适应于可再生能源接入下配电网极限线损的计算方法

朱 玥, 顾 洁, 王春义, 牟 宏,崔国柱, 李 煜, 金之俭

(1. 上海交通大学电子信息与电气工程学院大数据工程技术研究中心, 上海 200240;2．国网山东省电力公司发展策划部, 山东 济南 250001;3．国网山东省电力公司临沂供电公司, 山东 临沂 276000)

线损率是衡量电网运行经济技术性的重要综合性指标. 近年来, 随着可再生能源的快速发展, 大量分布式电源开始接入中压配电网, 会对配电网潮流分布产生显著影响, 导致配电网线损与分布式电源接入前有较大差异[1-2], 为配电网线损理论的计算、线损的量测与考核标准的制定等带来困难.

极限线损计算是研究电网运行参数在一定条件下变化的理论线损极限值, 即线损波动的上下界. 由于在计算配电网线损时会面临配电网分支多、元件多、计量不全等诸多不利因素[3-5], 故本工作主要关注在一段时间内配电网的极限线损变化特点, 分析电网公司线损现状,判别是否存在异常线损, 为科学制定降损目标提供理论依据.

国内学者针对传统配电网的极限线损问题已有部分研究成果, 这些成果大多从线损的物理模型入手, 考虑负荷曲线变化对极限线损的影响. 张银等[6]提出了一种基于迭代拟合算法的中压配电网极限线损计算方法, 通过迭代计算得到分段线路的损耗; 王兴华[7]结合低压配电网理论线损计算特点, 通过研究台区变压器负荷曲线变化的极限情况来计算低压配电网线损上下限; 张祥华[8]则提出利用线路首端最大电流约束, 求取最大变压器负荷同时系数以考虑负荷同时率对线损影响. 现有的极限线损研究对负荷曲线波动约束的考虑较少, 对含分布式电源接入的配电网也尚未有针对性研究.

传统的线损计算方法都是在确定性的潮流计算基础上完成的, 所得的线损结果也是确定值. 而随机潮流可计算状态变量的概率密度函数和累积分布函数, 这与极限线损的思路相吻合[9-11].

同时, 针对系统中存在的各种不确定性因素, 如果通过随机抽样方法对各种随机波动进行模拟计算, 则所需的计算耗时太长, 而不适用于大规模电网[12-15].

因此, 本工作提出了一种基于半不变量的配电网极限线损计算模型, 以实现含可再生能源配电网极限线损的快速计算. 利用配电网负荷与分布式电源出力模型推导了其半不变量的计算方法, 并用线性化的潮流方程计算配电网状态变量与线损的半不变量, 通过Gram-Charlier(GC)级数展开求解各状态变量与极限线损的概率密度函数与累积分布函数, 并以IEEE34 节点算例对所提出的模型进行了验证.

1 半不变量的性质与相关计算

分布式电源的出力间歇性、波动性及负荷的随机变化会导致配电网的潮流出现很大的不确定性, 线损也会呈现出随机波动的特点. 因此, 为描述极限线损的随机波动, 采用随机潮流方法对配电网运行参数及线损进行计算. 在随机潮流的计算中, 卷积计算往往会占用大部分的计算时间, 本工作利用半不变量法进行随机变量间的卷积运算, 能加快计算速度, 实现大规模配电网潮流与极限线损的计算分析.

1.1 半不变量的定义及相关性质

半不变量为随机变量的一种数字特征, 是数理统计与概率论中的一个重要概念. 其定义如下.

设F(x)为随机变量x的分布函数,t为实数且函数在(-∞, +∞)关于F(x)可积. 实变量t对应的F(x)分布的特征函数为

取该特征函数的自然对数, 并在t=0 处取小范围邻域内的麦克劳林级数, 则有

半不变量具有可加性, 即2 个独立随机变量之和的各阶半不变量等于2 个变量的各阶半不变量之和, 这是半不变量的重要性质, 也是半不变量法简化计算的关键.

1.2 矩与中心矩

已知某随机变量的概率分布, 即可计算该随机变量的各阶矩与中心矩. 本工作给出了连续型随机变量的矩与中心矩的求取方法, 离散性随机变量的矩与中心矩可利用类似方法求取.

对于连续随机变量而言, 假设连续随机变量x的概率密度函数为f(x), 则其v阶矩为

当v=1 时, 式(3)所得为随机变量x的1 阶矩, 即随机变量的期望值为

进一步, 依据期望值可以求解随机变量x的各阶中心矩为

1.3 半不变量的计算

与随机变量的各阶矩一样, 半不变量也是随机变量的一种数字特征. 各阶半不变量可以由相同阶次以及更低阶次的各阶矩求得, 随机变量的半不变量与各阶矩的关系如下所示. 一般情况下, 7 阶半不变量即可满足计算精度要求:

式中:γv为随机变量的v阶半不变量;αv为随机变量的v阶矩.

此外, 随机变量的各阶中心矩也可以由该随机变量的半不变量计算得到. 由半不变量求得各阶中心矩的转换关系式:

式中:β1,β2,··· ,β7为随机变量各阶中心矩;γ1,γ2,··· ,γ7为随机变量的各阶半不变量.

2 基于半不变量的随机潮流与线损计算

随机潮流是在确定性的线性潮流方程的计算基础上衍生而来的, 利用卷积计算各状态变量的概率密度函数和累积分布函数, 进而得到节点电压与支路电流等参数. 与传统潮流计算相比, 随机潮流与电力系统动态变化的特性更加吻合.

2.1 电源出力的半不变量

2.1.1 常规发电机出力的半不变量

常规发电机输出功率的概率分布被认为是多状态的离散分布[16]. 如果已知发电机各出力状态的概率, 则发电机出力的各阶矩为

式中:αv为发电机出力的各阶矩;Cs为第s种发电机出力状态;ps为此出力状态的出现概率;Ns为发电机出力状态数. 这里,ps、Ns可由发电机台数及停运概率计算得到.

2.1.2 风力发电机出力的半不变量

风速自身的不确定性会导致风力发电机的功率输出具有一定的随机性. 因此, 要确立风力发电机的输出功率模型, 首先要得到风速的概率分布模型. Weibull 分布函数是目前认可度最高和应用最为广泛的, 用以描述某地区风速分布规律的密度函数式:

式中:k为Weibull 分布中的形状指数, 用以显示风力分布特性的形状系数;c为Weibull 分布中的规模指数, 显示该地区平均风速的规模系数.

利用历史统计数据可以得到风速平均值和方差, 并在此基础上计算风速Weibull 分布的参数k和c, 以得到风力发电机出力的随机分布.

除最典型的Weibull 分布外, 3 参数Weibull 分布在分析高风速区域的风速概率分布时精度更高[17]. 3 参数Weibull 分布式为

由分布函数可推导得到3 参数Weibull 分布的特征函数:

式中:r为段内实际日照强度; Γ 为Gamma 函数.

进一步地, 可利用特征函数计算3 参数Weibull 分布的各阶矩, 基于特征函数和矩的关系推导得到3 参数Weibull 分布的v阶矩:

在此基础上, 可求得风力发电机有功出力的各阶半不变量. 当风力发电机恒功率因数运行时, 无功输出功率与有功功率成正比, 无功出力的各阶半不变量可在有功对应的半不变量基础上计算得到.

2.1.3 光伏发电系统输出功率的半不变量

由于光伏电池的输出功率直接受日照强度变动的影响, 而日照具有很强的波动性和随机性, 使得光伏电池输出呈现出较大的随机性, 因此研究光伏出力的半不变量需建立日照强度的概率分布模型. 历史数据表明, 在一定时间段内太阳光照强度可近似看作Beta 分布, 其分布函数为

式中:rmax为此段内的最大日照强度;α和β为Beta 分布的形状参数.

对于光伏发电系统, 由统计得到的日照强度平均值及方差可以计算出日照强度Beta 分布形状的参数α和β, 得到光伏发电系统出力的随机分布. Beta 分布的各阶矩可以由特征函数和矩的关系推导出, Beta 分布v阶矩的表达式为

光伏发电系统出力的各阶半不变量可由半不变量和各阶矩的关系计算得到.

2.2 负荷的半不变量

对于各节点负荷而言, 其随机性波动是由负荷的预测与量测误差或负荷的随机波动引起的. 统计数据表明, 此随机波动可认为是正态分布的随机变量. 对于正态分布的负荷功率,其1 阶半不变量为负荷功率的期望值, 2 阶半不变量为此正态分布的方差, 3～7 阶半不变量为0.

节点注入功率的随机波动主要由节点负荷和发电机出力这2 个部分随机因素组成, 利用半不变量的可加性, 各节点注入功率的各阶半不变量即为对应节点发电机功率的半不变量和该节点负荷功率的半不变量之和.

2.3 线性化的潮流方程

为了便于半不变量的相关计算, 需要采用线性化的潮流方程. 电力系统中的2 组非线性方程可以表示为

式中:Y、X、Z分别为各节点注入功率、电压和支路潮流的状态向量;g(X)为计算节点电压的方程组;h(X)为计算支路潮流的方程组.

在基准运行点处对潮流方程进行线性化处理, 得

式中:X0、Z0分别为节点电压、支路潮流在基准运行点处的状态向量;J0为牛拉法最后一次迭代得到的Jacobian 矩阵;S0和T0为灵敏度矩阵.

在得到各节点注入功率的半不变量后, 利用线性化的潮流方程与半不变量的可加性、齐次性, 可计算出系统节点电压与支路潮流的半不变量.

2.4 配电网线损的半不变量

依据线损的定义, 配电网线损功率可认为是注入功率与输出功率之差, 因此由全网注入/输出功率半不变量之差可求得配电网线损的各阶半不变量:

式中:γloss-k为配电网损耗的k阶半不变量;γi-in-k为第i个电源出力的k阶半不变量;n为配电网电源节点数;γj-out-k为第j个节点负荷的k阶半不变量;m为配电网负荷节点数.

3 Gram-Charlier 级数展开

由于半不变量不具备物理意义, 故为了便于分析, 还需计算各状态变量的概率密度函数或累积分布函数. 在已知某随机变量的各阶矩或各阶半不变量的条件下, 计算该随机变量分布的概率密度函数和累积分布函数有很多方法, 而在目前电力系统随机潮流计算中,Gram-Charlier 展开级数法是最为经典与常用的方法. Gram-Charlier 级数展开的核心思想是利用正态随机变量的各阶导数组成的级数对随机变量的分布函数与累积函数进行描述.

各阶中心矩可利用如式(7)所示的半不变量与中心矩转换关系得出, Gram-Charlier 级数可以由各阶中心矩计算得到:

则随机变量的概率密度函数和概率分布函数可以用如如下所示的Gram-Charlier 级数展开表示:

式中:F(x)为随机变量x的累积分布函数;f(x)为x的概率密度函数;Φ(x)为期望为0、标准差为1 的正态分布的分布函数;φ(x)为Φ(x)的概率密度函数,

4 基于半不变量的配电网极限线损计算模型

为解决由分布式电源出力及负荷波动引起的线损存在随机性的问题, 本工作基于随机潮流中的半不变量法建立极限线损的计算模型. 推导负荷以及各类型分布式电源出力的半不变量计算公式, 得到各节点注入功率. 利用线性化的潮流方程对节点电压、随机潮流等状态变量的半不变量进行求解, 并进一步计算配电网线损的半不变量, 利用Gram-Charlier 级数展开得到配电网极限线损的分布与变化情况. 计算流程如图1 所示, 计算模型的实现步骤如下.

图1 基于半不变量的配电网极限线损计算流程Fig.1 Calculation process of limit line loss of distribution network based on semi-invariant

步骤1 输入配电网的相关数据, 包括线路拓扑与参数、发电机出力、负荷功率等常规潮流计算所需的数据, 以及发电机出力与负荷随机分布的相关参数, 例如对正态分布的期望值和方差等.

步骤2 用确定性潮流计算方法给出各随机分布都处于期望值情况下的潮流分布, 以求得各状态变量的基准值以及雅可比矩阵、灵敏度矩阵.

步骤3 计算各节点负荷以及风机、光伏等分布式电源的各阶矩, 并在此基础上求出各阶半不变量.

步骤4 根据半不变量的可加性, 将各节点负荷功率半不变量和分布式电源输出功率的半不变量相加作为各节点注入功率的各阶半不变量.

步骤5 由各节点的随机注入半不变量可以求出状态变量的各阶半不变量.

步骤6 由各发电机及分布式电源出力的半不变量以及负荷的半不变量, 可计算出配电网损耗的半不变量.

步骤7 用Gram-Charlier 级数展开公式对各随机变量的概率密度函数和累积分布函数进行求解.

步骤8 得到极限线损的分布曲线之后, 设定置信区间, 得到极限线损波动的最大、最小值.

5 算例分析

5.1 算例说明

采用IEEE34 节点算例对本工作提出的基于半不变量的配电网极限线损计算模型进行验证. 节点拓扑结构如图2 所示.

图2 IEEE34 系统拓扑结构Fig.2 Topology of system IEEE34

IEEE34 节点辐射形配电系统的基准电压VB 为24.9 kV, 基准容量为1 MW, 节点1 为平衡节点, 节点电压为1.03 p.u., 各节点负荷的波动标准差为30%. 算例系统的基准状态数据及参数均参考文献[18], 在节点34 接入额定容量为0.8 MW 的光伏电源, 共800 个光伏组件, 每个组件面积为2 m2, 光电效率为13%. 本算例设定光伏电源处已进行无功补偿, 不从电网吸收无功.

以某城市7 月某天的光照强度作为样本, 计算得到该地的光照强度Beta 函数的形状参数分别为α= 0.679 9,β= 1.778 7, 分布式电源出力的半不变量如表1 所示. 光伏电源的出力一阶半不变量即为出力期望0.652 0 MW.

表1 分布式电源出力的各阶半不变量Table 1 Photovoltaic power output semi-invariant of different orders

5.2 结果分析

5.2.1 分布式电源接入影响分析

应用本工作提出的基于半不变量的潮流计算对分布式电源接入前后配电网的各状态变量及线损进行计算, 分析分布式电源接入对线路潮流及损耗的影响, 计算所得各状态变量的均值与方差如表2 所示.

表2 各状态变量均值与方差Table 2 Mean values and variances of each state variable

图3 为分布式电源接入前后节点34 的电压概率密度曲线(图中, DG(distributed generation)表示为分布式发电装置). 由图可知, 分布式电源接入后, 节点电压能够有所提升, 且由于分布式电源出力的不确定性, 增大了节点电压的不确定性, 电压的波动范围增大.

图3 分布式电源接入前后节点34 电压概率密度曲线Fig.3 Voltage probability density curves of node 34 before and after distributed power access

图4 为分布式光伏接入前后线路32～34 的有功概率密度曲线. 由图可知, 分布式电源接入前线路潮流方向始终由节点32 流向节点34. 而在分布式电源接入后, 由于分布式电源的出力波动, 故线路潮流方向出现不确定性, 当分布式电源出力大于节点34 的负荷时, 潮流出现反向,且潮流的变化范围显著增大.

图4 分布式电源接入前后线路32～34 有功概率密度曲线Fig.4 Active probability density curves of line 32～34 before and after distributed power access

图5 为分布式光伏接入前后线路1～2 的有功功率概率密度曲线. 由图可知, 在分布式电源接入后, 线路潮流发生变化, 部分线路负荷由分布式电源供电, 由线路首端上级变压器提供的功率相应减少. 同时, 分布式电源出力的不确定性同样会使线路首端的功率波动增大, 但是由于首端线路上的总功率较大, 故与接入点附近线路相比, 分布式电源接入带来的影响较小.

图5 分布式电源接入前后线路1～2 的有功概率密度曲线Fig.5 Active probability density curves of line 1～2 before and after distributed power access

图6 为分布式光伏接入前后线路总线损功率的概率密度曲线. 由图可知, 分布式电源接入后, 由于线路潮流发生改变, 线路的线损功率发生较大变化. 由于分布式电源出力不确定, 故配电网潮流同样具有很大的不确定性, 线损的变化范围随之增大.

图6 分布式光伏接入前后线路总线损功率的概率密度曲线Fig.6 Probability density curves of line loss power before and after distributed photovoltaic access

分布式电源与负荷均具有不确定性, 分布式电源接入后配电网线损功率的变化需由分布式电源出力与负荷的匹配度、线路拓扑及网架参数、分布式电源接入位置等因素共同决定. 在本算例中, 由于分布式电源接入在线路末端, 且分布式电源接入容量比配电网总负荷小, 因此线损功率大概率减小.

5.2.2 半不变量法与蒙特卡洛法计算结果比较

为验证本模型的计算精度, 以及与蒙特卡洛模拟法相比在计算速度方面的差距, 利用蒙特卡洛模拟法(N=5 000)对分布式电源接入后的配电网潮流进行计算. 配电网极限线损计算结果如图7 所示, 2 种方法极限线损计算结果及计算用时如表3 所示.

表3 2 种方法计算结果对比Table 3 Comparison of two methods

图7 极限线损计算结果对比Fig.7 Limit line loss calculation result comparison

由图可知, 半不变量法与蒙特卡洛模拟法计算所得的配电网各状态变量及线损结果差距很小, 本工作所提出的基于半不变量的极限线损计算模型计算精度可满足电力系统线损计算的需求. 在计算精度近似的条件下, 半不变量法能较大程度地减少计算所需时间, 更适用于大规模配电网的极限线损计算.

6 结 论

本工作利用随机潮流中的半不变量法建立了含分布式电源配电网极限线损计算模型, 并采用表征节点测试算例对模型进行了验证.

(1) 由配电网负荷与分布式电源出力模型推导了其半不变量的计算方法. 利用随机潮流的计算思路计算配电网潮流, 通过Gram-Charlier 级数展开求解各状态变量的概率密度函数与累积分布函数, 并基于半不变量提出了一种适用于大规模配电网的极限线损计算模型.

(2) 利用IEEE34 节点标准测试系统, 分析了分布式光伏接入配电网不同节点后, 对配电网状态变量造成不同的影响, 由于分布式电源出力不确定, 故线损的变化范围随之增大.

(3) 将半不变量法与蒙特卡洛法模拟得到的极限线损结果进行比较, 本工作提出的半不变量法的计算精度提高了9%, 蒙特卡洛法模拟计算用时38.348 4 s, 而半不变量法的计算时间为0.968 4 s, 较大程度地减少了计算所需时间, 故更适用于大规模配电网的极限线损计算.