关于“三门问题”数学建模的教学与思考

周裕燕

1“三门问题”的来源和描述

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，出自一档娱乐节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊（主持人事先知道门后的情況）.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的可能性？

2学生的思路及初步共识

这道题实际上是博弈论的数学游戏问题，学生兴致很高，教师不做任何的加工和提炼，给足时间，让学生独立地读题，重述问题，学生通过分析、讨论，形成以下思路：

学生1：三扇门中打开任何一扇门，后面是汽车的概率都是1/3，换与不换赢得汽车的概率不变.

学生2：在主持人打开门之前，事件空间即车的位置有3种可能，参赛者有1/3的可能拿到车.当主持人开启剩下两扇门的其中一扇的时候，这时候事件空间发生了变化，只有两种可能，汽车要么在参赛者所选的这个门中，要么在剩下的未被选择的那扇门中，因此换不换的概率都为1/2.

学生3：结果只有两种可能，汽车要么在参赛者所选的这个门中，要么在剩下的未被选择的那扇门中.如果不换，那么参赛者赢得汽车的概率不变，还是1/3，如果换的话，赢得汽车的概率应是2/3.

问题1参赛者不知道三扇门后面有什么，打开每扇门都是等可能的，选中汽车的概率是1/3.但是主持人事先知道门后的情况，主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊，在这种情况下，剩下的两扇门，换与不换选中汽车的概率是否还都是1/3？

问题2在主持人开启剩下两扇门的其中一扇，参赛者换与不换选中汽车的概率是否等可能？

学生4：不是等可能的.参赛者是事先就作出了选择，不换的话，赢得汽车的概率还是1/3;因为汽车一定在剩下的两扇门后面，所以换的话，赢得汽车的概率应是2/3.

经过分析、辩论，达成初步共识：在初始状态，每扇门后有车是等可能的;若主持人打开门是随机的，剩下的门就保持等可能性，若主持人打开门不是随机的，等可能性可能被打破.

3实验验证

教师指导1：三门问题实际上是一个关于决策和博弈的认知问题，在这个拥有信息相对较多的博弈和推理过程中，用频率进行推理优于用概率进行推理.在重复博弈的场合，采用符合直观的、自然的频率来推理比采用概率来进行推理更为恰当，更适用.现在设计一个实验，通过实验，计算得到“汽车”的频率来进行推理.

设计实验：我们用3张完全相同的卡片代替三扇门，在3张卡片上分别写上“羊”“羊”“车”，并将有字的那面倒扣在桌面上.三人一组，一人为参赛者，一人为主持人，一人记录，总共16组，其中8组的参赛者选择换，另8组的参赛者选择不换，每组做100次实验，各组记录拿到写有“车”字样卡片的频数.

学生实验结束后，根据数据，由学生分别计算选择“换”与“不换”的频率.

学生5：我们选择“不换”的小组，拿到写有“车”字样卡片的频率约为33.5%.

学生6：我们选择“换”的小组，拿到写有“车”字样卡片的频率约为66.%.

问题3从统计的数据中我们发现前面哪位学生的结论相对比较可靠？

学生7：因为33.5%比较接近1/3，66.3%比较接近2/2，感觉学生4的结论比较可靠.

学生自己的动手实验，或信息技术开展数学实验、采集数据，并通过数据分析，用频率估计概率，进行验证，得出结论，体验数学实验的魅力.

4利用模型解决问题

教师指导2：要解决“三门问题”，必须要有准确信息：三扇门中只有一扇门的后面有汽车，其余两扇门的后面都是山羊;汽车事前是随机地被放置于其中一扇后面;参赛者事先不知道门后面是什么，他在三扇门中随机选择一扇;主持人知道每扇门后面是什么;如果参赛者选择了一扇门后有山羊的门，主持人必须选择打开另一扇门后有山羊的门，如果参赛者选择了门后有汽车的门，主持人必须随机在另外两扇门中选择一扇;参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门.我们假定参赛者选门1，主持人从剩余两扇门中选择一扇门后不是汽车的门打开，主持人问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.

4.1枚举法

问题4什么是古典概型？这道题中求“换”与“不换”的概率模型是否是古典概型？如果是，应该怎么求概率？

学生8：满足试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且试验中每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概型.

学生9：这道题中求“换”与“不换”的概率模型满足上述条件，是古典概型，我们可以用枚举法求概率.

因此，如果在被主持人打开的门中，门后有汽车的门所占比例小于总体中随机选一扇门赢得汽车的概率，那么更换选择对竞赛者来说可提高赢得汽车的概率;反之，坚持原来的选择赢得汽车的概率更高.

6总结与反思

通过对“三门问题”数学建模教学的总结与反思，笔者认为数学建模教学应注重以下几点方面.

（1）从读题到形成基本思路的过程中，要给学生充足的时间、思考、交流.

（2）教师要最大限度地激发学生的兴趣和探索意识，要采取循序渐进的方法，由简到繁，由易到难的顺序，渗透数学建模的思想和方法，逐步提高学生对数学建模的理解和认识，从而提高数学建模成功的机会和解决问题的效率.

（3）应加强数学实验.在数学建模中，借助计算机和数学软件进行数学运算、证明猜想、模拟仿真、显示图形以及解决实际问题、探索数学规律的数学实践活动，有利于帮助学生解决数学建模中的模型求解与数值计算等难点.

（4）教师应重视思路引导和知识拓展，提高学生将现实情境数学化的能力，深化学生对模型的理解.

数学建模是高中数学的核心素养之一，培养数学建模能力是教学的必备要求，我们要勤于实践、善于总结，不断提炼出具体可行的教学策略，努力提升学生数学建模的意识，促进学生数学建模素养的形成，提高学生数学建模的能力，使学生善于用数学的观点去分析和解决问题，使数学教育的价值真正落实到了“应用”上.