数学问题解答

2021年11月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(河南省周口师范学院计算机科学与技术学院 李居之 孙文雪 4660011)

>sinA+sinB+sinC

>sinA+sinB+sinC

>sinA+sinB+sinC，

=sinA+sinB+sinC,

三式相加即有

2632如图，过圆O外一点Q作圆的切线，切点为点P,N，过点Q作圆的割线交圆于点A,C，过点A作直径ND的垂线交直线CN于点B，直线PN交线段AB于点M，求证：AM=MB.

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

证明由题意知QN⊥ND,AB⊥ND，则AB∥QN.设直线AC交直线PN于点E，

在△PQN中，QP=QN，由斯特瓦特定理得

⟺QE2=QP2-AE·CE

⟺QE2=QA·QC-AE·CE;

⟺QA·QC-AE·QC=QA·QE

⟺QA·QC-AE·QC=(QE-AE)·QE

⟺QA·QC+AE(QE-QC)=QE2

⟺QA·QC-AE·CE=QE2;

故AM=MB.

2633如图，两同心圆上任作两割线AXYB和MPQN，求证：AB2+PQ2=MN2+XY2.

(华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 430079；常州九章教育科技有限公司 曹洪洋 213002)

证明首先证明AX·AY=MP·MQ.设直线AO交小圆于S、T，则根据圆幂定理AX·AY=AS·AT，也就是两半径之差乘以两半径之和，是一个定值，同理MP·MQ也等于这一定值，所以AX·AY=MP·MQ.

设XY的中点为K，显然K也是AB中点，于是AX=AK-XK=BK-YK=BY.

AB2+PQ2=(2AX+XY)2+PQ2

=4AX(AX+XY)+XY2+PQ2

=4AX·AY+XY2+PQ2，

同理MN2+XY2=4MP·MQ+XY2+PQ2，

命题得证.

2634求证：关于x、y的方程2x2+y2=2020没有正整数解.

(山东省临清市北门里街颐清园小区19号楼7单元2楼西户 刘继征 252600)

证明由已知方程得y只能为偶数，

不妨设y=2y1,y1∈N*，

这样x必为偶数，设x=2x1,

则y1为奇数，设y1=2y2-1，

可知x1必为偶数，设x1=2x2，代入上式，

解得0

x2取1，2,3,4,5,6,7，

经检验，当x2取上述整数值时，

因此关于x、y的方程2x2+y2=2020没有正整数解.

2635如图1，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，AE、AF的延长线分别与DC、BC的延长线交于G、H，GR⊥EF于R,HS⊥EF于S,连接AR、AS.∠RAS=90°,△ARS的面积等于正方形ABCD的面积.则∠EAF=45°.

(江苏省无锡市硕放中学 邹黎明 214142)

证明如图，作AN⊥RS于N,因为∠RAS=90°，所以AN2=RN·NS.

记AB=a,AN=p·RN=q,NS=r,

所以p2=qr,因为GR⊥RS,得到GR∥AN,

因为BC∥AD,

得到判别式Δ≥0，

因为 ∠ECG=∠ERG=90°，

所以EG2=ER2+RG2=EC2+CG2,RG≤CG,

同理r≥a,得到qr≥a2,p2≥a2,p≥a，

所以p=a.所以AN=AD,AF=AF,所以Rt△ANF≌Rt△ADF,所以∠NAF=∠FAD,同理∠NAE=∠BAE,所以∠EAF=45°.

2021年12月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(浙江湖州市双林中学 李建潮 周秋斓 313012)

(北京师范大学附属实验中学 白玉娟 100032；北京市朝阳区郎各庄村21号 郭璋 100121)

2638在△ABC中,三边长为a,b,c,面积为Δ,且外接圆与内切圆半径分别为R,r,则

a2+b2+c2

(天津港职工培训中心 黄兆麟 300456)

2639如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且(CD·AB)2=2CA·AD·DB·BC.求证：CD平分∠ACB.

(江苏省溧阳市光华高级中学 钱德全 213300;江苏省溧阳市永平小学 张晓蔚 213333)

(江西省共青城市国科共青城实验学校 姜坤崇 332020)