一道三元立方和最值问题的研究

华南师范大学数学科学院(510631)叶秀锦 韩彦昌

三元立方和最值问题是数学高考和竞赛中比较常见的问题,但是绝大都数是限定在一个凸性一致的区间,比如利用琴生不等式来解决问题[1-2],对于不限定在一个凸性一致的区间的问题甚少有文章研究.本文主要研究《数学通报》的问题2530 的一般化,解决了三元立方和在一个非凸性一致区间的最大值问题.

问题(《数学通报》2020年2 月号问题2530[3])已知a,b,c ∈[−2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.

供题人张云华构造了一个函数(x−2)(x+1)2=x3−3x−2,作者利用这个函数恒不大于0,得到a3+b3+c3≤3(a+b+c)+6=6,最终指出a,b,c中有1 个2 和2 个−1时取得最大值[3].我们注意到这种方法的局限性强,它只适合于a+b+c的和为某些定值的情形,当我们将兴趣转到a+b+c的和为变化的值时,这种方法将无法解决问题.下面我们用磨光变换法将原题推广到a+b+c=p(−6

引理1对于任意a≤x1≤x2≤x3≤x4≤b,x1+x4=x2+x3,若f(x)在[a,b]为下凸函数,均有f(x1)+f(x4)≥f(x2)+f(x3),等号成立当且仅当x1=x2=x3=x4.

本文研究了三元立方和在一个非凸性一致区间的最大值,研究过程可作为更多非凸性一致区间最值问题提供参考,结论也可改编成竞赛题.