用好《教学用书》，追求有效教学

江敏珊

《教学用书 》是由具有丰富经验的一线教师、专家、学者依据各科大纲及教材内容和要求并结合教学实际共同编写的，对广大教师们的教育教学工作具有很强的指导性和实用性。它既是教师认识和理解教材的基础，也是教师实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。本学期，我任教一年级两个班的数学。在《减法》备课阶段，我觉得内容简单，所以备课前没有阅读《教学用书》。在第一个班级进行教学时，由于对知识重难点没有进行深入研究，没有找准知识的延伸处，没有用足习题，因此在第一个班的教学效果不好，学生的学习兴趣不高。现场听课的老师指出了我上课所出现的问题，同时给我提了一个重要的建议，那就是每节课的备课都必须仔细研读《教学用书》，理解每一个情境和例题的编写意图，理解感悟每一道习题的作用和目标，真正走进教材。在经过第一次的教学反思，我认真反复研读《教学用书》。在第二个班进行教学时，我调整了部分教学内容，对教学设计做了适当的修改，增设了丰富多样化的习题，引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次的思考。下面结合两个班的《减法》教学过程，谈谈我是如何通过研读并合理使用《教学用书》来逐步改进教学的。

一、初次教学，发现问题

第一个班级教学《减法》时，没有研读《教学用书》，出现了以下几点不足：

1.在讲完第一道“气球情境图”的例题后，马上进入了第二道“松鼠情境图”练习，例题讲解与练习环节不太对应，练习缺乏针对性和有效性。

2.对一课时的内容把握不够清晰，只讲解了“看算式，说意思”的例题，缺少对减法算法的多样化的例题讲解。

3.讲解 “气球情境图”例题的时间过长，没有合理好分配教学时间。

4.练习题的设计没有层次化，没有找准知识的延伸处，没有用足习题。

二、研读用书，改进教学

教学经验丰富的听课教师们都认为我在第一个班教学时，没有充分研读每道例题和练习题的编写意图，没有关注教材的纵向联系、横向练习和整体把握，以致于在突破知识重难点和发展学生思维能力上，没有达到预期的教学效果。为此，我认真研读《教学用书》，调整了部分教学内容，重新设计了教学过程。在进行第二个班级教学时，我站在学生的角度出发，及时发现学生认知的“学困点”。同时，通过以下几点改进，促进了学生的思考、知识的及时生长。

【改进1】数学书27页“小松鼠情境图”

与减法的含义的编排相一致，此情境图也是加法计算情境图的延续：玩耍的5只小松鼠，跑走了3只。从而引出算式5-3=。《教学用书》的编写意图是通过呈现计算5-3的两种方法，体现算法多样化的思想。在第二个班级进行教学时，为了更好地理解此情境图时加法计算情境图的延续，我在教学中增加了小松鼠加法计算情境图的知识回顾，目的是让学生重温计算3+2的多种方法，让学生能对所学知识进行类比和迁移，发展思维能力。

（1）小松鼠加法计算情境图的知识回顾

（2）小松鼠减法计算情境图的新授

为了让学生对两道小松鼠题做区分，在不改变图意和题意的情况下，通过查阅网上资料，我更改了小松鼠的颜色，以提供学生的学习兴趣，这也符合低年级数学教学趣味化的特点。

【改进2】数学书《练习五》练习片段

1、数学书《练习五》第7题。《教学用书》的编写意图是“5以内的加减法，学生第一次见到这种形式的题目，可以初步渗透函数思想。”在没有认真研读《教学用书》时，在第一个班级教学时，部分学生看不懂图意，计算结果正确率不高。在经过认真研读《教学用书》后，我改变了该练习题的呈现方式，改用了“流动图”展示，把“+1”和“5-”做成了“流动图”，该题学生的正确率有了明显的提高。这符合教材的编排特点之一，也就是从学生的生活经验出发逐步开展学习内容，有利于激发学生的学习兴趣。

2、数学书《练习五》第6题。这组练习题在第一个班级教学时是没有呈现的，练习形式过于单一。在认真研读《教学用书》后，在第二个班级进行教学时，我增设了以下这一题组。第6题的教学建议是“先说图意，再列式计算。最后引导学生横看、竖看，发现其中的规律，直观感知加、减法之间的关系。”在第二个班级进行教学时，学生用“”方式横着看，他们发现第一排是和为4的加法算式，第二排是被减数为4的减法算式;学生用“”方式竖着看，发现第一排算式的和是第二排算式中的被减数，第一排算式中的已知加数是第二排算式中的差。结合《教学用书》的教学目标提到：“初步学会根据加减法的含义和算法解决一些简单的实际问题”和“养成认真作业、书写整洁的良好习惯”，我注重强调学生做题的课堂笔记，规范学生的做题行为，并且受到了良好的教学效果。

【改进3】优化练习设计，发展思维能力

1、数学书《练习五》第3題的小花图。《教学用书》的编写意图是“要求学生根据图意写减法算式，直观感受原有的4个笑脸、剩下的笑脸间的关系，巩固减法的计算方法，理解同数相减得0的道理，渗透函数思想。”由于第一个班级教学时，没有注重练习的层次性和针对性。因此，在第二个班级，除了讲解小花图之外，我还增设了一组草莓图。学生在做题过程中，理解了“划去 ”和“虚线框”都可以表示去掉的意思，直观感受减法的含义，加深对减法的理解。另外，在同一组草莓图中，出现5以内的加、减法的不同算式，有利于强化学生对于加减法含义的理解。

2、《教学用书》的编写特点是“设计富有儿童情趣的学习素材和活动情境，以激发学习兴趣与动机，促进儿童主动建构有关的数学知识。”因此，研读《教学用书》后，通过上网收集资料，选取以下一组题为这节课的拓展题。在第二个班级教学时，学生比较容易解决“树上还有几个桃子？”。而第二个问题“小猴子摘走了几个桃子？”，通过教师的适时点拨，学生二人讨论，最终成功解决“猴子与桃”的故事。

三、回顾反思，用好用活

在发现了第一个班的教学中所存在的问题后，我认真研读《教学用书》，有效调整和改进教学环节，提高了习题的“品位”，找准了知识点的延伸处。因此， 在第二个班上这节课时，收到很好的教学效果：显著地提高了教学的条理性;很好地体现了练习题的层次性和针对性;有效地激发了学生的学习兴趣，这些都真正达到有效教学。通过两个班级的同一课时的不同教学，我切身感受到用好《教学用书》与不用《教学用书》的巨大差别，深刻理解到《教学用书》的重要作用。 作为新教师的我，必须要认真研读它，准确把握教材的深度、广度及大纲对具体知识、技能要求学生达到的等级，真正感悟《用书》的优点，用好《用书》、用活《用书》，才能激发学生的思维，让学生真正享受思考的快乐！

解读新教材之等比数列和的性质

林英杰

青岛西海岸新区第一高级中学 山东青岛 266555

“等比数列的前n项和”是高中数列章节非常重要的教学内容，其公式的探究、推导以及灵活应用是代数式结构分析的典范，其中蕴含了非常丰富的数学思想。下面就人教A版新教材中的一个例题来进一步探究等比数列的前n项和的性质。

首先我们一起来看一下新教材中关于该性质的描述（课本P37）：

教材是基于等比数列的前m项和的公式的角度，通过分类讨论的数学思想对该性质进行了证明。而在旧版人教A版的必修5<<数列>>章节中仅仅是在PB组练习里出现了该性质的雏形，即：

2.已知等比数列{a}的前n项和为S，求证S，S-S，S-S也成等比数列。

这也是新旧两版教材对该性质的处理方式的不同，因为这种安排上的不同，在实际教学中师生对该性质的重视程度会有巨大差异。下面我们借助题目实战一下：

【典例】已知等比数列{a}的前n项和为S，若S=7，S=91，则S=（ ）

A.28 B.32 C.21 D.28或-21

【解析】∵数列{a}为等比数列，

∴S，S-S，S-S成等比数列，即7，S-7，91-S成等比数列

∴（S-7）=7（91-S），解得S=28或-21.

很多同学解到这里就选择了选项D.但实际上该题的正确答案是A.28.

那么同学们明明用了等比数列的前n项和的性质，那为什么还是做出了错误的答案呢？教师在实际教学中如何才能有效避免这种情况的发生。这篇文章旨在通过将课本中对该性质的隐性的语言描述转化为具相的等式关系来凸显该性质的实用性，以及在解题中的有效性。

首先我们借助数列的前n项和的定义以及等比数列中任意两项间的关系：，可以推导出这样一个等式：

我们把上式记为（*）式. 这是一个对q=1和q≠1均成立的式子。

当m=n时，（*）式可化为，

即得……①;

当m=2n时，（*）式可化为，

结合①式，可得……②

以此类推，当q≠-1时，

;;……

综上：对于等比数列{a}，当q≠-1时，其前n项和满足：

（1）;

（2）仍成等比数列，公比是q;

且有：;.

下面我们应用上面推得的等式来求解【典例】，具體过程如下：

解：由题意易知，等比数列{a}的公比q≠-1.

∵，∴q+q=12，解得∴q=3（q=-4舍）

（解法一）∴.

（解法二），∴91=7+3S，解得S=28.

事实证明，我们推得的等式具有非常好的实战效果.下面请大家试着解决以下问题：

（1）设等比数列{a}的前n项和为S，若，则等于 （ ）

A.2 B. C. D.3

（2）如果一个等比数列的前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列前15项的和等于多少？

在等差数列中应用类似的推导方法，我们可以推导出等差数列的前n项和S满足：.有兴趣的读者可以推导一下.

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