量子反馈控制下不同环境双原子系统的关联演化

2021-02-28曹晶晶郭金良

天津师范大学学报（自然科学版） 2021年1期

曹晶晶，郭金良

（天津师范大学物理与材料科学学院，天津300387）

量子纠缠作为量子力学区别于经典力学的一个显著特征，是量子信息处理中一种重要的信息资源[1-3].随着量子光学和量子信息的发展，人们致力于制备和操纵各种量子系统中的纠缠态.然而，研究表明量子纠缠不能解释量子关联的所有非经典性质，因此它并不是量子关联的唯一类型[4-8].而由Zureks 首次提出的量子失谐（quantum discord，QD）被认为能够捕获量子系统中的所有量子关联[9-13].从这个意义上说，量子失谐也被认为是量子信息的新资源.

此外，一个真正的量子系统不可避免地会与环境相互作用，因此实际的量子系统是一个开放系统.系统与环境的相互作用会破坏系统的量子相干，给纠缠态的制备和保持带来破坏性影响.因此，近年来退相干条件下纠缠态的动力学演化受到人们的广泛关注[14-15].在这些研究中，最引人注目的发现是纠缠猝死（entanglement sudden death）[11]，其描述了与2 个独立腔场相互作用的2 个二能级原子在纠缠演化过程中出现的有限时间退纠缠现象.研究还发现，两比特系统的纠缠猝死与纠缠复苏（entanglement sudden birth）具有密切联系，而且选取合适的系统初态可以在更长时间内保持整个系统的相干性[16-18].当然对于实际的量子信息处理，退纠缠无疑是一个重要的障碍.因此，研究开放系统的动力学演化以及如何控制纠缠的衰减具有十分重要的意义.近年来，量子系统反馈控制被认为是处理开放系统退相干问题以及获得稳定纠缠的有效方案[19-22].其中，基于量子跃迁的反馈控制方法在忽略延迟的条件下，可以用马尔科夫主方程来描述.因此形式非常简单，物理含义也非常清晰，常用于抑制系统退相干，制备稳定纠缠态[23-29].

本研究主要讨论了2 个二能级原子分别与单一热库模型和耦合热库模型的情况.通过设置3 种不同的系统初始状态，改变反馈控制强度，观察反馈对双原子和不同热库模型产生的影响，最后通过分析纠缠与关联的时间演化图像给出结论.

1 哈密顿模型及度量方法

1.1 哈密顿模型

当1 个二能级原子与电磁场相互作用时，整个系统的哈密顿量可由“原子+场”共同给出

式（1）中：ω0为跃迁频率；σ+和 σ-为原子的泡利升算符和降算符；ak和ak为k 模腔场的产生和湮灭算符.假设原子与洛仑兹结构存在腔场相互作用，如存在耗散的电磁场，由赝模理论得出整个系统随时间演化的主方程

式（2）中：ρ 为原子与赝模的时间演化密度矩阵；V =Ω（σ+a+σ-a），Ω 为描述原子与赝模相互作用的耦合强度；Γ 为赝模的耗散频率.它们均取决于洛仑兹函数

本研究首先研究2 个二能级原子与单一热库相互作用的情况，同时考虑反馈控制强度η 对整个系统纠缠演化的影响.此时，得到反馈控制下的主方程

除了研究反馈控制强度对系统量子态随时间演化的影响，整个系统的初始态对纠缠演化的影响也被考虑其中.因此，选择3 个不同的系统初态

式（5）中：|Ψ〉ABE=α|ge0〉+β|ge0〉+γ|gg1〉.ρ(1)ABE中原子与热库的量子关联和经典关联同时存在，ρ(2)ABE中只有经典关联，ρ(3)ABE中原子与热库无初始关联.3 个不同的初态具有相同形式的密度矩阵

为了研究系统的纠缠演化，对主方程进行求解.对于上述3 种初态，考虑整个系统最高激发态数为1的情况，在|ge0〉、|eg0〉和|gg1〉基底下进行研究.

耦合热库模型为2 个二能级原子A 和B 与互相耦合的2 个热库1 和2 构成的系统.该模型下，系统主方程为

式（10）中：

式（11）中：υ 为2 个热库的耦合强度，令 Ω1=Ω2=Ω，Γ1=Γ2=Γ.

加入反馈控制后的主方程为

式（12）中：U1= eiZ1；Z1= η（σA+σ+A）；U2= eiZ2和Z2=η（σB+σ+B）；a1+和a2+分别为热库1 和热库2 的产生算符和湮灭算符.在此模型下，考虑以下3 种系统初态

ρ(4)ABE中原子与热库的量子关联与经典关联同时存在，ρ(5)ABE中只有经典关联，ρ(6)ABE中原子与热库无初始关联.3 种不同初态具有相同形式的密度矩阵

1.2 量子纠缠和量子关联的度量方法

对于任意两体系统，Wootters 提出利用Concurrence度量系统的量子纠缠[8]

式（18）中：λi为非厄米矩阵 ρρ˜本征值的平方根，并按由大到小的顺序排列.ρ 的自旋反转态ρ˜=（σy⊗σy）ρ*·（σy⊗σy），其中 σy为泡利矩阵. 可分态C = 0，当C =1 时，系统处于最大纠缠态.

对于量子关联的测量，使用Ollivier 和Zurek 提出的量子Discord 方法[13]

式（19）中：C（ρAB）为两体系统的经典关联；I（ρAB）=S（ρA）+ S（ρB）- S（ρAB）为量子互信息，其中S（ρAB）=-tr ρABlog ρAB为冯诺依曼熵，此经典关联由C（ρAB）=值取自子系统A 上的投影测量值{ΠAk}，ρB|k=trA（ΠAk

2 结果与讨论

首先研究系统在单一热库模型中，当量子初态为ρ(1)ABE时，经典关联和量子关联随时间演化的情况.已有研究表明，在不加入反馈控制时，系统的纠缠和关联随时间的增加不断衰减，直至衰减到最小值.本研究为系统加入反馈控制，随着反馈强度的改变，量子纠缠和量子关联随时间的演化均出现明显变化.图1为量子关联C 和量子失谐D 随时间演化的变化过程，其中，参数θ=π/3，φ=π/3，Ω=1，Γ=5.

图1 量子纠缠C 和量子失谐D 在ρ(1)ABE 初态下的关联随时间的演化Fig.1 Correlation evolution of quantum entanglement C and quantum discord D varying with dimensionless quantity Ωt in initial state of ρ(1)ABE

由图1（a）可以看出，η 越大，反馈控制对纠缠的影响越明显，当η=0.50π 时，系统的纠缠在经历了衰减后，出现了复升现象，最后稳定在最大纠缠态.由图1（b）可以看出，当 η=0.50π 时，量子关联先减小到最小值，随后复升，直至最后达到稳态. 由图1 可知，当η =0.50π 时，纠缠与关联的值随着时间的演化最后达到稳态时均能超过其初始值；当η=0 和η=0.25π时，即使后来纠缠和关联仍会复升，但达到稳态时的值均不会超过初始值.

对单一热库模型下系统初态只有经典关联的情况ρ(2)ABE进行研究，结果如图2 所示.与图1 相同，选取反馈控制强度 η=0，η=0.25π，η= 0.50π；参数 θ = π/3，φ=π/3，Ω=1，Γ=5.

图2 量子纠缠C 和量子失谐D 在ρ(2)ABE 初态下的关联随时间的演化Fig.2 Correlation evolution of quantum entanglement C and quantum discord D varying with dimensionless quantity Ωt in inital state of ρ(2)ABE

由图2（a）可以看出，不论取何值，系统的纠缠最终达到的稳态值均大于其初始值.随着η 的增大，纠缠所能衰减到的最小值也有所增大.由图2（b）可以看出，η 越大，系统的关联衰减变得越迅速，关联演化达到最小值后，无论η 取何值，关联都将复升.η 越大，关联上升的速度越快，且能到达的最大值越大，最终均达到稳态.

对单一热库模型在初始状态为双原子与腔场无关联的情况ρ(3)ABE进行研究，结果如图3 所示，其中参数θ=π/3，φ=π/3，Ω=1，Γ=5.

图3 量子纠缠C 和量子失谐D 在ρ(3)ABE 初态下的关联随时间的演化Fig.3 Correlation evolution of quantum entanglement C and quantum discord D varying with dimensionless quantity Ωt in initial state of ρ(3)ABE

图3 （a）中，选取 η=0.6π、0.8π 和 π.与图1 和图2 不同，此时无论η 取何值，在纠缠迅速衰减后，纠缠猝死现象均会出现.当η=π 时，反馈控制对纠缠的影响不是很明显；当η=0.6π 时，纠缠达到稳态时出现最大值. 图3（b）中，选取 η = 0、0.2π 和0.6π. 只有当η =0 时，系统的关联出现等于0 的情况，反馈控制强度会抑制系统关联的消失.此时，无论η 取何值，系统的关联所能达到的稳态最大值都将小于初始关联值.

图4 为耦合热库模型中，反馈控制强度对系统的影响，图中参数 θ = π/6，φ = π/6，Ω = 1，Γ = 10.图4（a）中，υ=5，令 η=3π/4，纠缠和关联均从最大值开始衰减，直至衰减到最小值，其间并无复生现象出现.图4（b）中，v=2，令 η=3π/4，纠缠在短时间内较图4（a）明显增强，随后开始衰减，关联则与图4（a）情况大致相同，从最大值不断衰减，只是衰减速度比图4（a）缓慢.上述结果表明，与单一热库模型对比，在此耦合热库模型中加入反馈控制并不能有效抑制退相干现象的发生.

图4 量子纠缠C 和量子失谐D 在ρ(4)ABE 和ρ(5)ABE 初态下的关联随时间的演化Fig.4 Correlation evolution of quantum entanglement C and quantum discord D varying with dimentsionless quantity Ωt in initial state of ρ(4)ABE and ρ(5)ABE