逆向思维巧解题

黄旭军

假期到了，阿木老师带同学们去参加露营活动。大家准备好物品，坐上船，高高兴兴地向山里出发。

当船行驶了全程的一半时，阿木老师开始睡觉，同学们刚开始还笑嘻嘻地聊天，后来就觉得无聊了。正好老师醒了，一帮同学问：“老师，我们一共要走多长的路啊，为什么还没到目的地？”阿木老师对着手机导航一看，发现船又行驶了他睡前路程剩下的一半，这时离目的地还有40千米。

班上的“数学王子”说：“让我来算算！”他拿出本子写上：剩下的一半，还有40千米，说明剩下80千米，而这80千米又是全程的一半，所以全程就是160千米！

阿木老师竖起大拇指称赞道：“倒推法用得很棒！”有很多同学第一次听说倒推法，好奇地让老师详细讲讲！

阿木老师说道：“有些题目顺着做很麻烦，倒过来解题反而方便很多，这种倒過来解题的方法，就叫倒推法！”

这时前面开船的船长传来一阵惊呼。大家循声望去，只见岸边有一颗高高的树。

“这是什么树啊？”好奇的同学问。

“这是6个月前刚种的新品种，一个月可以长到原来的2倍高！”阿木老师眼珠一转，出了一道题目。

例1

这棵树每个月长到原来的2倍高，6个月长到20米，长到5米用了几个月？

这棵树开始的高度不知道，但是知道它的生长速度。

设开始时的树苗有x米高，可列出：

种植1个月，树的高度变为2x米;

种植2个月，树的高度变为4x米;

种植3个月，树的高度变为8x米;

种植4个月，树的高度变为16x米;

种植5个月，树的高度变为32x米;

种植6个月，树的高度变为64x米。

64x=20，解得x=0.3125。

然后算5米是0.3125的几倍：5÷0.3125=16。

16是2的4次方，推断出是第4个月树苗长到了5米高。

答：树长到5米用了4个月。

下面我们用倒推法。

这棵树6个月长到20米，那么前一个月它的高度就是10米。

由此就能推断出，这棵树4个月时长到了5米。

答：树长到5米用了4个月。

“小马虎”在做一道减法题目时，把被减数十位上的6错写成了9，减数个位上的9错写成了6，最后所得的差是677，这题的正确答案应该是多少？

把被减数十位上的6错写成了9，减数个位上的9错写成了6，也是错中求解的问题。

用□来表示不知道的数，写出算式。

正确的算式：□6□-□9=□。

看错后的算式：□9□-□6=677。

在方框中填上数字，只要合理的都可以试一下。

看错后的算式：693-16=677。

把没看错的数字填入正确的算式中。

663-19=644

答：正确的答案应该是644。

运用倒推法，把被减数十位上的6错写成了9，则差就多了90-60=30。减数个位上的9错写成了6，则差就多了9-6=3。最后的差就比正确答案多出了30+3=33，由此即可解决问题。

90-60=30，9-6=3，677-（30+3）=677-33=644。

答：正确的答案应该是644。

工人们修一段通往景区的公路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了余下的一半还少1千米，还剩20千米没有修完。公路长多少千米？

题目中间变化过程十分复杂，步骤又多。

运用倒推法来做。先画示意图，第二天修了余下的一半还少1千米。

由此我们得到，第一天修完，剩余没修公路长度为（20-1）×2=

38（千米）。

再算第一天所修公路长度。工人们第一天修了公路全长的一半还多2千米。

如图，公路一半的长度则为38+2=40（千米），所以公路的总长就是40×2=80（千米）。

答：公路长80千米。

水果店有甲、乙、丙、丁4个竹筐，竹筐里共装了256个橘子，先从甲筐里拿出与乙筐同样多的橘子放入乙筐，接着从乙筐里拿出与丙筐同样多的橘子放入丙筐，再从丙筐里拿出与丁筐同样多的橘子放入丁筐，最后从丁筐里拿出与甲筐同样多的橘子放入甲筐。这时，甲、乙、丙、丁4个竹筐里的橘子一样多。请问甲、乙、丙、丁4个竹筐里原来分别有多少个橘子？

整个过程一共有4步操作，在操作完成后，甲、乙、丙、丁4个竹筐里的橘子变成一样多了！

先设立4个未知数，即甲筐里原来有a个橘子，乙筐里原来有b个橘子，丙筐里原来有c个橘子，丁筐里原来有d个橘子。

由题意可知：

a+b+c+d=256

2（a-b）=2b-c=2c-d=2d-（a-b）

根据上述两个等式，计算可得：

a=92，b=60，c=56，d=48。

答：甲筐里原来有92个橘子，乙筐里原来有60个橘子，丙筐里原来有56个橘子，丁筐里原来有48个橘子。

运用倒推法，256÷4=64，然后列表：

答：甲筐里原来有92个橘子，乙筐里原来有60个橘子，丙筐里原来有56个橘子，丁筐里原来有48个橘子。

1. 有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后乘以25，恰巧是100岁。”这位老人今年多少岁？

2. 有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次拿出8个，篮子里还剩2个鸡蛋。篮子里原来有多少个鸡蛋？

3. 有甲、乙两堆小球。甲堆的球比乙堆多，甲堆球数比560多，但不超过640。从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆，第二次，从乙堆拿出与甲堆所剩球数同样多的球放到甲堆……如此继续下去，5次以后，发现甲、乙两堆小球一样多。那么，甲堆原有小球多少个？