基于SMP准则的岩石统计损伤本构模型

冯清波，王明帅，江信东，贾 逸

(1.宁波宁大地基处理技术有限公司， 浙江 宁波 315211； 2.中国建筑西南勘察设计研究院有限公司， 成都 610052； 3.中国地质调查局 地质灾害防治技术中心， 成都 611734)

0 引 言

本构模型是岩石力学中的核心内容，近年来受到学者广泛关注[1～2]。Krajcinovic[3]、唐春安[4]和曹文贵[5]等国内外学者将统计学和损伤力学有机地结合，提出统计损伤本构模型并应用到岩土工程中，取得良好的成效。岩石是一种非均质、非线性的地质材料，构造运动、自然风化、水作用等因素使得岩石内部表现出微缺陷，导致岩石性能弱化，造成岩石性能劣化的微结构变化即为损伤[6]。

目前对岩石损伤本构关系研究已有较多成果。曹文贵等[5]、何志磊等[7]、Zhu等[8]、蒋维等[9]、黄海峰等[10]基于Lemaitre[11]应变等价性假说，假定了幂函数分布、Weibull分布、正态分布和Harris分布等概率密度函数来描述岩石微元强度并构建统计损伤本构模型。这类模型虽然具有良好的拟合效果，但是忽略了中间主应力对岩石变形破坏的影响。岩石在三维应力状态下，其变形破坏全过程受三向应力影响，忽略中间主应力会导致模拟计算出现偏差。鉴于此，笔者引入了考虑中间主应力的SMP强度准则，基于统计损伤理论，建立一种新的考虑中间主应力的统计损伤本构模型。通过该模型描述岩石变形破坏过程，为岩石变形破坏全过程的模拟预测及深层次认识提供参考。

1 统计损伤软化模型的建立

1.1 SMP准则

大量研究表明[12-13]，中间主应力会影响到岩体变形。传统Mohr-Coulomb准则是基于最大和最小主应力的二维摩擦准则，忽略了中间主应力的影响，由此引入考虑中间主应力的三维摩擦准则—SMP(松岗-中井)准则，其表达式为

式中：I1、I2、I3——应力张量第一、二、三不变量；

φ——内摩擦角。

式中，σ1、σ2和σ3为分别为最大、中间和最小主应力。

Satake等[14]、Mastuoka等[15]拓展该准则，使其同时适应非黏结性材料和黏结性材料，并提出黏结应力σ0=ccotφ的概念，

依据相关联流动法则，可得黏性材料SMP准则为

(1)

1.2 损伤变量的定义

根据Lemaitre[11]应变等价性假设，应力σ作用在受损、无损材料上产生的应变等价，如图1所示。

图1 应变等价示意Fig. 1 Strain equivalence schematic

由图1可见，有以下关系：

σ=σ′(1-D)，

(2)

式中：σ′——有效应力；

D——损伤变量。

假设岩石内部由n个受损微单元和N-n个无损微单元组成，则D可表示为

(3)

依据式(1)得到基于 SMP 准则的微元强度F表达式为

(4)

假定岩石屈服前服从Hooke定律，岩石内部微单元为线弹性单元，则有

(5)

式中：ε1——轴向应变；

μ——泊松比；

E——弹性模量。

假设岩石破坏概率为P[f(σ1,σ2,σ3)]，再结合式(4)、(5)有

(6)

将式(6)代入式(3)得到D为

(7)

将式(5)、(7)代入式(2)可得

(8)

式(8)即为文中基于SMP准则岩石统计损伤关系表达式。

1.3 模型建立

考虑到岩石内部微缺陷发展具有随机分布特性，故引入统计损伤理论。统计损伤理论中，应用较多的概率分布主要有Weibull分布、幂函数分布、正态分布等，其中Weibull分布由于其形式简练应用最为广泛，文中选取Weibull分布，其概率密度函数为

式中，m、F0——Weibull分布参数。

当某一荷载下，岩石内部已损微单元为

(9)

联立式(7)、(9)可得

(10)

将式(10)代入式(8)可得

(11)

式(11)即为文中基于SMP准则的统计损伤本构模型。其中

(12)

2 模型参数确定方法

2.1 参数m和F0

将式(12)代入式(11)并对应变求偏微分可得

(13)

假设岩石全应力-应变曲线的峰值点为b，引入峰值条件：

(14)

将式(14)代入式(13)可得

(15)

式中：ε1b——峰值应力对应的应变；

Fb——峰值点对应的F值。

变形式(11)可得：

(16)

式中，σ1b——峰值应力。

联立式(15)、(16)得

(17)

(18)

式(13)～(18)为参数m和F0的确定方法。由式(17)、(18)可看出，m通过E，μ，σ3，σ0，σ1b，ε1b确定，而F0的取值与m密切相关。

2.2 参数σ0

前文已经给出黏结应力σ0=ccotφ，仅需确定岩石抗剪强度指标黏聚力c和内摩擦角φ，即可得到σ0，c和φ通常可通过绘制不同围压状态下的莫尔圆，并作其公切线来求解，通过式(19)、(20)求取

(19)

(20)

式中：σc——最佳关系曲线在纵轴上的截距；

p——斜率。

3 模型验证及参数求解

3.1 常规三轴压缩实验

以某边坡英安岩为研究对象，通过YSJ岩石三轴试验机开展常规三轴压缩实验，围压设置为10、20和30 MPa，得到应力-应变曲线如图2所示。根据文献[16]，将岩石应力-应变曲线上近似直线段的斜率作为弹性模量，三种围压下的弹性模量E分别为330.77、486.67和509.09 MPa，实验确定μ为0.24。基于图2，以峰值应力为纵坐标、围压为横坐标的最佳关系曲线，如图3所示。

图2 应力-应变曲线Fig. 2 Stress-strain curves

图3 实验点最佳关系曲线Fig. 3 Best relation curves of test point

由图3可知，σc和p分别为78.67 MPa和3.15，再结合式(19)、(20)，计算得出英安岩的c和φ分别为22.16 MPa和31.22°，从而确定σ0为36.59 MPa。

3.2 模型验证及参数m和F0的确定

由所建模型对英安岩变形破坏全过程进行辨识，依据式(11)、(12)绘制理论值与实验值对比曲线，再引入文献[17]中未考虑中间主应力的统计损伤模型进行对比，模型参数如表1所示。模型辨识结果对比如图4所示。

表1 参数m和F0值

图4 模型辨识结果对比Fig. 4 Comparison of model identification results

对图4分析可得，未考虑中间主应力的统计损伤本构模型的辨识能力较差，平均相关系数R2为0.893 6，峰后阶段存在较大误差，理论值明显低于实验值。文中所建模型理论值在峰后阶段远大于引用模型，与实验值较为接近，平均R2达到0.977 2。

为验证所建模型对不同类型岩石的适用性，引用文献[10]和[18]中泥岩、二长花岗岩的应力-应变实验数据，利用文中模型进行辨识，得到对比曲线如图5所示。

图5 实验值和理论值对比曲线Fig. 5 Comparison curves between experimental value and theoretical value

由图5可以看出，文中所建模型对泥岩和二长花岗岩实验数据的拟合效果较好，平均R2分别为0.989 4和0.987 3。总体而言，文中所建基于SMP准则的岩石统计损伤本构模型具有较强的应力-应变曲线辨识能力，能较为准确地描述不同类型岩石的变形破坏全过程。

4 结 论

(1)基于SMP破坏准则，建立了一种新的考虑中间主应力的统计损伤本构模型。通过应力-应变曲线的极值特性，给出模型参数m和F0确定方法。开展英安岩常规三轴压缩实验，通过求解抗剪强度指标，得到岩石黏结应力。

(2)传统的未考虑中间主应力的模型对岩石峰后阶段的描述存在较大误差，基于SMP准则的统计损伤模型对应力-应变曲线具有较好的辨识效果。对比两者模型预测效果，证明文中所建模型的可行性和合理性。

(3)引用相关文献中泥岩和二长花岗岩的三轴压缩实验数据，利用文中所建模型进行辨识，理论曲线与实验曲线吻合较好，验证了所建模型的适用性。