破解“韩信点兵”的秘密

捌元

有一天，宁宁放学回到家之后，变得特别反常。

她进门之后径直躲进了房间里，妈妈喊她出来吃杧果，她也没有出来。爸爸妈妈很疑惑：平常宁宁一回到家都是直接坐在电视机前看动画片，今天怎么一反常态躲进房间里了？

“难道是和同学闹别扭了？”妈妈转头对爸爸问道。

“应该不会，我进去问问。”爸爸胸有成竹地说道。

爸爸轻轻敲了几下宁宁的房门，一边转动门把手，一边问道：“宁宁，你今天怎么了？怎么不出来吃杧果呢？”宁宁听见爸爸的声音后，叹了一口气，说道：

“唉，爸爸，我今天遇到‘对手了。老师留了一道数学题。我想了好久，都没做出来。”

爸爸将果盘放在宁宁的书桌上，接着说：“是什么样的题目，居然能难倒我们宁宁？让爸爸看看，说不定爸爸能打败这个‘对手呢。”

宁宁连忙将习题本递给爸爸，爸爸接过一看，说：“我先给你讲个小故事吧。”

打败对手，先要“知己知彼”

韩信是刘邦麾下的一位将军，他为刘邦打败项羽，开创汉朝四百年基业立下了汗马功劳。相传，韩信在一次交战点兵时，没有一个个清点却能精确知晓士兵的人数，被士兵们认为是“神机妙算”。

韩信带领1500名将士与楚国大将李锋交战。双方大战一场后，楚军败退回营。

汉军也有伤亡，但还未来得及清点，便听到后军来报：“将军，后方有楚军骑兵追来。”韩信察看后，发现敌军骑兵不足五百骑，便急速点兵应敌。

此时汉军军心大乱，副官点完兵回来说：“共有1035人。”韩信不放心，决定亲自点算。命令士兵3人一列，最后多出2人;接着，他又命令士兵5人一列，最后多出3人;之后，他再命令士兵7人一列，最后也多出2人。

韩信马上向众将士宣布：“副官算错了，我军共有1073名士兵，敌人不足五百，我们有绝对的胜算，一定可以打败敌人。”众将士听后，顿时士气大振，个个奋勇向前迎敌，楚军交战不利，大败而逃。

一个奇妙的数

宁宁听完故事后，急忙问爸爸：“爸爸，这位韩信大将军怎么这么快就把人数算出来了？”爸爸慢吞吞地说：“别急啊，谜底等下自会揭晓。你现在能从韩信点兵这个故事中发现什么数学知识吗？”

宁宁低下头，苦思冥想了一会儿，说：“假设现在有一个数，它除以3余2，除以5余3，除以7余2。这个数可真奇妙。”

“这个奇妙的数是多少呢？”爸爸问道。

宁宁想了想，将题目写在本子上，然后与老师留的作业题进行了对比，惊讶道：

“原来这两道题都是差不多的。”“没错，韩信点兵这个故事中，体现的就是余数问题。”爸爸笑着对宁宁说。

“可是该怎么做呢？”宁宁双手托着下巴，微皱的眉头之间仿佛充满了问号。

“爸爸今天就来教你一招。”爸爸一边把宁宁房间里的小黑板拿过来，一边说。

找出“奇妙数”，一次搞定

“首先我们需要找出这个‘奇妙数满足的条件。综合来看，我们了解到这个数需满足三个条件。”爸爸在宁宁房间里的小黑板上，写下了几行字：

第一，这个数除以3的余数是2。

第二，这个数除以5的余数是3。

第三，这个数除以7的余数是2。

“接下来，我们把满足上述三个条件的数都列出来。”爸爸说道。

除以3余数是2的数有：2、5、8、11、14、17、20、23、26等。

除以5余数是3的数有：3、8、13、18、23、28等。

除以7余数是2的数有：2、9、16、23、30、37等。

“这三行数中都有23，因此23就是满足条件的‘奇妙数。如果继续列举下去，我们还能找到128、233、338，等等。”

宁宁恍然大悟地点点头，并说：“用23加上105得到128，用128加上105可以得到233，继续算下去就能找到很多符合条件的数。这样看来这道题目可以有很多个答案。”

爸爸满意地点了点头，并接着说：“这是因为105是3、5、7的最小公倍数，所以用23加上若干个105之后，用得到的数分别除以3、5、7，余数仍是2、3、2。这样的话，我们就可以用23+105×n（n=0、1、2、3、4……）表示最后的结果。有了这个公式，是不是就方便许多了？”

宁宁灵机一动，高兴地对爸爸说：“那我知道韩信是怎么得出结果的了。韩信点兵体现的就是孙子定理。韩信根据副官所报的数，选择了和1035最接近的数1073。”

爸爸对宁宁竖起了大拇指，并说：“现在你知道该怎么做老师留的作业题了吧？”

除以3余数是2的数有：2、5、8、11、14、17、20、23、26等。

除以5余数是3的数有：3、8、13、18、23、28等。

除以7余数是2的数有：2、9、16、23、30、37等。

嘀嗒嘀嗒，几点了？

宁宁根据爸爸提供的思路，很快就将老师留下的作业题做出来了，并去电视机前喜滋滋地看起了电视。

正当宁宁看得高兴时，爸爸走过来对她说：“宁宁，我准备去修表店修理坏掉的手表，你要不要陪我一起去？”

寧宁转过头说：“修表？那我也去看看。”说完，宁宁便关掉电视，和爸爸一起出发。到了修表店后，宁宁发现店里的墙上挂满了大大小小的钟，有椭圆形的，也有正方形的。柜台里摆满了各式各样的手表。宁宁趴在柜台上仔细观察着。

爸爸将手表拿给工作人员修理后，便转身对趴在柜台上的宁宁说：“宁宁，假设现在是下午6点，手表大概要2小时后才能修好。那我问你，2小时后是几点呢？”

宁宁连忙直起身子，大声说道：“这个容易，现在是6点，2小时后是8点。”爸爸笑了笑，说：“那我再问你，28小时后又是几点？”

这下宁宁没有立刻答上来，而是找店员借了纸和笔，趴在柜台上算了起来。不一会儿，宁宁举着手中的纸对爸爸说：“我算出来了，下午6点是18点，那么18+（28-24）=22，所以28小时后是22点，即晚上10点。”

爸爸点了点头，又说：“那你可以用我们今天讲过的孙子定理来解决问题吗？”宁宁挠了挠头，说道：“孙子定理不是余数问题吗，怎么能用在这里呢？”

“对于数学定理，我们不能只知道它的表面意思，还要在生活中将定理的应用体现出来。比如我们可以利用孙子定理求这个时间点的问题。”爸爸边说边用笔给宁宁演算起来。

“假设现在的时间是A，经过B小时之后的时间是C。那么根据时间的周期性和孙子定理，A、B、C具有这样的关系：A+B=C（mod 24）。这个式子的意思是：A加B的和除以24的余数为C，余数C为A经过B小时之后的时间。现在是下午6点，即A=18时，B=28时，A+B=18+28=46，而46除以24的余数为22，故下午6点经过28小时后是晚上10点。”

“好神奇，孙子定理居然能这样应用在实际生活中。”宁宁惊叹道。