三阶泛函微分方程的非振动解

侯晓磊

(山西工商学院,计算机信息工程学院，山西 太原 030006)

微分方程的非振动解一直以来是学者们研究的热点[1-4]，B.Baculíková等著名学者讨论了三阶中立型微分方程的振动性[5]，M.F.Aktas等研究了三阶非线性泛函微分方程的振动准则[6].

罗李平等人在此基础行讨论了三阶非线性时滞微分方程[7]

(c(t)((a(t)(x′(t))α)′)β)′+q(t)f(x(τ(t)))=0

的振动性.

2015年有学者研究了一类三阶非线性中立型分布时滞微分方程[8]

的振动性.

本文在以上结论的基础上讨论了下列三阶泛函微分方程非振动解的振动性

(r2(t)(r1(t)y′(t))′)′+p(t)y′(t)+q(t)f(y(σ(t)),y′(δ(t)),(r1(t)y′(τ(t)))′)=0，(t≥T0)

(1)

这里T0>0，并且满足下列条件：

(a)r1,r2∈C[T0,),r1>0,r2>0;

(b)q∈C[T0,),q(t)≥0且当t趋于无穷大时q(t)≠0;

(c)p∈C1[T0,),p(t)≥0;

(d)σ,δ,τ∈C([T0,),R)且;

为了方便起见,对于任意的y∈C3[T0,],记

L0y(t)=y(t),L1y(t)=y′(t),Liy(t)=(ri-1(t)Li-1y(t))′，(i=2,3).

方程(1)有以下形式:

L3y(t)+p(t)L1y(t)+q(t)f(y(σ(t)),L1y(δ(t)),L2y(τ(t)))=0，(t≥T0)

若存在s使得T0≤s≤t<,作如下定义:

(2)

是非振动的,如果y(t)是方程(1)的一个非振动解,那么如果存在一个T1≥T0,对于所有的t≥T1,有y(t)L1y(t)>0或y(t)L1y(t)<0.

证明 不失一般性,设y(t)是(1)的一个最终正解,存在一个T1≥T0对于所有的t≥T1时,总有y(t)>0,y(σ(t))>0.

显然x(t)=-r1(t)L1y(t)是二阶非齐次微分程

(3)

的解,下证(3)的所有解是非振动的.令z(t)是(2)的一个解,z(t)>0.假设x(t)是(3)的一个解,如果它有两个相邻的零点b,c(b

(2)式乘以x(t)减去(3)式乘以z(t)有：

x(t)(r2(t)z′(t))′-z(t)(r2(t)x′(t))′=-q(t)z(t)f(y(σ(t)),L1y(δ(t)),L2y(τ(t)))

(r2(t)x(t)z′(t)-r2(t)x′(t)z(t))′=-q(t)z(t)f(y(σ(t)),L1y(δ(t)),L2y(τ(t)))

(4)

将(4)式从b到b,c(b

得出矛盾，所以对于所有的t≥T1，有y(t)L1y(t)>0或y(t)L1y(t)<0.

引理2当t→时,令

R2(t,T0)→

(5)

若y(t)是方程(1)的一个非振动解,并且当t充分大时,有y(t)L1y(t)≥0那么存在一个T2≥T1,使得对于所有的t≥T2时有：

L0y(t)Lky(t)>0,k=0,1,2;L0y(t)L3y(t)≤0.

(6)

证明y(t)是方程(1)的一个非振动解,我们不妨设y(t)>0,显然

L0y(t)L0y(t)=y2(t)>0,L0y(t)L1y(t)=y(t)L1y(t)>0

L0y(t)L3y(t)=-y(t)p(t)L1y(t)-y(t)q(t)f(y(σ(t)),L1y(δ(t)),L2y(τ(t)))

由条件知:

p(t)≥0,L1y(t)>0,q(t)>0,f(y(σ(t)),L1y(δ(t)),L2y(τ(t)))>0

所以L0y(t)L3y(t)≤0.

由(5)知：r1(t)y′(t)→-，矛盾.所以L2y(t)>0.

所以有L0y(t)Lky(t)>0,k=0,1,2;L0y(t)L3y(t)≤0.

对于方程(1)的一个非振动解y(t)来说，若它满足(6),我们称它具有V2性质，当t→时，(5)式成立，再令

R1(t,T0)→

(7)

我们很容易能证明每个具有V2性质的非振动解y(t)是无界的.

下面定义:

g(t)=min{t,σ(t)}.

(8)

引理3假设存在一个连续函数g(t)∈[T2,+),对于所有的t≥T2,有g*(t)≤g(t)并且,如果y(t)是(1)的一个具有V2性质的解,那么存在一个T3≥T2使得:

L1y(g(t))≥R1(g(t),g*(t))L2y(t)(t≥T3)

(9)

L1y(g*(t))>0,L1y(t)>0，L2y(t)>0,L3y(t)≤0.

又因为L2y(g(t))≥L2y(t),所以(9)成立.

引理4令p2(t)是定义在[T3,+)上的一个充分的正函数,设

假设存在一个T4≥T3,使得当t≥T4时,有

(10)

(11)

(1)两边同时乘以p2(t),并且从T4到t积分,我们得到

p2(t)r2(t)L2y(t)=-r2(t)p2′(t)L1y(t)-φ(t)y(t)+

(其中C0是常数)

(12)

由(11)得(12)中L2y(t)必是最终负的,由(7)得y(t)是最终负的矛盾，所以λ=0.

定理假设(4)(7)(10)(11)都成立,方程(2)是非振动的,令g*(t)如引理3中定义.如果存在一个最终正函数ρ1(t)∈C′[T0,],使得:

证明 令y(t)是(1)的一个非振动解,不失一般性,本文假定y(t)>0及y(g(t))>0(t≥t0≥T0).由引理1,得到D1y(t)>0或L1y(t)<0(t≥t1≥t0).如果L1y(t)>0(t>t1),由引理2我们知道y(t)具有V2性质.

所以

由于ω(t)→-，所以L1y(t)<0,令y(t)>0,由L1y(t)<0,引用引理4,我们得