从一个博弈论问题看资优生培养

孙晓丽

博弈论又称为对策论，往往用于研究具有斗争或竞争性质现象的理论和方法，它不光是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。博弈论思想古代就有，最初主要用于究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，但是当时人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。现在博弈论在在很多领域都有研究应用，在教学方面也已经有了广泛的研究。类比博弈论在其它学科领域的应用，在教学中则是贴近学生最近发展区，让问题与学生的思维产生博弈，从而研究相关的问题。

几年以前看博弈论的时候，发现一个有趣的问题：如果让每位同学写一个介于1与100之间的正整数（包括1和100）    ，然后求出所有这些数字的平均数，如果你所写的数字最接近该平均数的二分之一，那么你就在游戏中胜出。

在这个问题（后面称为二分之一问题）中，如果每个同学写的都是随机产生的数字（没有考虑别人写出的数字的话）结果应该在25这里稳定。但是提出了这样的问题，必然有同学考虑别人会如何思考。

假设参与的同学是理性的话，应该不会写50以上的数。因为即使所有的人都写了100，那么平均值也只有100，那么平均数的二分之一当然也不可能大于50。

进一步，如果所有参与的同学都是理性且认真思考的话，那么当意识到没有人会写50以上的数之后，平均值的二分之一就不可能大于25了。

再进一步，如果所有的同学都是理性且进一步思考的话，那么当意识到没有人会写25以上的数之后，平均值的二分之一就不可能大于12了。

……

如果所有参与的同学都是足够理性并且完整思考的话，那么必然会明白，且所有人都会写1。然而现实中，前面这些假设是否成立呢？当然不会完全成立。事实上甚至会有一部分学生写大于50的数。

现在选取本人任教的某中学初二实验班的数据进行该问题的分析。

该中学实验班只有两个班级，甲班和乙班，两班分班时按照成绩随机分配。在拓展课教学过程中，按照分数分班，分成A班和B班，成绩在前面一半的分为A班，成绩为后面一半的分为B班，每学期流动一到两次，流动人数为三到四名学生。在某次测验中，记录学生的成绩和二分之一问题的结果，考察二者的相关性。

本次测验满分为120分，其中最高分105分，最低分0分，平均分为52.08分。

A班和B班共75位同学，在二分之一问题中记录得到的平均值为30.8。这其中共有7名同学写了50以上（含100）的数;5名同学写了50;34名同学写了25-49之间（含49）的数;22名同学写了13-24之间（含24）的数;7名同学写了12及以下（含1）的数。

二分之一问题和成绩两者相关系数为-0.363，具有较显著的负相关。其负相关性具有相当的合理性。事实上理性而善于思考的学生，成绩是应该更好一些。

那7名写了50以上的数的同学，成绩的平均分为38.3分，而7名写了12以下的数的同学，成绩的平均分为67.3分。这里两名最高分105分的同学中，其中一位写了4，另一位写了18。事后我询问两位同学，其中写4的那位同学说应该写1，但是觉得同学们不会那么聪明，所以写了4;而写18的那位同学在旁边还嘲笑他，“你还是把同学们想的太聪明了。”

由如上数据得到如下相关结论：

结论1：学生填写二分之一问题的结果大小和该学生的成绩有一定的负相关性。

整理数据时，不小心将填写最大和最小的数的各7名同学从样本中去除，二分之一问题平均值降为28.4，相关系数也降为-0.316。这里平均值降低是可以预期的，但相关系数的绝对值下降却是出乎意料的。于是进行了进一步的如下分析。

如果将学生按照甲、乙班和A、B班分开统计，得到下表：

但是这里A班的相关系数降至-0.112，这个数据也就是说A班中二分之一问题的值和学生的成绩不具有明显的相关性。

结论2：对于成绩较差的学生，其成绩和其智力和思考能力具有一定的负相关性;成绩较好的学生，其成绩和其智力和思考能力的相关性很弱。

为了进一步验证结论，若现在将A班人数缩小5人，相关系数会降至-0.032，这样就几乎没有相关性了。考虑到学校还是需要在提高学生能力的同时提高学生成绩的。那么什么因素对提高学生成绩有帮助还是需要进一步分析一下的。

最容易量化分析的就是孩子的作业质量，如果在A班学生的数据中加入作业分。作业分和成绩分的相关系数为0.376，具有较强的正相关性。那么作业分明显的体现了学生的认真程度。

结论3：对于成绩较好的学生，其成绩和认真程度具有较强的正相关性。

综上所述。对于普通的学生，智力水平基本上决定了其所能取得的成绩。但是对于相对优秀的学生，智力水平和能取得的成绩相关性较弱，而非智力因素和能取得的成绩具有较强的正相关性。

因此对于资优生的培养，不应该仅仅从智力方面进行培养，对于非智力因素，比如认真、努力、坚持不懈等，也是需要着力培养的方面。

由于以上结论来自于单次的实验，必然有其局限性。在未来教学工作中，还将继续这方面的实验。对同一批學生的不同类型的测试，以及不同批次的学生对同一类型的测试。并且研究更多的因素对学生的能力的影响。争取能得到更详尽的数据，以对学生的成长做出更好的指导。交流日期：2019.12

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