对准目标,放缩“有度”

杨超拔

摘 要：本文从一道数列不等式的难点，探究试题的三种不同解法出发，分析每种解法的难点所在，以及如何突破难点，后面通过两道典型例题来拓展放缩法思维，让学生找到最贴近自己思维层次的理解方式，帮助学生逐步形成数列不等式的思维体系。

关键词：数列不等式;裂项放缩;等比放缩

题目：已知数列满足求证：

难点剖析：此题是笔者出在高三理科数学周练试卷上的一道试题的节选，改卷时，笔者发现所任教的班级同学仅少数同学能够完整的解答出（糖水不等式法）这道题，笔者与各层次的学生进行深入交流，学生认为麻烦的是明知这是用放缩法来解决，但首先不清楚是先求和再放缩，还是放缩后再求和，其次困惑的是如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这个“度”如何把握，学生一下没了头绪，不知道该如何着手，容易想到一些固有知道的放缩技巧，但又不会根据证明目标实现恰当地放缩，导致这成了最大的难点。这“恰当”两字，包含著种种的技巧和策略。

下面是这道数列不等式的学生答卷中三种证法的提炼。

证法1：（利用糖水不等式放缩）

点评：上述解法思路相对比较直接，在高中数学人教版必修5第87页例1出现了糖水不等式并且做了严谨证明，所以同学并不陌生。糖水不等式不仅有着丰富的现实生活背景，而且在比较大小、放缩证明中有着重要的作用。

证法2：（利用等比放缩）

点评：考试中有些同学这样处理：

，这已经是为等比放缩做准备，但由于没有目标意识，证明无法进行。其实，所证不等式右边是常数，所以对的分母必须含有3，则有的处理手法，不但进一步进行放大，而且转化为求等比数列的前n项和，当然由于，必须保留不放大.

等比放缩的原理是：构造等比数列，其首项为p，公比为q，则其前n项和公式，当，数列收敛.对于类型（c为常数）数列不等式的证明，只需构造合适的等比数列进行放缩，即，当然等比放缩的局限在于：只适合带n次方的数列.

证法3：（利用列项放缩）

点评：将通项cn两次放大及裂项以及保留c1不放大，看上去不就“乘上一点”、“仍掉一点”，看似简单，其实这种技巧不是随心所欲得来的，而是摸清裂项伴随着放缩这一重要的特征才作出恰如其分的过程.

常见的数列通项的放缩技巧有以下几种：

对的裂项放大：

; ;

对的裂项放缩：

;

对的等比放缩：

;

熟悉了常规方法，然后再去追求方法的的新奇，所有新奇思路的获得，必植根于扎实的基础之中。

例题1：若（），求证：

证法一：

证法二：

证法三：，令，，

，

又

注：法一与法二是等比放缩的手法，法三是等比压缩的手法，这样的“放缩链”是考察了“伪等比数列”的结构特点之后的一种恰如其分的构造。

例题：2已知数列中，，证明：（1）;

（2）;（3）

分析：（1）先由数学归纳法证明，当不等式成立，假设成立，则当成立，所以，所以。

，所以依次递推可得：

，

令，，，故在单调递减，于是，

从而，累乘得：

，当且仅当时取等号

注：函数的构造，与其说是认真观察题设条件得来的，不如说是一种创造性的突破，这样的构造反映了解题时清晰的目的性，这种解题的灵感是长期积聚后的豁然开朗。

放缩是一种技巧性较强的不等变形，没有固定的模式，这是一种灵活机动的战略战术，许多时候，就那么轻轻地一放、一缩，本质问题解决了。当然放到什么程度，缩到怎样的范围，必须事先在心中有一个充分的估计，必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。

通过本文的两三道题目无法道尽放缩法的林林种种，教师平时教学应当引导学生通过题目开拓解题思维，从多角度观察观察一个对象，对一道题目进行一题多解，密切注意放缩法的特点，发现放缩法的规律，从中找出放缩的技巧与角度，有些技巧十分巧妙，不是一朝一夕能够掌握的，它需要不断积累，细心品味，逐步提高。

参考文献：

[1]郝保国.多角度破解数列压轴题，浙江大学出版社，2019

[2]张嘉瑾.不等式的方法、技巧、优美解，长春出版社，2014

[3]陈德前 凸显复习课特点，构建高效课堂[J]. 中学数学教学参考，2011（7）.

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