小损耗介质中非相干耦合光束的传输特性

王锦丽, 钟春晓, 任喜梅, 李蓉

(华东交通大学理工学院, 江西 南昌 330031)

0 引 言

光束在非线性介质中传输时,当其衍射效应和自聚焦效应达到平衡,可以实现光束的空间波包不随传输坐标而改变的“自陷”传输[1-3],此时光束可称为空间光孤子。空间光孤子理论是实现光控光技术的基本原理之一,基于孤子之间的传输特性以及相互作用,改变空间孤子的孤子参量和选择介质的一些物理特性可以进行孤子的自控,进而实现全光操纵,这在全光计算、全光信息处理、全光网络以及量子测量等方面都有广阔的应用前景[4-6]。

近年来,人们对各种空间光孤子展开了大量研究[7-13],大部分的探讨基于介质无损耗情形,事实上,光束在介质中传输时不可避免地会存在损耗,研究损耗对孤子的传输特性和孤子间的相互作用产生的影响对信号处理及全关开关的应用研究能提供理论参考[14-16]。本文用变分法探讨了存在介质损耗时平板波导中两束中心重合的非相干光束的传输规律,得到了与变分参数有关的一组常微分方程,用解析法描述了传输过程中光束的振幅、间距、相位等参数的演化特性。在此基础上,导出了两孤子相互作用的势函数,讨论了损耗对非相干耦合空间光孤子对相互作用的影响。

1 耦合非线性薛定谔方程(CNLS)的变分描述

在平板波导中传播的两束非相干自陷而形成耦合空间孤子对,考虑介质损耗,孤子对的传输可由耦合非线性薛定谔方程(CNLS)[17]

进行描述,方程中的ψn(n= 1,2)、z、x分别表示两孤子的归一化包络函数、传输距离和横向坐标,Γ 为传输损耗系数,i 为虚数,sign(n2)=±1,分别对应自聚焦介质和自散焦介质,B=1 为两孤子的非相干耦合系数。此处讨论自聚焦介质,sign(n2)=1,方程(1)一般不可积。

由变分原理,方程(1)所描述的系统对应的拉格朗日密度可以表示为

式中

即为方程(1)而获得验证。

对方程(1)取尝试解

式中ηn、Δn、kn、φn(n=1,2)分别为两孤子的振幅、中心距离、传播速度和相对相位,它们都是传输距离z的函数。将(4)式代入(2)式,并定义平均拉格朗日密度

联立(2)～(5)式,计算得到含损耗和耦合非相干作用的平均拉格朗日密度为

式中yi表示ηn、Δn、kn、φn等参数。将(6)式代入(7)式即可分别得到孤子参数ηn、Δn、kn、φn随传输距离z变化的演化方程组。先由yi=φn,得

将(6)式代入(8)式计算得到

表明由于损耗的存在,两空间光孤子的振幅随传输距离呈指数型衰减。为便于讨论两孤子间的相互作用特性,令

式中u、υ 分别表示分离损耗项后两孤子的包络函数,则方程(1)可改写为

方程(11)相应的平均拉格朗日密度可表示为

对方程(11)取尝试解

式中ηm、Δm、km、 φm(m=u,υ)分别为两孤子的振幅、中心距离、传播速度和相对相位,它们都是传输距离z的函数。将(13)式代入平均拉格朗日密度〈L′〉,并由约化的变分原理代入欧拉方程,导出传输过程中孤子各参数的演化方程

式中

2 空间光孤子对动力学研究

为便于分析,考虑对称传输的两孤子

其来自x轴反演下方程(11)的不变性。(18)式代入(15)式得到

对(19)式求导,并利用(14)式得

(20)式可以进一步写为

由相互作用势能(23)式,可以得到两空间孤子间相互作用力

(18)式代入(14)式得到

由(9)式可见,传输过程中介质损耗将造成孤子对的振幅随传输距离不断衰减,如果传播距离过长最终可能导致孤子对的变形崩溃。而(25)式表明,孤子的相位随传输距离z的变化率dφ/dz同时受到振幅、介质损耗、非相干相互作用项的影响。图1 为dφ/dz随Δ 的变化曲线,由图可见在Δ ＜4 时相位变化率较大,相位变化明显;而当Δ 继续增大时,相位变化率逐渐趋于平稳,这说明两孤子间靠得越近,相互作用对相位的影响就越大。对比图1 中的两条曲线,可以发现介质损耗减慢了相位变化的速度。

图1 dφ/dz 随Δ 的变化曲线(η=1)Fig.1 Variation of dφ/dz versus Δ with η=1

由(21)、(22)式可见,两孤子的相互作用方式可以看成是两粒子在势能作用下的相对运动,相互作用势能受介质损耗的影响,随传输距离呈指数型衰减;同时,相互作用势能随孤子间距变化而变化: 当Δ 为小量,即两孤子相距较近时

当Δ →∞,即两孤子相距较远时

图2 为由(24)式得到的空间光孤子间相互作用力F随孤子间距Δ 的变化曲线。由图可见,相互作用力先增大后减小,在孤子间距Δ 等于1 附近达到最大值,即此间距为临界值,孤子间吸引力达到最强;当Δ 继续增大,相互作用减弱;当Δ ＞5 时,两孤子会互不干扰的独立传输。对比图2 中的三条曲线,可见介质损耗使得孤子间的相互作用力显著减小。

图2 F 随Δ 的变化曲线(η=1)Fig.2 Variation of F versus Δ with η=1

3 结 论

探讨了考虑介质损耗时两束非相干耦合光束在自聚焦介质中的传播特性。研究发现,损耗将造成孤子对在传输过程中振幅随传输距离不断衰减,如果传播距离过长,最终可能导致孤子对的变形崩溃;孤子间距离较小时,相互作用对相位的影响较大,同时介质损耗减慢了相位随传输距离的变化速度;相互作用势能随孤子间距变化而变化,介质损耗会使相互作用势能呈指数型衰减;介质损耗会显著减弱孤子间相互作用力,在孤子间距Δ=1 附近作用力达到临界值,此时孤子间吸引力最强,继续增大孤子间距,相互作用减弱,而当孤子间距大于5 时,两孤子会互不干扰地独立传输。