探究一般曲线的切线及其在高考中的应用

李家鑫

曲线的切线是解析几何中的重点，也是高考的考点.在初中几何中从图形的位置关系认识了直线与圆、圆与圆相切的概念，进入高中后又从代数方程组的角度重新认识了直线与圆、圆与圆相切的位置关系，进而还认识了直线与圆锥曲线相切的位置關系，而到了导数的几何意义时，又从极限逼近的方法定义了切线.与前两种认识相比，这种定义更加细腻和抽象，是低层次认知向高层级认知的跨越.然而学生对之前的直观认识已成常态，对更高级的极限认识容易冷落.本文以某学生求切点的不同方法和疑问为引子，分析其认知原因，进而再探究切线的外延，培养学生的直观想象和数学抽象素养，并探讨常见的“切线模型”在历年高考中的应用价值.