巧解运动引起面积变化的函数图象问题

鲍丙生

摘要：运动引起面积变化的函数图象问题，一直是学生难以分析的问题。教学中，教师应引导学生探究知识的内在联系，归纳数学规律，让学生掌握解题技巧，不断激发学生的学习兴趣。

关键词：运动;面积变化;函数图象;解题技巧

一般對于运动引起面积变化的函数图象问题，我们在资料上看到的解法是求取面积函数的表达式，进而判断面积变化图像的趋势。但这种方法费时费力，且准确率不高。那么，有没有一种简便的方法来解决该类问题呢？今天就让我们一起来探讨一下。

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学。一般对于运动引起面积变化的函数图象问题，我们在资料上看到的解法是求取面积函数表达式，进而判断面积变化图像的趋势。我们可以探究函数知识的内在联系，归纳数学规律，让学生掌握解题技巧，不断激发学生的学习兴趣，这也是数学教学的探讨主题之一。

思考1：我们所学过的面积求解公式有哪些？

三角形：（底×高）

平行四边形  ： 底×高

矩形： 底×高

菱形： 底×高

正方形： 底×高

梯  形： （上底+下底）×高

可以发现：以上几种我们在动点图象面积问题中常见的几何图形的面积计算，都可以看作是有关底和高的解析式。梯形的面积公式 ：   （上底+下底）×高，这里的（上底+下底），我们可以看作一个底。

思考2：我们在动点图象面积问题中常见的面积变化图形组成部分有哪些？（见图1）

总结：以上是面积函数的七种常见组合图形。这里的函数变量只能存在两个：一个自变量，一个因变量。如果存在三个变量，我们要将高转化成底或者将底转化成高。这样非常麻烦。

思考3：面积计算的底和高与函数图象有什么固定联系吗？（如表1）

由以上表格可以看出，此法的关键是确定底和高，下面我们从例题上分析该方法的运用。

例：如图2，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC、BD相交于点O，点E，F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CD运动，到点C、D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）

解析：由题意可以看出△OEF为直角三角形，以OE为底，OF为高，在E、F分别到达BC、CD中点之前，OE、OF的长度均在减小;在E、F分别到达BC、CD中点之后，OE、OF的长度均在增加。最后依照表格中规律，可得出答案是B。

对应练习：

1.如图3所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）

2.如图4，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）            

3.如图5，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示的位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与点B重合时停止运动，设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是：

4.如图6，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点。设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是怎样的？

数学的学习更多地需要学生不断地探究与思考，不断地总结与归纳数学规律。我们应让学生掌握解题技巧，这也是数学教学的探讨主题之一。

参考文献：

[1]张金文.鼎尖教案：沪科版九年级数学[M].吉林：延边出版社，2021.

（责任编辑：奚春皓）