高维不对称受控隐形传态方案及优化

刘芷仪, 柏明强, 肖钧匀, 李文靖

(四川师范大学数学科学学院, 四川 成都 610066)

0 引 言

量子隐形传态是利用经典通信和量子纠缠资源传送未知量子态的一种方式,应用非常广泛,如量子密钥分发[1]、量子保密通信[2]、量子远距传态[3]等。1993 年,Bennett 等[4]最先提出了量子隐形传态的概念。目前为止,研究者已经提出了许多传送未知量子态的方案,从传输粒子来看,有单粒子态和多粒子态的隐形传态[5,6];从受控角度来看,有受控隐形传态[7,8]和非受控隐形传态;从通信方向来看,有单向隐形传态、双向隐形传态[9-11]等。

结合受控隐形传态和双向隐形传态的思想,2013 年,Zha 等[12]提出了第一个量子双向受控隐形传态方案,作为量子隐形传态的一个新的分支,量子双向受控隐形传态受到了很大的关注。在此基础上先后提出了一些利用多粒子纠缠态作为量子信道的双向受控隐形传态方案[13-20]。然而在物理学中,除了低维空间之外,也存在高维空间。与二维量子纠缠态相比,高维量子纠缠态具有携带信息量较大的优点,在提高量子通信方案安全性及量子信息处理[21,22]方面更具优势。2001 年,Zhou 等[23]首次提出了传送未知高维单粒子态的方案。2004 年,Dai 等[24]提出两个利用三维两粒子纠缠态作为量子通道,概率传送未知的三维单粒子态的方案,并且进行了推广。2012 年,Zhan 等[25]给出了采用不同维数的量子信道,远程地执行单量子未知酉算子的一个协议。2019 年,Peng[26]以事先分享的两个广义最大纠缠GHZ 态为量子信道,提出了一个三维单粒子态双向受控隐形传态协议,并进行推广。2019 年,中国科技大学潘建伟小组首次实现了三维量子隐形传态实验[27],严格证明了该过程的非经典性及高维特性,为传输完整量子态奠定了基础。

在目前对双向隐形传态的研究中,往往假设通信双方的待传粒子数相等,但在实际问题的讨论中,通信双方可能出现待传粒子数不等的情况,使得假设与实际相悖。Hu[20]在2018 年提出了以七粒子量子纠缠态作为量子信道的双向不对称控制通讯方案,为多粒子纠缠源传输通信提供了多信息量、高安全度的方法。在高维空间中,对非对称双向隐形传态进行研究同样有一定的理论价值和实际意义。本文以两个广义最大纠缠态为信道,提出一种高维不对称双向隐形传态方案,并加入控制者,进一步提升方案的安全性,在对方案进行优化后,所提方案的成功概率从1/d提升到了1。

1 实现不对称受控双向隐形传态的方案

在高维空间实施本方案时,Alice 和Bob 是通信方,Alice 将自己拥有的粒子信息传给Bob,同时Bob也将自己拥有的粒子信息传给Alice,Alice 和Bob 既是发送者,也是接收者。作为第三方参与者(即控制者),Charlie 的加入增加了通信的安全性。假设Alice 拥有粒子(A,1,5,7),Bob 拥有粒子(B,B′,3,4,6),Charlie 拥有粒子2,其中Charlie 可以控制Alice 将待传态传递给Bob 的过程。Alice 和Bob 待传递的信息表示为

式中j,k=0,1,··· ,d-1,且

通信双方与控制方Charlie 共享的七粒子信道的表达式为

可以看出信息的传送需要控制者Charlie 的参与,整个系统的初态表示为

首先,Alice 和Bob 分别对拥有的部分粒子对(A,1),(B,4)和(B′,6)作广义贝尔基测量,粒子2 作广义单粒子测量,测量基表示为

式中n,m,j,l=0, 1, ··· ,d-1。通过计算,可以建立与(5)中态的联系,使用的酉矩阵为

可得

系统总态可以表示为

式中

现在Alice 对粒子对(A,1)执行广义贝尔基测量,Bob 对粒子对(B,4)执行广义贝尔基测量。假设Alice 和Bob 的测量结果分别是粒子2,3,B′,5,6,7 将会坍塌成Charlie 对粒子2 作广义单粒子测量,测量结果为其中l= 0, 1,··· ,d-1,k= 0, 1, ··· ,d-1。测量后粒子3 将会坍缩成Bob 对粒子对(B′,6)作广义贝尔基测量,测量结果为其中, 当m2与m1不相等时, 测量结果为0; 当m2=m1时, 粒子5、7 将会坍缩成

Bob 对粒子3 作酉操作Upq, 可以还原Alice 的待传态其中p=n0+lmodd,q=d-m0modd。Alice 对5 粒子和7 粒子作酉操作(U0t)5⊗(Ust)7, 可以还原Bob 的待传态其中s=n1+n2modd,t=d-m1modd。

以d=3 为例,此时Alice 和Bob 待传递的信息表示为

式中α0、α1、α2、β0、β1、β2满足|α0|2+|α1|2+|α2|2= 1, |β0|2+|β1|2+|β2|2= 1。通信双方与控制方Charlie 共享的七粒子信道的表达式为|φ〉123|φ〉4567,其中

整个系统的初态表示为|ψ〉A|ψ〉BB1|φ〉123|φ〉4567。

假设Alice 对粒子对(A,1)作|ψ01〉测量,Bob 对粒子对(B′,4)作|ψ11〉测量,对粒子对(B′,6)作|ψ21〉测量,得到的结果为Charlie 对粒子2 做|ψ0〉测量,计算可得[(α0|1〉+α1|2〉+α2|0〉)3/27]⊗(β0|11〉+β1|22〉+β2|00〉)57。

然后Bob 对粒子3 作U02变换,Alice 对拥有的粒子5 与粒子7 作U02变换,得到表达式:[(α0|0〉+α1|1〉+α2|2〉)3/27]⊗(β0|00〉+β1|11〉+β2|22〉)57。Alice 和Bob 根据获得的信息对粒子做相应幺正变换,即可得到对方待传的未知量子态,从而实现三方参与的受控量子双向传态。

假设对粒子对(B′,6)作|ψnm〉测量(m≠1),Bob 得到的测量结果为0,不能顺利将待传态传给Alice。

综上所述,说明该受控隐形传态方案在高维空间中可以成功实现,成功率为1/d。由于该方案成功率小于1,与期望成功率相差较大,使用部分基测量时导致测量结果为0,进而使得信息丢失,且控制者只能控制部分传输过程,故考虑对方案中部分粒子的测量进行优化。

为了进一步提高控制者的控制力[28],通过调整对粒子的分配,对原方案进行改进。具体地,将原方案中属于Bob 的粒子6 分配给Charlie,令Charlie 拥有粒子2 和粒子6。Alice 与Bob 的待传态以及对粒子对(A,1),(B,4)、粒子2 进行的测量不变,更换对粒子B′和粒子6 的测量,改为对粒子B′及粒子6 分别做广义单粒子测量(在改进后的方案中,Bob 将待传态传递给Alice 的过程也受控制者的控制)。粒子B′测量结果为粒子6 测量结果为此时粒子5 和7 将会坍缩成

Alice 对粒子5 和7 作相应的酉操作(U0t)5⊗(Ust)7, 从而还原Bob 的待传态其中s=n1+l1+l2modd,t=d-m1modd。

综上所述,优化后的不对称受控隐形传态方案可以实现完美传输。

2 结 论

提出一种三方参与的高维不对称量子双向受控隐形传态方案并进行优化,在Charlie 的监督协助下,通信双方Alice 和Bob 分别将一个高维单粒子态和一个高维二粒子态传送给对方。通过改变方案中部分粒子的测量,最终该方案实现了完美传态。此外,为了增强第三方Charlie 的控制力,改进后的方案中Charlie 对两条信道进行控制,提高了该方案的安全性。同时,本方案涉及的测量主要是广义贝尔基及单粒子测量,在物理上容易实现,进而增加了方案的物理可行性。