一类冷贮备可修系统算子的性质

原文志，寇玉芳

(太原师范学院 数学系，山西 晋中 030619)

0 引言

冷贮备是部件在贮备时没有损坏的情况，例如文献[1-3].现有文献很多假设部件损毁后可以马上修复.但实际上，当系统故障时可能因为修理工不一定在现场或者其他原因而需要一段等待修理时间.所以在可修系统中考虑修理工休假和空闲状态是有意义的，比如文献[4-5].但是很多文献只证明了可靠性指标.

因此本文研究修理工带休假的冷贮备可修系统算子的性质，证明了系统算子是稠密的预解正算子，并且得到它的共轭算子，运用共尾理论证明算子的增长界和谱上界相等，最后运用C0半群理论，证明系统动态解存在且唯一.

1 系统模型

1.1 模型描述

假设1：系统里有两个不同型的部件分别记作1,2，再加一个修理工3.

假设2:初始状态时1和2 都是新部件，而且1可以先使用和维修.

假设3：当1和2都处于正常状态时，1工作则2冷贮备.

假设4：当1工作时，2冷贮备，3处于休假状态，维修后部件恢复成和新的一样.

假设5：当部件出现问题时，1)如果3正在休假，那么休假期完成后维修部件；2)如果3空闲，那么立刻进行维修；3)如果3处于工作状态，那么故障等待维修.

假设6：3修完一个部件之后，如果没有发现其他问题就开始休假.休假完成后如果发现问题就要立刻维修；如果系统完好则就要待在系统里进入空闲状态，等待问题出现后立刻维修.

1.2 状态描述

状态0：1工作，2贮备，3空闲；状态1：1工作，2贮备，3休假；状态2：1工作，2故障，3休假；状态3：1工作，2修理；状态4：1和2均待修，3休假；状态5：1修理，2待修.

1.3 系统方程

(1)

边界条件为：

(2)

初始条件为：

P0(0)=1，其余为0.

(3)

做以下合理的假设：

取状态空间

范数定义为：

在X中定义算子A，B及其定义域如下：

A=

2 算子的性质

定理1D(A+B)在X中稠密.

证明 由文献[6]有D(A)在X中稠密，而且DA+B=D(A)，所以D(A+B)在X中稠密.

定理2[7]算子A+B是预解正算子.

定理3系统算子A+B的对偶算子(A+B)*是

(4)

证明 由文献[8]有〈(A+B)P，Q〉=〈P，(A+B)*Q〉.

定理4(A+B)*的几何重数为1的本征值是0，且(1，1，1，1，1，1)T为0的对应的特征向量.

证明 讨论方程(A+B)*Q=0.由定理3知

(5)

定义2算子A+B的谱上界s(A+B)=inf{ω∈R|(ω,∞)⊆ρ(A+B)}.

定理5算子A+B的增长界ω(A+B)=0.

证明

(6)

定理7{r∈C|Rer〉0或r=ia,a∈R{0}}包含于系统算子A+B的预解集ρ(A+B)中.

证明 对任意G={g0,g1(x),g2(x),g3(y),g4(x),g5(y)},考虑算子方程[rI-(A+B)]P=G,可得到方程组

(7)

边界条件

(8)

解方程组(7)可得：

(9)

根据T的表达式看出，矩阵T是不可约的，而且是按列对角占优矩阵，detT≠0.所以方程组[rI-(A+B)]P=G是有唯一解的，从而得到rI-(A+B)是满射.又由rI-(A+B)是闭的，以及D(A+B)在X中稠密，因此根据逆算子定理得到[rI-(A+B)]-1存在而且是线性有界的.所以当{r∈C|Rer〉0或r=ia,a∈R{0}}时，r∈ρ(A+B)，系统的动态解存且唯一.