，通过直观的图形或动态的运动规律，总结、猜想、证明新的发现，把那些“看不透”、“说不清”的一些性质通过动态形式呈现出来，使其清晰可见。实现教学的可视化，为学生理解概念创设情境，为学生联系多元表征发展数学学力，为学生实验探究提供优质资源。

关键词：信息技术;GeoGebra;数学课堂教学;数学核心素养;探究

1.将现代教育技术融入数学课堂教学的必要性和重要性

直击当下数学课堂，一边是面对“如何实施核心素养导向的数学教学？”、“如何才能使学生的数学学科核心素养得到良好的发展？”、“怎样才是教好数学？”等关键性问题，而一边是数学固定的高度抽象性的高冷，使得学数学的人“望而却步”，不知如何去意会，教数学的人使出“浑身解数”，不知如何去言传。面对这种尴尬的局面，需要教师对数学课堂教学进行变革，改进“一支笔一块黑板一张嘴”的教学现状，突破“意会”与“言传”的交流障碍，实现数学课堂教与学的良性互动，高中数学课堂教学离不开现代教育技术的支持和助力。

作为教师要将现代教育信息技术恰如其分地融入到数学课堂上。例如，能将复杂问题简单化，动态问题静态化，抽象内容可视化等，有效改革数学课堂教学，实现优质教育资源的共享，提高数学教学质量和效益，有效提升学生数学核心素养。

笔者以GeoGebra为例，在新教材的课堂教学中，注重将GeoGebra与数学课程深度融合，通过直观的图形或动态的运动规律，总结、猜想、证明新的发现，把那些“看不透”、“说不清”的一些性质通过动态形式呈现出来，使其清晰可见。不仅能充分激发学生的探究热情，提高学生课堂的参与度，还能把课堂上高冷的数學转化为学生充满激情的探索，使学生的核心素养真正落地生根。

2、 基于GeoGebra的“数学可视化”，助力数学课堂教学

GeoGebra这款软件实现了构建“抽象的数”与“可见的形”之间的联系通道，让学生在数学课堂上既可以看到“背后”的数据，更“看透”其中的数学内容，为学生理解概念创设情境，为学生联系多元表征发展数学学力，为学生实验探究提供优质资源。

2.1创设灵动情境，助力概念生产

案例1：函数y=Asin（ωx+ϕ）

根据新教材的理念，首先要让学生理解用函数模型y=Asin（ωx+ϕ）来刻画一般的匀速圆周运动，并理解A，ω，ϕ的特定的实际意义，让学生体会数学源于生活的本质和学习函数y=Asin（ωx+ϕ）的必要性。于是创设图1所示的可视化实验情境，模拟筒车运动过程实景，抽象出其中的几何对象与几何关系，并动态分析圆周运动、解析式变换与图像变换之间的多重关联，利用GeoGebra可进行直观、动态、关联地呈现，可以有效地降低教学难度。

其次，在研究参数A，ω，ϕ对函数y=Asin（ωx+ϕ）图像地影响，以及函数y=Asin（ωx+ϕ）图像的变换过程时，可事先提供互动性的实验平台（图2），以便学生进行自主的实验操作、观察分析、思考探究。学生可以任意输入参数A，ω，ϕ的值，侧重两个角度观察与分析：一是从圆周运动的实际意义看质点的运动变化，二是从相应函数图像上点的坐标变化看图像的变换。

从上例可以发现，数学概念的掌握需要经历直观到抽象再到应用的过程，借助强大的现代教育技术GeoGebra可以创设直观灵动的情境，对认知难度大，抽象的概念进行可视化教学，在学生脑中建立丰富的概念模型，经历概念产生的加工全过程，因概念的充分加工和领悟而保证深刻的理解。

2.2联系多元表征，助力本质理解

案例2：一类旋转翻折问题的探究

立体几何翻折问题是将平面图形经过翻折变成了空间几何体，从而考查空间中点、线、面之间的相互关系，或角度与距离关系。立体几何的翻折问题背景简单，立意深远，对学生的空间想象能力要求很高。学生在学习过程中容易受立体几何的思维定势，无法构造空间立体几何直观图，将空间问题平面化的能力缺乏，找不到合理的解决模型将动态问题静态化。因此作者使用GeoGebra软件设计课堂教学，通过介绍旋转翻折圆锥模型，也可以总结为一线五结论模型，来解决立体几何中的旋转翻折问题。

作者先通过一个例子来引出将平面图形沿折痕旋转翻折为空间图形，从而研究空间中的角度、距离、轨迹等问题，并用GeoGebra动态展现旋转翻折问题（图3），帮助学生在直观的动态中探究问题的本质。学生结合二维绘图区和3D动态展示区的观察，立马得出了一系列的结论：关键要先画出垂直于折痕（BG）的线（AI）1、关注翻折前后的不变量和变量;2、点A/的轨迹为F为圆心，A/F为半径的圆;3、面A/BG绕折痕BG翻折形成两个同底圆锥;4、点A/在底面的投影H在线段AI（圆的直径）上;5、∠A/FA为二面角A/-BG-A的平面角。

例2

接下来教师给学生进行了此类问题的检测，引用的是高考题和高考模拟题（例1、例2），发现学生通过以上旋转翻折模型的理解，能轻松将空间问题转化为平面问题。借助软件的动态可视性，使学生从外部的多元操作感知走向了内部理解的认知，也感受到了数学的美妙，更体会数学的真实性，解决问题也就水到渠成。

有了以上的探究经验，教师还布置了课外探究活动《一类圆锥截线问题的探究》，让学生借助GeoGebra软件解决一类圆锥被不同角度的平面ɑ所截截线形状问题。学生在学习直线和圆时初步感受了数形结合的基本思想，但对圆锥曲线的概念还是仅仅停留在直观感性认识的层面上;学生在学习过程中也遇到诸多困难：从空间的圆锥截出平面图形的转化。

学生探究热情高涨，分别设计出了以下三条曲线的模型，并总结结论：设轴截面角为α，母轴线角为β则1、α=β时，截线为抛物线;2、α<β时，截线为双曲线;3、α>β时，截线为椭圆;4、α=90°时，截线为圆，并应用总结的结论有效解决了检测题例1和例2。

2.3自主实验探究，助力结论验证

好的教学方式是激发学生的好奇心，助力学生在广袤的数学世界里探究遨游，鼓励学生勇敢地去探险，亲历数学实验，发现数学，而不是简单的应用数学解决问题，让原先高冷抽象的数学变得生动鲜活起来。学生从直观想象到猜想、发现和论证，相互之间进行真正的情感交流和思维碰撞，让教学走进学生的心灵，在做数学的过程中丰富感知，在直观感知中抽象数学概念。而GeoGebra则可以提供结论的论证，助力学生的实验探究，让学生在实验探究中深刻思考，心向远处，行向远方。

案例3：椭圆、双曲线的定义

问题1：点A（0，0）和点B（8，0）为两个定点，圆A是半径不定的动圆，C是圆上任意一点，线段BC的垂直平方线l和半径AC相交于点D，当半径r大于令国人定点距离|AB|时，随着点C在圆上运动，求点D的轨迹是什么？

学生通过观察图形，发现几何关系|DC|=|DB|，则|DA|+|DB|=r（r>|AB|），学生开始在作业纸上描点，并不断地操作，尽量使得到的点D足够密集，通过观察散点图发现轨迹图形形似椭圆，但学生依旧感到不确定。教师顺势带领大家用GeoGebra来验证实验结论是否正确，在绘图区内画出图，将D点设置为开启跟踪，同时C点开启动画，此时点D的轨迹呈现出了椭圆的形状，学生见图雀跃高呼，教师提出椭圆的定义。

问题2：当r>|AB|时，取r1=12，r2=14，r3=18，时，三个椭圆的形状会有什么变化？

学生又陷入沉思，通过描点发现，到两个定点距离和越大椭圆形状越扁，教师打开GeoGebra验证结论的正确性，并解开学生心中疑虑，提出椭圆离心率的概念。学生亲历了概念生成的全过程，对椭圆的定义了然心中。

教师通过以上的实验探究论证的过程，鼓励学生提出更多的问题进行探究，生1：当0<r<|AB|时，点D的轨迹会是什么？大家又再次陷入思考，纷纷画图实验，一段时间后还是一脸茫然，有的学生说是一条类似于反比例函数的曲线，又有的学生说应该有两种情况两条曲线。当大家紧锁眉头，有种说不清道不明的滋味时，教师提议：让GeoGebra来给我们解忧吧！通过演示，得到两种位置关系及几何关系||DA|-|DB||=r（r<|AB|），在绘图区出现了两条曲线，教师提出双曲线的定义。追问：当0<r<|AB|时，取r1=4，r2=6，r3=7，时，三条双曲线的形状会有什么变化？通过刚才的分析，大家猜测双曲线的开口有变化，教师用GeoGebra加以直观演示。

案例4：数学建模—茶水最佳饮用时间

当我们每隔1min测量一次茶水温度，收集完六组数据时，我们需要对数据进行分析，找到温度与时间的某种函数关系，如果能求出函数关系式，那么就建立了茶水冷却函数模型。大家先将收集的数据作出散点图，通过观察选择了反比例函数和指数函数，在GeoGebra里进行拟合并进行误差分析。

拟合的反比例函数为y=80.12x-0.12，误差平方和为3.6995，从图中可以看出偏离程度较大，当时间x=30时，水温大概为53.5955℃;而拟合的指数函数为y=82.68e-0.05x，从图中看出各点偏离程度较刚才有点减小，误差平方和为0.4049，当时间x=30时，水温大概为19.3737℃.显然指数型函数模型更理想，但是指数型模型中，当x趋向于无穷大时，趋于0，而实际情况是接近室温，结合刚才建立的指数函数模型，我们需要对函数模型进行修正。

学生们开始热烈地讨论，觉得图像应该要向上平移，使用函数y=kax+b的函数模型，此时无法用软件进行拟合，为了确定其中的字母，学生采用了待定系数法进行求解，首先得到b=25，当x=0时，y=85，所以k=60，在确定a时，选取了几个点进行求解，取这些数的平均数得到a=0.9227，即得到数学模型y=60*0.9227x+25，接下来我们对模型进行误差分析，发现误差平方和为0.144，应该是比较理想的茶水冷却函数模型。

3、将信息技术融入数学课堂教学的反思

作为第一批执教新教材的一线教师，需要不断地提升专业水平和育人能力，提高数学教学质量和课堂教学效益，转变教学方式，理解现代教育技术。笔者在必修第一册和必修第二册的数学课堂教学中，尝试将现代教育技术GeoGebra融入课堂教学中，取得了较好的成效，在教學过程中反思了几点，供读者在接下来的使用中参考。

（1）树立落实学生核心素养的教学观

信息技术的飞速发展，功能的便捷强大需要我们改变教与学的方式，教师不能一味固守着考试内容而不顾学生的核心素养，应合理利用信息技术让复杂抽象的学习内容变得直观简洁，并设计丰富多样的数学实验平台，促进学生的探索意识。当然，信息技术的融入也是对教师的挑战，需要从学生发展的角度精心设计发现、提出问题的时机，并如何利用信息技术恰如其分地引导学生亲历整个解决问题的全过程，让学生感受到左右逢源的体验感，真正落实学生的数学核心素养。

（2）平衡好信息技术融入的度

信息技术的融入让教学内容变得浅显易懂，但过度全盘地使用却会扼杀学生地直观想象能力，阻碍学生思维能力的提升。学生会对直观动态的图形过度依赖，从而形成思维的惰性，因此，信息技术的融入教学既要有可视化也要有数学化，既要实验猜想也要演绎证明。案例4中，当学生借助GeoGebra得到指数函数模型较理想时，还需通过纸笔运算、逻辑推理对模型进行修正，这是信息技术无法代替的。教师要平衡好信息技术融入的度，数学课堂的教学既要“返璞”，也要“归真”。

（3）信息技术从融合到创新，让课堂教学走得更远

信息技术融入教学的数学课堂是集教育技术、教学内容、教学方法三者的深度融合体，而这个融合体是交互的，动态的生态系统，需要教师不断地选择合适的信息技术，围绕信息技术的特点设计开放的、灵活的任务，让学生在丰富多彩、层层递进的实验活动中积累原始体验，并充分发挥学生的探索力和创造力，让数学课堂走向广度和深度。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）.人民教育出版社

[2]章建跃 李增沪.普通高中教科书教师教学用书.数学：必修.第二册：A版.人民教育出版社，2020（12）

[3]唐慧荣.中学数学可视化教学研究[D].金华：浙江师范大学，2010：6

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