基于观测器的非定常机翼LPV模型振动控制

胡志贤，杨 慧

（上海工程技术大学 航空运输学院，上海 201620）

0 引 言

气动弹性系统中包括结构力、惯性力和空气动力学产生的非线性相互作用，这可能导致振动和其它不稳定现象［1－2］。当机翼发生振动时，会影响飞行安全，甚至导致毁灭性的事故。为了避免机翼振动对结构造成损坏，并确保飞行安全，人们已经研究了诸多被动控制方法。如，采用质量平衡和局部刚度增强等措施，这将导致飞机重量增加并降低飞行性能。而主动控制，能够适应意外的结构和环境变化，极大地改善了飞行器的性能指标，克服了被动控制技术的缺点，因此成为当下研究的热点［3－4］。

利用控制面的偏转实现振动抑制，是目前常见的主动控制技术方法。文献［5－7］中将单尾缘控制的二元机翼的参数变化状态空间，转化为张量积模型，有效地实现了非线性气动弹性系统的控制。文献［8］提出了积分反演滑模控制方法，较好地克服滑模控制抖振的缺点。然而上述大多数文献研究中，气动力载荷是基于准定常气动理论的，这会给气动弹性模型带来不精确的弊端，并且只适用于低频的飞行条件［9］。

非定常气动理论克服了上述缺点，不少学者将其应用于机翼气动弹性系统［10－15］。然而，为获得模型的时域表达式，会引入不可测的空气动力状态［16］，难以用传感器去测量所有状态，这为全状态反馈方法的现实应用带来困难；并且机翼布置过多传感器，增加了传感器失灵引起故障的概率。张量积模型变换方法的主要优点是，将各种模型表示形式，生成基于高阶奇异值分解（HOSVD）的凸多面体的TP模型表示形式［17－18］，从而可以很好地应用于现代控制设计工具中，有效地解决非线性系统问题。

基于上述原因，本文的贡献在于使用张量积模型变换的LMI 控制设计方法，设计控制器和观测器，用于稳定和跟踪具有结构立方非线性的非定常气动弹性系统。首先依据拉格朗日方程和Theodorsen 理论建立了带后缘控制面的非定常气动机翼模型的状态空间方程；基于TPtool 工具箱，开发了观测器的设计程序，应用张量积模型变换的控制设计方法，得到整个系统的控制器和观测器；通过仿真验证该方法的有效性。

1 气动弹性模型

1.1 气动弹性系统建模

带有控制面的二元机翼力学模型如图1 所示。该模型的3 个自由度为：沉浮位移h（向下为正）、俯仰角α（迎风抬头为正）、以及控制面偏转角β（向下偏转为正）。弹性轴在翼弦中点前时，a－ ＜0。表1 给出了本文相关机翼结构参数的符号表示。

图1 机翼的力学模型Fig.1 Mechanical model of wings

表1 机翼结构参数的符号表示Tab.1 Symbolic of wings structureparameters

二元机翼的运动方程为：

其中，k(α)可通过对非线性弹簧的实测位移－力矩数据进行曲线拟合得到：

不可压缩流下的二元机翼振动抑制采用非定常气动力。根据Theodorsen 气动理论，气动升力和气动力矩可为如下形式［19］：

其中，Ti（i＝1，4，7，8，10，11）为Theodorsen 常数，取决于弹性轴位置和控制面铰链位置，C（k）为Theodorsen 函数。

控制面可用如下二阶微分方程表示［19］：

根据式（17）、（18），得到包含作动系统动特性在内的机翼运动方程为：

1.2 状态方程

为了计算的简便性，将C（k）写为Jones 近似形式［20］：

式中，z1＝0.007 5；z2＝0.100 55；p1＝0.045 5；p2＝0.3；s为Laplace 变量。

引入空气动力状态变量，C（s）对应的状态方程为：

该系统的输入为：

气动力公式可以重写为：

气动力Fae表示为非环量部分和环量部分之和的形式，即：

根据式（24），非环量部分可表示为：

式中，

环量部分Fc可表示为：

根据式（13）、式（14）和式（16），式（6）可以写成如下形式：

结合式（28）和式（29），得到机翼气动弹性方程的状态空间为：

2 控制方法

在实际应用中，系统的状态一般难以直接测量，因此，应用到输出反馈设计。p（t）包含所估计的状态向量x2（t），假设只有状态x2（t）为可测的，其余状态都不可观测，系统输出为：

将上述状态方程转换成线性变参数（LPV）模型：

对于LPV模型，式（21）的系统矩阵S（p（t））可以通过高阶奇异值分解得到如下形式的TP模型表示［5，18］：

定义［18］如果权重函数满足式（23）、（24），并且所有权重函数的最大值为1 或者接近1，那么凸TP模型为CNO 类型。

观测器需要满足：当t→∞时，x（t）（t）→0，（t）为观测器估计的状态向量。为了实现这一目标，引入如下观测器结构：

上式结构采用多胞模型形式为：

其中，Kr，r＝1，2，…，R为反馈增益，Kr由基于LMI 稳定性定理计算得出。

基于PDC 技术设计如下控制器：

其中，反馈增益Fr，r＝1，2，…，R，Fr由基于LMI 稳定性定理计算得出。

定理1［18］（全局渐近稳定的观测器和控制器）如果带观测器和控制器的多胞模型渐近稳定，则存在P1＞0、P2＞0 和M1，r、N2，r（r＝1，…，R，R为LTI 顶点系统的数量）满足如下线性矩阵不等式：

3 数值仿真

机翼相关结构参数见表2。选择变参数p（t）＝（V，α），流速度V∈[15，30]m／s，俯仰角α∈[－0.15，0.15] rad。因此，Ω：[15，30]×[－0.15，0.15] 。网格密度为M1× M2（其中M1＝31，M2＝31）。在TP模型转换过程中可以看到，离散张量SD∈在第一维上的秩为3，分别为178 081.327 6、1 052.169 57 和1.372 03，在第二维上的秩为2，分别为177 969.499 61 和6 397 014 872；对SD进行HOSVD，得到3×2＝6 个奇异值，LTI 顶点系统的数量也为6。在本例中，选择一个接近正态类型的权重函数，权重函数w1，i（V），i＝1，…，3 和权重函数w2，j（α），j＝1，…，2，如图2 所示。

图2 V 和α 的权重函数Fig.2 Weighting function of V and α

表2 机翼的结构参数值Tab.2 Structural parameter values of wings

可以得到3×2＝6 个线性时不变（LTI）系统的顶点。该气动弹性模型可以用6 个LTI 系统的有限元凸TP模型形式精确描述。实际上，可以尝试从式（21）中解析得出权重函数和LTI 系统。此外，如果第一维度的第三奇异值相对较小，则可通过丢弃其来进一步降低维度，产生一个缩小的2×2 TP模型。但在此情况下，其只是该模型的近似值。α的权重函数可以从k(α)中提取，U 的权重函数将来流速度作为未知量来提取的。根据具体情况，生成的TP模型可能只是气动弹性系统的近似值，并且包含不同且可能比本示例中更多的LTI 系统。然而，如果生成的结果中保留足够数量的非0 奇异值，则生成的TP模型将具有可接受的精度。

将所得LTI 顶点系统代入定理1 的LMI 中，LMI 求解器显示不等式组在当前情况下是可行的，控制器与观测器的增益矩阵如下：

得到如下控制器和观测器：

在本例中，对观测器与控制器选择不同的初值。来流速度为V＝23 m／s，速度已大于该模型的颤振速度（颤振速度为21.8m／s）；系统初值为x0＝[0.01，0.05，0.1，0.01，0.05，0.1，0.01，0.01]T，观 测器初值选择为＝[0，0，0，0，0，0，0，0]T。

在包含模型（式19）、控制器（式28）、观测器（式29）的闭环系统中，系统各状态的响应曲线如图3～7 所示。为了显示控制效果，模型（式19）开环系统的仿真结果也显示在图中。

图3 控制输入Fig.3 Control input

从这些图中可以看出，观测器所有的状态估值，可以较好地跟踪闭环系统的真实值，闭环系统可以快速稳定。由图4 中可以看出，浮沉位移及其变化率的跟踪效果相对于其它状态较差，系统的真实值快速收敛到0，而浮沉位移及其变化率的估计值发生较大的震荡。从图5 和图6 中可以看出，俯仰角及其变化率、控制面偏转角及其变化率的跟踪效果较好，控制面偏转角的变化率约达到320。由图7中可以看出，两个空气动力状态变量跟踪误差较小，震荡相对于其它状态较为剧烈。

图4 系统状态h、及其估计值Fig.4 System states h，and their estimation

图5 系统状态α、及其估计值Fig.5 System states α， and their estimation

图6 系统状态β、及其估计值Fig.6 System states β，and their estimation

图7 系统状态xa1、xa2及其估计值Fig.7 System states xa1， xa2 and their estimation

4 结束语

本文针对具有非定常气动力和结构非线性的机翼振动问题，建立了带后缘控制面的机翼状态空间方程，设计了一个观测器来获得不可测量状态的估计值，并结合张量积模型变换的控制设计方法，获得系统的控制器和观测器。数值仿真结果表明，控制器能够快速稳定系统，观测器的估计值能较好地跟踪系统的真实值，验证了所提方法的可靠性。