领悟知识内涵 把握提高尺寸

钱淑华

【摘要】基本不等式是解决多元函数最值问题的有力工具.因为学生对此还存在模糊认识，所以笔者在复习课中设置典型例题，并加入变式训练，帮助学生学会观察和分析代数式的结构特征，引导学生归纳配凑定值的技巧，使学生更好地掌握使用基本不等式求多元函数最值的方法.

【关键词】多元函数的最值;配凑定值

一、基本情况

1.学情分析

授课的班级为四星级重点高中高一理科实验班，学生整体水平较高，大部分学生思维活跃而且严密，能很好地参与教学互动.

2.教学内容分析

（1）地位及作用

本节课是“基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）”的第三课时.在前两个课时中，学生已经探索并了解了基本不等式的证明过程，并能初步运用基本不等式求最值.本节课的目标定位是提升学生运用基本不等式解决多元函数最值问题的能力，加深对“一正”“二定”“三相等”的理解.

（2）教学重点、难点

重点：运用基本不等式求最值.

难点：配凑定值.

（3）设计思路

本节课从学生已有的基础知识和解题经验出发，通过典型例题的讲解引导学生归纳配凑定值的技巧，并在变式训练中让学生学会观察和分析代数式的结构特征.

二、教学过程

1.复习回顾，温故知新

师：在前两节课中，我们学习了基本不等式，它反映了两个正数的算术平均数与几何平均数之间的确定的不等关系.我们运用它求了哪两类最值问题呢？

生：基本不等式的内容是：设a>0，b>0，则a+b≥2ab，ab≤a+b22，当且仅当a=b时等号成立.所以，当ab为定值时，a+b有最小值，即积定和最小;当a+b为定值时，ab有最大值，即和定积最大.

师：非常好.今天我们运用基本不等式来解决一些初步的多元函数最值问题.

【设计意图】回顾前两课时的知识，指出运用基本不等式解决的两类最值问题，为接下来的例题教学指明方向.

2.典例精析，构建方法

例1 若x，y是正数，求x+12y2+y+12x2的最小值.

学生给出了以下几种解法：

法一：因为x，y是正数，所以x+12y2+y+12x2=x2+14x2+y2+14y2+xy+yx≥2x2·14x2+2y2·14y2+2xy·yx=4（当且仅当x=y=22时等号成立）.

法二：因为x，y是正数，所以x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x

=2（xy+14xy+1）≥2（2xy·14xy+1）=4（当且仅当x=y=22时等号成立）.

法三：因为x，y是正数，所以x+12y2+y+12x2≥2x·12y2+2y·12x2=2xy+2yx≥22xy·2yx=4（当且仅当x=y=22时等号成立）.

【设计意图】此题的切入面较宽，目的是让学生多角度地思考问题.从解题的过程来看，学生抓住了x+12y2+y+12x2的特点，用多种方式构造乘积为定值，可谓百花齐放.法一将各项重组，配凑了三对乘积为定值的式子，即x2与14x2，y2与14y2，xy与yx.法二和法三都是先用一次基本不等式將目标函数缩小为乘积形式，然后再配凑定值.这些解法也让学生明确：在多次运用基本不等式求最值时，只要保证每一次等号都能同时取到，那么就能取到最终的最值.

例2 已知a>0，b>0，a+b=1，求a+1ab+1b的最小值.

两位学生给出了不同的解法，结果也不一样.

生1：因为a>0，b>0，所以a+1ab+1b≥2a·1a·2b·1b=4.

生2：因为a>0，b>0，所以a+1ab+1b=ab+1ab+ba+ab≥ab+1ab+2，又因为1=a+b≥2ab（当且仅当a=b=12时等号成立），所以ab≤14，又函数y=x+1x在0，14上单调递减，所以当ab=14时，ab+1ab+2取得最小值，为254，所以当a=b=12时，a+1ab+1b取到的最小值为254.

师：这两种解法的结果不一样，大家怎么看呢？

生3：我认为生2的解法是对的，因为在他的解题过程中每一次等号都能同时取到，而生1的解法中，等号成立的条件是a=1a且b=1b，即a=b=1，这与条件a+b=1矛盾，所以a+1ab+1b取不到4.

师：思考得非常严谨！这道题提醒我们，在求多元函数最值时要时刻关注等号成立的条件.

【设计意图】这道例题既让学生明确配凑定值的方向性，又让学生在多种解法的辨别中认识到等号成立的重要性.从教学效果来看，学生普遍意识到在运用基本不等式求最值时要规范地书写解题过程.

例3 若x>0，y>0，z>0，求xy+yzx2+y2+z2的最大值.

学生的解法：因为x>0，y>0，z>0，

所以xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+y22+y22+z2≤xy+yz2x2·y22+2y22·z2=xy+yz2xy+2yz=22（当且仅当x=y2=z时等号成立）.

教师给出如下变式：若x>0，y>0，z>0，求2xy+yzx2+2y2+z2的最大值.

学生的解法：因为x>0，y>0，z>0，所以设2xy+yzx2+2y2+z2=2xy+yz（x2+λy2）+[（2-λ）y2+z2]≤2xy+yz2λxy+22-λyz，