高观点下导数取点问题的多解归一*

华南师范大学数学科学学院(510631)陈俊阳

1 取点问题概述

取点问题在高考导数应用问题中发挥着重要作用,常应用于:(1)运用零点存在定理证明函数y=f(x)在某个区间上存在零点时,找区间端点x0,使f(x0)>0 或f(x0)<0;(2)为证明某种情况下f(x)≥0(或≤0)不恒成立时,找矛盾点x0,使f(x0)<0(或>0).

在高考试题中,如2015年全国I 卷文科第21 题、2016、2017年全国I 卷理科第21 题等,给出的参考答案都取了一些让人匪夷所思的点,被形容为“魔术师的帽子里突然蹦出一只兔子”,解答过程隐含了丰富的思维过程.因此,取点问题引发了不少一线教师的研究兴趣,不少研究以期剖析取点背后的思维过程,对取点问题的方法作了较全面的总结,如:文[1]以不同高考题为例总结了不同问题情境对应的取点方法,比如放缩法、分组定号法、待定求解法、缩小范围法、中间值法等等[1].然而,不同问题模式对应不同求解方法,技巧性较强,难以形成问题解决的通性通法.

因此,本文将从高观点的角度,以期总结出取点问题的通性通法,达到多解归一的效果.

2 理论基础

常见的取点问题主要应用于含指对数函数的导数问题中,从高观点的角度看,这些问题的本质大多都与两个极限有关(见命题1,命题2),只需将这两个命题转化为初等表达并证明,即可形成统一的方法解决大部分的取点问题.

3 应用实例

类似的练习还有2015年高考全国I 卷文科第21 题、2016、2017年高考全国I 卷理科第21 题等等,有兴趣的读者可以尝试用本文介绍的思想方法解决之.

4 结语

新高考更加关注对数学本质的考查,重视问题解决的通性通法[3].因此,基于不同问题模式总结对应的问题解决套路的学习方式是机械化的、是低效的.而借助高观点洞察问题的本质,有助于总结一类问题解决的通性通法,实现从“多题多解”到“多解归一”的转变.