谈力的矢量三角形法在求解极值问题中的应用

吴金波

摘   要：在求解力学极值问题中，常见的教辅资料上的处理方法是代数法，该法需要学生有较强的数学推演能力，往往很多学生不具备这种能力。文章通过三道例题，采用学生在受力平衡的动态分析问题中已经很熟悉的力的矢量三角形法求解，与代数解法相比，力的矢量三角形法可以大大简化运算过程，降低了问题切入的门槛，提高了学生突破极值问题的信心，拓展了学生的科学思维。

关键词：受力平衡;动态分析;力的矢量三角形法;极值问题;科学思维

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）1-0056-3

在高三物理备考过程中，经常遇到各种临界问题。所谓临界问题，就是指当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常常会有“刚好”或者“恰好”等字眼给予暗示。在这些变化过程中，又伴随着极值出现。本文所讨论的极值，是平衡态（静态平衡或者动态平衡）问题中的极值。所谓力的平衡问题中的极值，是指在力的变化过程中，某些力会出现最大值或者最小值问题。

这里谈到的力的矢量三角形法，是指一个物体受到三个力而平衡（静态平衡或者动态平衡）时，由这三个力矢量首尾依次相连得到的矢量三角形。这三个力的特点分别是：①一个恒力（一般是指受力物体的重力）;②一个变力，其方向不变而大小变化;③另外一个变力的大小和方向都在变化。通过大小和方向都在变化的那个力的方向变化情况，画出满足条件的力的矢量三角形，直接从几何图形中可以看出两个变力的变化情况，从中很容易找到变力的极值位置。

笔者发现，大部分学生在已经比较熟练地掌握了受力平衡的动态分析的矢量三角形法的情况下，对于求极值这类问题的计算题的处理上，很多数学基础薄弱的学生，总是没有信心去解答这类问题。因为学生在处理这类计算题时，总是从力的平衡条件入手列出平衡方程，然后经过一系列相对复杂的数学推演，才能得到某个变力与一个（或者几个）恒力（往往是重力）以及某个角度的代数关系，然后由数学求极值的方法讨论出结果。笔者还发现，大部分的教辅资料在求极值计算题的问题上，都是采用代数法来处理。可能是受到教辅资料解法的影响，也可能是很多授课老师（笔者听过几个公开课的老师就是这么讲的）也是这么处理问题，导致学生在处理动态分析的极值问题上，面对这类问题的计算题时，只会利用代数法求极值，并且感到困难。既然学生用代数法处理极值问题有困难，教师就有责任引导学生熟悉同种问题的两种方法，拓展、提高学生的科学思维能力。

例1 如图1所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为（    ）

代数法的解析 分解小球重力如图2，沿绳OA的分力FOA方向确定，另一分力F′方向不确定，但由三角形定则可以看出，另一分力F′的大小与θ角的大小有关。由数学知识可知，当F′的方向与绳OA垂直时F′最小，力F最小，所以θ=30°，Fmin=Gcos30°=G，故答案为B选项。

力的矢量三角形法的解析 首先对A球受力分析（如图3），然后将G、F和FOA首尾依次相连，构成力的矢量三角形（如图4），由于A球受力情况满足受力平衡的动态分析方法之力的矢量三角形法的三个特点：G为恒力，FOA的方向与竖直方向的夹角恒为60°，F的大小和方向都可以变化，动态矢量三角形如图4所示，很容易看出，当F与竖直方向的夹角θ=30°时，F有最小值，即Fmin=G。

当然，对于这类相对比较简单的极值问题，用代数法和几何法处理的难度都不大，哪种方法学生都容易掌握。但是，对于一些需要较复杂的数学推演和讨论才能求解的极值问题，对于数学基础薄弱的学生，就显得捉襟见肘了。这时，如果授课老师引导学生利用学生已经熟知的力的矢量三角形法处理，会让学生有种醍醐灌顶的感觉。

例2 如图5所示，质量为M的斜劈倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑。如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。已知m=1 kg，θ=15°，g=10 m/s2，求F的最小值以及对应的α的取值。

这种解法很粗糙，每个运动状态都没有相应的受力分析，这不是一个好的示范解法。

力的矢量三角形法的解析 木块在斜面上向下匀速下滑，对m受力分析如图6所示，由平衡条件有：mgsinθ=μmgcosθ，得μ=tanθ。

在拉力F作用下匀速向上滑动时，对m受力分析如图7所示。

教学启示 通过三个例题，分析了力学动态分析中极值问题的两种解法：代数法和力的矢量三角形法。大部分高三复习资料在处理这类极值问题时，都是采用代数法，而很多学生的数学能力又达不到能力要求。很多学生已经掌握了力的矢量三角形法，只是思维的角度没有达到，经过教师的引导，特别是物体受四个力的动态分析极值问题时，有了教师的指导，大部分学生会有一种醍醐灌顶的感觉。所以，在这个问题的处理上，建议授课教师可以两种方法都用，拓展学生的科学思维能力。

（栏目编辑    羅琬华）