新课程背景下概率与统计的变式教学探析

李 健

(江苏省外国语学校 215104)

1 问题提出

正如美国科学院院士C．R．劳所说:“在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计”，步入大数据时代以来，社会、经济、科技等领域的发展与数学尤其是概率统计学的研究和应用实现了深度融合．与此同时，《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称《课标》)也对概率与统计的学科价值和教育价值进行了深度挖掘，并对高中数学教学提出了新的要求[1]．然而笔者注意到，“概率和统计”——这个“独具个性”的数学分支——虽然成为了新课程体系中一个突出的独立主题，但在目前实际教学中其概念内涵和学科本质往往会被忽视，甚至存在“机械记忆”的现象，这有悖于新课程提出的“为学生的可持续性发展和终身学习创造条件”的要求．基于此，笔者结合教学实际，希冀借助变式教学这一有效途径进行分析和探讨，在开展概率统计教学时逐步理解和落实新课程理念．

2 “概率与统计”的新课程背景简析

2.1 对学科内容要求的解读

作为新课程体系中的“四大主线”之一，“概率与统计”贯穿于“必修”、“选择性必修”以及“选修”三个阶段的课程中，其中，“必修”和“选择性必修”涵盖了“计数原理”、“概率”、“统计”3个模块5个单元的内容(详见表1)．相比较2003年颁布的《课标(实验)》而言，《课标》主要有三个方面的变化或调整，一是在结构调整上，主要体现在“随机事件的独立性”由选择性必修调整至必修，而“变量的相关性”则由必修调整到选择性必修；二是在内容变化上，主要集中在必修课程内“随机事件和概率”以及“抽样”两个知识点中；三是在教学要求上，更加强调了“古典概型”的作用以及对“统计本质”的理解[2]．这些变化和调整恰好为变式教学的实施提供了可操作空间．

2.2 从核心素养的视域分析

《课标》对该主题的学业要求是重点提升“数据分析”、“数学建模”、“逻辑推理”、“数学运算”和“数学抽象”等5项数学学科素养(详见表1)．不难看出，这5项学科素养是按照关联度“从高到低”的顺序排列的．作为统计学的核心内容，“数据分析”必然成为概率统计学习过程中所逐步形成的最关键能力；而在《课标》中，“实例”作为高频词在本主题中出现了高达20次，这充分说明了概率和统计模型是落实开展数学建模学习活动的重要载体[3]．所以，在日常教学中，我们要面向实际背景，让学生学会从数据思维的角度去发现、提出、分析和解决问题，即在概率统计的课程教学中，重点聚焦“数据分析”、“数学建模”这两项数学学科核心素养的形成与发展，同时兼顾“逻辑推理”、“数学运算”和“数学抽象”三项素养的渗透与培养，帮助学生逐步提升“四能”，把握数学本质．

表1

3 变式教学的案例实施探析

3.1 通过“概念性变式”多维度认知概念内涵

对核心概念内涵的理解是建构知识体系的关键，《课标》基于学生已有的知识储备，增设了“同逻辑、类属性”的概念，让学生自发地将旧的知识与新的概念有效地拼接与融合，促进学生知识的纵向迁移和多角度认知，动态地对体系中的核心概念加以深度理解．这本质上就是“概念性变式”，即“用不同形式的直观材料或具体事例说明概念的本质属性, 或变换同类事物的非本质特征以突出概念的本质特征[4]．”

案例1《课标》增加了新概念——“样本点及有限样本空间”，它的引入让我们可以用集合的语言去刻画“事件的关系及运算”，从而能够从集合的角度去审视概率问题．以2019年人教版《普通高中教科书·数学·必修·第二册》(简称《必修二》)P230-231的内容为例，正是利用了学生所熟悉的“集合”的相关知识，来类化新增内容——“事件的关系和运算”的概念，同时借助Venn图从“数和形”的角度帮助学生深度认知其概念内涵．这既是“化归”和“数形结合”思想方法的体现，也是“概念性变式”实效的彰显．

图1

概念的内涵与外延对立且统一[4]，即概念有了明确的内涵则其外延就有了清晰的界定，反之亦然．所以深化概念可以通过厘清与其“周边概念”的界限来达到突出其本质属性的目的．

案例2《课标》将“古典概型”列为概率教学体系中的重要概念，而作为古典概型问题必备特性的“等可能性”往往是学生的初识“盲点”，因此强化“在具体问题情境中判断样本点的等可能性”是教学重点，此处可借助生活中的实例——彩票中奖概率问题——设计一个对比性较强的“非概念”示例来进行概念性变式教学(详见表2)，再与《必修二》第236页例8的两个“思考”相衔接，归纳出求解古典概型问题的一般思路，达到深化理解“古典概型”内涵的目的．

表2

3.2 通过“过程性变式”多层次建构知识体系

《课标》对概率和统计的概念要求做了较大的调整，与其他模块相比较，并没有刻意强调对其概念的认知，取而代之的是强调在对相关知识的实践过程中感悟性质、掌握方法．在《必修二》中，对两个概念的描述主要以章首语中的概述为主，以概率为例，其中有两个显性的变化：一是“概率”的定义没有像以往教材一样设置在本章首节，而是以“有限样本空间”为起点进行了两节内容的铺垫，直到第三节“古典概型”才给出了明确定义；二是没有从“频率”的角度去诠释概率的定义，仅从“概率是对随机事件可能性大小的量化”这一层面进行了表述，是对章首语的呼应．而上述变化，正是教师在实施教学时需要调整的聚焦点，采用“过程性变式”有助于在概念辨析中揭示两者的区别与联系，更有助于在情景化中建构概率与统计的知识体系．

根据数学活动过程具有层次性的基本特征，“过程性变式”包含了深化认知的一系列策略与途径，旨在形成不同概念之间的层次关系或获得多种方法[4]．同作为量化随机现象规律性的两个概念，概率与统计在研究方向、推理方法和判断准则上均有差异(图2)[6]，针对这个特点，笔者设计了以“失踪的弹孔”为情境的过程性变式：

图2

案例3师：二战中，为了提高飞机的防御效能，在尽量减少对飞机机动性影响的前提下，美国军方决定在飞机最需要防护、受攻击概率最高的部位增加装甲，他们根据战斗后返程飞机各部位的弹孔分布，给相关的统计研究小组提供了如下数据(见表3)，如果你是小组成员，你会建议在飞机的哪个部位增加装甲呢？

表3

生：应该在弹孔出现频率最多的机身部位进行加固．

师：但是当时研究小组中的数学家亚伯拉罕·瓦尔德可不这么认为，他给出的建议是“加固装甲中弹频率最低的位置——引擎.”大家可以交流思考下，这是什么原因？(抛出变式情境，引导学生思考)

生：(讨论交流，思考探究)从概率学角度分析，飞机各部位中弹的几率应是均等的，然而实际出现这么大偏差，是因为这一统计数据源自于能够返航的“幸存者”．因此，我们可以得出结论——引擎中弹为致命伤，这些飞机无法返回导致了引擎上的弹孔大量“失踪”．

师：很好！从上述事例中你感悟到什么了吗？

生：概率学中的结论是确定的理论值，它对统计学的应用有着很重要的判断和指导作用．

师：(因势利导，实施变式)很好！大家都知道在统计学中，我们常用“频率”来度量随机现象变化规律，例如表3中数据就可以转化为“飞机各部位的中弹频率”，大家不妨结合频率的概念谈一谈统计对概率的研究有着怎样的意义？

生：统计出来的频率是具有随机性的实验值，通过大量重复的实验可以用频率去估计概率，例如著名的“抛硬币实验”就很好地说明了“频率的稳定值可以作为概率的近似值”的基本事实．

师：非常好！所以我们可以通过统计学中得出的数据，帮助我们建立相应的概率模型或者验证某个概率模型是否合理．

由此可见，“过程性变式”中所蕴含的动态思辨更有利于学生自发地厘清概率与统计之间的“血缘关系”，可以更有效地帮助学生在形成概念的过程中构建知识体系．

3.3 通过“解题型变式”多途径把握学科本质

近几年的高考概率统计题中，愈发明显地突出理论联系实际的导向[5]．情景创设更趋于真实、模型设计更加精致、题型设置也更为多元，这充分体现了高考的导向——概率统计的解题教学应侧重于现实意义下的对知识的理解掌握．例如《课标》明确要求通过具体的实例了解、掌握“超几何分布”和“二项分布”，而学生在刚接触“超几何分布”时，往往会与之前所学的“二项分布”混淆，我们可设置下述“解题型变式”，以帮助学生将两种分布融合到现实情境中辨析异同、感悟内涵．

案例4(2021苏州高三期初调研第18题)随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播+电商的模式正在全球范围内掀起热潮．目前，国际上Amazon、Rakuten等电商平台和以Facebook为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家．根据中研产业研究院《2020—2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2020年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才达到2019年同期的2.4倍；2020年“6．18”期间，带货主播和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍．针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(附表略)

对服务好评对服务不满意合计对商品好评80对商品不满意10合计200

(2)(原题)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望．

(变式)以“评价系统中选出的200次成功交易”作为研究对象，从中随机抽取3次交易，记这3次交易中对商品和服务全为好评的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

师：(一题多变，比对辨析)请大家针对第2问思考下原题与变式的题设有何异同之处．

师：(引导探究，把握本质)很好！不同的统计背景对应不同的概率分布，从上述问题中我们可以解读出“取后是否放回”、“总体容量大小”以及“是否出现‘用统计数据替代’的表述”是区分“二项分布”和“超几何分布”的一些关键点．那为何上述两种不同的概率分布期望值却“殊途同归”？是巧合吗？你如何理解的？

师：(回归教材，多题一解)很不错的解题思路！事实上该方法还可以推出更为一般性的结论，但需要严格的演绎推理去论证，请大家研读教材(人教A版《选择性必修3》)78页至79页“探究”的内容，深度理解二者的期望为何相等，同时利用上述解决问题的思路去研究例6，理论联系实际，深层次理解“超几何分布”和“二项分布”的概念本质．

由该例我们不难窥出，“一题多变”、“一题多解”和“多题一解”等常用的“解题型变式”教学手段，是引导学生分析、解决问题并最终把握数学本质的重要研究方法．

4 结束语

长期的教学实践证明了“唯‘变’不变”的真理，历经几次教改，变式教学一直都扮演着数学教学“催化剂”的重要角色，在概率与统计的学习中，它既是指向数学概念深度学习的有效手段，也是指向培养学生核心素养的重要途径．随着这一轮教改逐步走入深水区，变式教学也必将为“加快教学纵深发展、促进学生多向思维”提供更强大的助力．