线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用

庞峰

【摘要】矩阵是整个线性代数课程的基础，线性代数的很多概念和应用都离不开矩阵，而初等变换是矩阵运算中的最主要、最常见的一种运算，也是解决矩阵问题的一个基本方法，它几乎贯串线性代数的始终.鉴于矩阵初等变换的重要性，本文将对矩阵的初等变换应用于不同方面做一个归纳与总结，便于理清各知识点之间的内在联系，对掌握矩阵理论十分有帮助，同时，希望本论文的研究也会给相关的学者一些建议和思考.

【关键词】 矩阵理论的应用;线性代数;初等变换

【基金项目】课题名称：“金课”标准下的《线性代数》线上、线下混合式教学研究，课题编号：YJ202012，课题来源：2020山西警察学院院级教学改革创新项目重点课题

随着时代的发展，矩阵由最初的一种工具逐渐演变为一门数学分支——矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论及广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，已经被广泛地应用在了现代科技的各个领域之中.矩阵就是一个整齐排列的实数或复数的数块或者说集合，它本身没有任何运算的功能.正是初等变换赋予了矩阵变化的“魔力”，才把矩阵理论中的绝大部分内容有机地联系起来.由此可见，矩阵的初等变换在矩阵理论中起着举足轻重的作用，是其核心和精髓.通过初等变换将矩阵A转化为更为简单的矩阵B，然后利用矩阵B来对矩阵A进行研究，这已被公认为是一种方便、有效的途径.

我们通常所说的矩阵的位置变换就是将矩阵中的两行（或列）的位置进行对换，记作：RiRj或CiCj;其次是数乘变换：就是将矩阵的某一行（或列）乘一个不等于零的数k，记作：kRi或 kCi;最后是消去变换：就是将矩阵中的某一行（或列）的适当倍数加到另外的一行（列）上，记作：Ri+kRj 或Ci+kCj.以上三种变换统称为矩阵的初等变换.关于初等变换的重要结论：任何一个矩阵，通过有限可数次的初等变换都可以化成阶梯形，再进一步化为行最简形矩阵.这一结论保证了初等变换的可行性，同时也指明了变换的最终方向.

矩阵的初等变换有很多优点，如，它只涉及加减乘除四则基本运算，计算简单;化简过程有规律，算法很容易实现;初等变换表面上是一种等价变化，实质上却是矩阵乘法的可逆恒等运算，从而通过形式的转化实现恒等运算的本质;初等变换的化简过程灵活多样，因人而异，但结果却唯一，且保持矩阵的本质属性即矩阵的秩不变.总之，矩阵初等变换的实质是将问题化繁为简、化多为少、化大为小，并且保持事物的本质属性不变.我们要善于运用矩阵的初等变换这一有力工具来帮助我们达到解决矩阵问题的目的，并掌握矩阵初等变换的广泛应用.

一、求逆矩阵

逆矩阵的求解是矩阵理论中的一个十分重要的内容.对于一个方阵A，我们可以采用初等变换的方法来判断这个矩阵是否可逆，而且在可逆的情况下还可以求出其逆矩阵A-1.也就是先将原矩阵与同阶单位矩阵采用拼接的方式得到一个新矩阵，再对这个矩阵进行转化，遵循AB=BA=E（其中A為可逆矩阵，E为单位矩阵）的规则，以此来确定它的逆矩阵.如果在变换过程中，与A等价的矩阵无法变成E时，则A不可逆.具体形式如下：

（A|E）→…→初等行变换（E|A-1）或AE→…→初等列变换EA-1

求逆矩阵还可以采用伴随矩阵的方法进行求解.对于一个n阶方阵A，用伴随矩阵计算逆矩阵A-1，需要计算n2+1个行列式，计算量相当大，而且这n2+1个行列式要计算出值也非易事.相比之下，利用初等变换来计算逆矩阵就显得较为简便、实用、快捷.

二、解矩阵方程

对于矩阵方程，比矩阵的乘法运算更简单、实用，而且计算方便的方法即是初等变换的方法.

（1）形如AX=B的矩阵方程，由于A-1（A，B）=（E，A-1B），因此采用初等行变换很容易得出它的解X=A-1B.具体过程为：AB→…→初等行变换EA-1B.

（2）形如XA=B的矩阵方程，同理可得ABA-1=EBA-1

，可以采用矩阵的初等列变换进行求解，得出X=BA-1，具体过程为：

AE→…→初等列变换EBA-1.

（3）形如AXB=C的矩阵方程，可以参照（1）（2）两种基本形式，得出其解为X=A-1CB-1，具体过程为：

（A|C）→…→初等行变换（E|A-1C），BA-1C→…→初等列变换EA-1CB-1.

另外，对于其他变异形式的矩阵方程，可以先通过恒等变形转化为上述（1）或（2）的基本形式，再解之.

三、计算矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一种固有本质属性，是讨论矩阵问题、线性方程组的解的问题、向量组相关性、线性空间基等的重要依据，也是透过现象看本质的重要载体.一般矩阵用定义求其秩，需要从最高阶式子起一阶一阶地试验结果是否非零，显然偶然性很大，而且计算也比较烦琐.矩阵的秩有如下三个重要结论：（1）行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数;（2）矩阵的秩不随矩阵的初等变换而发生变化;（3）任何一个矩阵的行秩等于列秩.据此，我们把矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵后，非零行数目就是它的秩.这一方法大大方便了计算矩阵的秩，算法更为快捷和适用.

四、高斯消元法的应用

线性方程组作为数学方程组的一种，一般由未知数（一次）、系数、常数等组成.方程组同解变换的求解过程，实质上只是对未知量系数和常数项进行相应变化的过程.所以，透过现象看本质，求解实际上就是由方程组的未知量系数和常数项构成的增广矩阵进行初等变换的过程.它不仅能判断方程组解的各种具体情况，还可以有效地求出线性方程组的解.如果方程组存在解，那么可将其转化为行最简形矩阵，求出方程组Ax=b的解，这就是线性代数中的高斯消元法.具体过程如下：增广矩阵B=（Ab）初等行变换阶梯形结合秩，判断解的情况初等行变换最简形求出解

这一方法求解过程的关键正是矩阵的初等变换.值得强调的是，使用高斯消元的过程，只能使用初等行变换，而不能使用初等列变换，否则，就不是方程组的同解变换了.高斯消元法是解线性方程组最普适的一种方法，不管方程组中未知量的个数和方程个数是多少，也不管方程组解的情况怎样，对各种线性方程组都适用.而且，从计算量上说，该方法也要比Carmer法则优越得多，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度.

例如，a，b取何值时，非齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4=1，

x2-x3+2x4=1，

2x1+3x2+（a+2）x3+4x4=b+3，

3x1+5x2+x3+（a+8）x4=5，

（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多个解？有解时求出全部解.

解：用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，

B=（A，b）=1111101-12123a+24b+3351a+85～R3-2R1R4-3R11111101-12101a2b+102-2a+52

～R3-R2R4-2R21111101-12100a+10b000a+10

由此可知：

（1）当a≠-1时，R（A）=R（B）=未知量个数4，方程组有唯一解：

x1=-2ba+1，x2=a+b+1a+1，x3=ba+1，x4=0;

（2）当 a=-1，b≠0时，R（A）=2≠R（B）=3，方程组无解;

（3）当a=-1，b=0时，R（A）=R（B）=2<4，方程组有无穷多个解.

（c1，c2为任意常数）.

五、求方阵的特征值与特征向量

工程技术中的一些问题如振动问题、稳定性问题，常常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.矩阵A的特征值λ0是它的特征方程的根，对应λ0的全部特征向量p是齐次线性方程组的非零解，而对齐次线性方程组的非零解的讨论其实就是使用初等变换进行高斯消元的过程.

六、对称矩阵的对角化

对称矩阵是指元素以主對角线为对称轴对应相等的矩阵，由于其转置矩阵和自身相等而被称为对称矩阵.对称矩阵可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵作对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，即正交相似对角化.我们需要利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，比较简单且易理解，其具体的步骤是：（1）求A的特征值λ1，λ2，λ3，…，λn;（2）（A-λiE）X=0，求出A的特征向量;（3）将特征向量正交化;（4）将特征向量单位化得p1，p2，…，pn;（5）写出正交矩阵P=（p1，p2，…，pn）.我们只有合理选择方法，才能提高研究效率.

七、广义初等变换的使用

为了简便，我们需对大规模矩阵进行分块，使大矩阵的运算化分成几个小矩阵的运算.同样，对于分块矩阵，也可以把矩阵的每一个子块作为矩阵的一个基本元素，像普通矩阵一样进行位置变换、数乘变换和消去变换这三种基本变换，这被称为分块矩阵的广义初等变换.由于广义初等变换本身具有较好的性质，也是矩阵运算中极为重要的方法，可以有效地将疑难问题简单化，因此其成为广大学者日益关注的热点话题之一.

结束语：矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，因此矩阵是解决线性代数中线性方程组、向量空间、线性变换等问题最常用的方法.而初等变换作为矩阵理论的一条主线，不仅能够简化矩阵为阶梯形或最简形，而且作为矩阵理论中极其重要的一种运算，它是上述几类问题的基础与核心.因此，初等变换在线性代数中的应用十分广泛，只有真正掌握了这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中相对复杂的问题，以达到事半功倍的效果.

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