一道中考数学压轴题的“出炉”过程

张朝光

笔者有幸参加了某一年曲靖市中考数学的命题工作。现就这一年曲靖市中考数学卷中的第23题压轴題的“出炉”之路与各位初中数学教师分享，达到学习交流、共同探讨的目的。

一、初稿的产生与评析

根据这一年云南省中考数学考试说明，课程标准（数学）要求，初中数学知识双向细目表，命题组对试卷的第23题即本套数学试卷的压轴题提出了如下要求：一是以二次函数为背景，结合三角形、四边形（圆与二次函数的结合上年已考）的有关知识，重点考查学生对基本图形的识别能力和综合应用数学知识分析问题，解决问题的能力;二是渗透数形结合，代数、方程分类等数学思想和方法;三是数据的设计避免繁难的计算，重点考查数学思想和方法。

初稿：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），.

（1）求抛物线的解析式。

（2）D是抛物线的顶点，求四边形AOCD的面积.

（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在这样的点M，使点E或F恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标;若不存在;请说明理由.

分析：初稿基本满足了命题组的要求.

第（1）问很常见，学生易上手，利用，可得OA=3，于是A（-3，0），把点（0，3），A（﹣3，0）代入可求得.

第（2）问只需求出顶点D的坐标（-1，4），适当添加辅助线（课本七年级下册有此方法）利用图形面积的和差，大部分学生都能完成，方法上的要求不高;第（3）问难度陡增，且与前面问题关联性很小。况且第（3）问中，还要讨论E点在对称轴上和F点在对称轴上两种情况：

情况1：点E在对称轴上如图2，过点M作MG⊥y轴于G，交对称轴于N.

有△MGC≌△ENM.

于是MH=CG

设M（，）  MH=∣n+1∣，

CG=

所以或

解得.

情况2：点F落在对称轴上，如图3，过M作MG⊥y轴于G，过F作FN⊥y轴于N.

有△MGC≌△CNF

于是CG=FN

设M（，）

所以或

解得：或

把x的值代入中可求出对应的纵坐标.

共有7种可能，且有6种情况计算纵坐标时比较繁。另外从学生角度考虑，每种情况就有一个图形，要画出的图形太多。

二、第二稿的形成与评价

经过命题对初稿答案的讨论，初稿中第（2）问对于第（1）问难度没有坡度，属于考查基本知识的范畴，需改进，且第（2）问对解决第（3）方法上没有提供支持和铺垫，第（2）问要重新设计，第（3）可能性太多，是否可以限制某些条件，让结果情况减少到4种及4种以内，于是命题人员在以上意见的基础上改进组成第二稿。

如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C（0，3），.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于N，交抛物线于P，求线段PH的最大值.

（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M，使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

评析：这里求PH的最大值，从图上直观看出PH的值是一个变化的量，学生会联想到函数的知识，二次函数的最值问题，也就是说PH的长能否表示成某个变量的二次函数的形式.

设，H的横坐标也为x，纵坐标能否可以用x表示，H是AC上的点，可先求出直线AC的解析式，所以.

于是PH=PN﹣HN=

此二次函数，开口向上，函数PH有最大值.

当时，

：

第（3）问经调整还有4个点满足，如图2情形，满足条件的M的横坐标是，求纵坐标还要把这些值代入中还比较繁。

如当

三、第3稿的形成与评析

通过命题组讨论，第2稿基本上满足了命题的预设要求，三问之间层层递进，问题之间有联系，但第（3）问的计算繁难问题与考试要求中的注重数学思想方法的考查，避免繁难计算相违背，同时也要考虑学生考试用时的问题。据此，命题组提出，可否在考查的数学思想、方法不变的前提之下，改变题目的已知数据，使计算上简化，答案简洁，体现了数学的简洁美。通过努力，最终找到了符合要求的数据，形成了第3稿。

如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，3），.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x的轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值.

（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M，使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

简解：（1）解析式为（2）求得AC解析式为

设N（x，0），则H（x，），P（x，）

∴

∵                 ∴PH有最大值

∴PH最大家=

即线段PH的最大值是.

（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则

∴

∵四边形CMEF是正方形 ∴ ∠EMC=90°

∴∠EMG+∠CMK=90° ∴∠MEG=∠CMK

∴△MKC≌△EGM ∴MG=CK

由抛物线得对称轴，设M（，），则G（-1，），K（0，）

∴

∴

∴

∴或

解得

代入抛物线解析式得

∴点M的坐标是M1（-4，0） M2（，）

M3（，） M4（2，0）

从答案看出已避免了繁难的计算。

四、讨论定稿

每个命题人员自己完成一次解析，在解题过程中查找题目的不足之处，逐步完善，形成终稿。第3稿第（1）问设置起点低，学生容易上手，照顾了大部分学生;第（2）问加入了运动元素，强化了函数知识，特别是一次函数、二次函数及二次函数的最值问题，难度适中，此问的顺利解决为第（3）问做好铺垫。第（3）问难度较大，有极大的区分度，不仅要画出符合条件的正方形，同时还要添加辅助线，构造全等三角形，找出线段的相等，还要有用变量表示线段长度的方法，建立方程而求解，还要考虑M点在不同位置所形成的正方形等，是对学生综合数学能力的考查，体现了选拔功能。通过分析讨论、命题组形成统一意见，认为第3稿符合命题组提出的要求，试题起步慢，易上手，问题之间有关联。特别是第（2）问表示PH长的方法为第（3）表示MN，CG的长提供了思路，达到了“形散神聚”的效果，另外，第3稿中的两个A、B点是特殊点，符合学生从特殊到一般的思维方法。第3稿的计算较简化，重点注重数学思想方法的考查，避免了繁难计算。另外，此题还有一个讨论空间，以C、M、E、F为顶点的四边形为正方形，且使E或F落在对称轴上，供教师研究。命题组最终形成共识，就把第3稿确定成为曲靖市这一年中考数学的压轴题。

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