极限问题虚拟教具的开发与应用研究

王佳文 李鑫鑫

[摘 要]极限问题是高等数学教学中的核心难点，在教学中引入动态演示虚拟教具，可以提高教学效率。在极限问题虚拟教具的开发过程中应遵循经验联系原则、动态表征原则、界面简洁原则、承载限量原则以及课具相容原则，当前适于开发极限问题虚拟教具的平台为GeoGebra，利用其代数区、绘图区等功能模块以及滑动条、点、线等工具可开发出适合极限定义、无穷小比较、函数连续性定义等内容教学的虚拟教具。

[关键词]极限问题;虚拟教具;GeoGebra;开发与应用

[中图分类号]G434 [文献标识码]A [文章编号]1008-7656（2021）05-0021-07

一、引言

目前，信息技術在课程教学改革中的作用和价值已经得到普遍认可，推进信息技术与教育的融合发展也成为各国教育政策中的要点。要实现信息技术与课堂教学深入融合，不应是新型计算机软件的简单引入，而应积极探究信息技术化解各个知识难点的策略。在数学教学中，虚拟教具正是教学者运用信息技术解决教学难点过程中形成的重要方法，它是指一种利用计算机开发的、可探究的、动态的数学对象模型或系统，能实现实体教具的功能，可以动态呈现实体教具无法演示的概念，有助于学习者自主构建数学知识[1]。

极限是高等数学的基本概念，极限问题几乎贯穿高等数学始终，其无限逼近的特征使实体教具无法演示，只能凭靠学生自主想象，这也是造成高等数学高度抽象的重要原因。许多授课教师一直在积极探求极限问题的形象化解释，利用图像、课件自带动画和语言描述思想，但由于平面图像的静态性和局限性难以展现无限逼近的动态特征。如何利用信息技术精准开发极限问题的虚拟教具，又如何根据虚拟教具精准设计教学活动，是高等数学教学中的重点和难点。本研究在统计极限问题虚拟教具的应用现状基础上，阐述极限问题虚拟教具的开发原则、内容、技术支持、平台与使用方法，举例极限问题虚拟教具的几个应用案例，以期为极限问题教学虚拟教具的开发和应用提供指导，促进高等数学教学与信息技术的进一步融合。

二、虚拟教具的研究与应用现状

虚拟教具的定义由美国的Packenham教授于2002年给出，Moyer等针对教师应用虚拟教具的行为和某种数学虚拟教具APP对儿童学习的影响等方面进行了研究，之后更多的学者针对虚拟教具在学生数学学习态度、学习能力以及不同虚拟教具对教学效果的影响等方面进行了研究。目前，国外对于虚拟教具的研究已经成为热点，但是，国内关于虚拟教具的研究还不多，在中国知网，以“虚拟教具”为篇名搜索，相关文献仅有7篇，王辞晓[1]从具身认知视角对虚拟教具和实体教具进行对比和分析，指出虚拟教具可代替绝大多数实体教具， 可以在动态演示、现象增强等多方面实现对实体教具的超越;许静妍[2]、陈文瑜[3]分别对初中数学和高中数学的虚拟教具开发和应用进行研究;袁丽[4]则从技术角度研究了物理教学中的平抛问题3D虚拟教具设计方法。目前针对大学数学的虚拟教具开发和相应教学活动设计问题的研究还比较少。

关于当前虚拟教具在高等数学极限问题教学中的应用情况，以中国大学MOOC中9门高等数学国家精品课中第一章极限与连续部分为例进行调查，可知：目前关于极限问题，主要以语言描述的讲授为主，授课过程主要借助课件，结合图形、图片讲解知识，具有动态演示功能的虚拟教具较少。虽然，一些教师借助PPT或focusky中自带动画尝试展示一些极限无限接近的过程，但由于功能的限制，只是在固定函数图像基础上的“点”动演示，函数无限逼近的动态过程仍是隐性的，学习者只有深入想像才能让这个“动”的过程在头脑中展现。

三、极限问题虚拟教具的设计与开发

（一）虚拟教具开发设计的基本原则

虚拟教具的设计来源于难以形象表征的教学难点，其开发应能条理化展现问题内涵，用简洁和主次明确的画面展现教学内容。在极限问题虚拟教具的设计开发过程中，应遵循以下基本原则。

1.经验联系原则。虚拟教具的开发应联系教师已有的教学经验，选取极限教学中难以表述的难点和关键点。另外，信息的呈现要联系学生已有的知识，通过一步步展示引导学生建立起相应的知识点概念。

2.动态表征原则。由于极限相关的问题一般均含有无限逼近的思想，如何让原本只有靠学生想象才能理解的过程，通过技术实现使函数由静变动由想象到直观。

3.界面简洁原则。设计时，虚拟教具的界面应注重简洁性，去掉与所分析问题无关的符号、文字、图形、动画等，以保证学生探究中的专注性。另外，在开发时还要注意关键点的突出性，应用加粗标志、不同颜色、箭头等提示学生应关注的重点。

4.承载限量原则。虚拟教具设计应具有微小性，即一个虚拟教具最好只针对一个问题或一个知识点进行呈现，过多的知识承载量会加重学生的认知负荷，造成学生对知识理解的混乱。

5.课具相容原则。虚拟教具的放置要注重与课件的结构一致性，注重知识的前后衔接，根据课件讲解过程顺其自然展示给学生;同时，虚拟教具的设计还应注意与课件格式的相容性，能依托已有课件顺利展现。

（二）极限问题虚拟教具的内容

极限问题贯穿微积分内容的始终，从开始的极限与连续一章，到后面的导数、定积分以及多元微积分等，每一个重要概念的阐述都离不了极限问题，而导数、定积分以及二重积分等内容的动态演示虚拟教具已经被许多教师在教学实践中应用，因此，文章后续虚拟教具的开发主要针对极限与连续一章中的内容。

在极限与连续这一章中，许多重要的概念都是教师用语言描述而学生发挥想象的，适合引入虚拟教具破解难点。（1）函数极限的描述性定义的说明：数列极限，x趋向于某一个数及x趋向于无穷时函数极限结果的展示;（2）极限的ε-δ定义：x趋向于某个数以及x趋向于无穷时的ε-δ语言刻画的极限描述;（3）无穷小的比较：低阶、高阶以及同阶无穷小的趋向于0的速度的展示与比较;（4）两个重要极限：两个重要极限的极限存在性的描述性直观展示;（5）函数在一点的连续性：利用增量判定函数连续与间断区别的对比;（6）两个重要极限结果的探究等。

（三）极限问题虚拟教具开发的技术支持——GeoGebra

目前，适用于数学学科动态演示的软件有很多，如几何画板、超级画板、网络画板、GeoGebra、Geometry Expression等，这些软件均具备画图、迭代、动画、轨迹生成等功能，优势各不相同，例如对比几何画板，GeoGebra（简称GGB）在文字、图形和符号的呈现效果相对较差，而在函数、微积分、统计、立体几何的教学中GGB更有优势[5]。再如超级画板具有复制数学表达式，粘贴进行计算和作图的功能，而GGB中，可以直接编辑函数公式进行作图和编辑，更加简单和方便。由于本文主要讨论函数极限问题的虚拟教具的开发和应用问题，因此选用GGB作为虚拟教具开发平台，见图1所示。

GeoGebra是由Geometry 和Algebra两个单词构造，它是一款集代数、几何、微积分、统计等作图、运算、演示功能为一体的动态几何软件，由美国亚特兰大学教授Markus Hohenwarter设计。其全部功能基于Java程序编写，动态网页输出效果较好，其中文版可免费下载，且安装使用方便简洁，完成个人虚拟教具作品后，只要登陆个人帐号，便可在移动工具上将自己作品与他人交流分享。GGB功能强大，现含有近500个命令，可以为小学到大学各个阶段的数学教学提供服务;操作灵活便捷，同一输入对象有多种输入方式和表达形式，几何输入、代数输入均可实现;图像演示多样，2D、3D都可形象展示，通过用户自组编辑输入对象可得到形式多样数学模型[5]。

目前，GGB由于其强大的功能和易操作性成为数学、物理学科教育信息化领域的热点应用和研究对象，已经被翻译为近70种语言，并在全球已经设立159个GeoGebra研究院以支持教师交流和相关科研工作。在中国知网以“GeoGebra”为篇名进行搜索，截止到2021年7月，相关的文献达683篇，其中，中文文献的研究主要分布在2010～2021年，篇数成逐年上升趋势，GeoGebra在中小学数学、中学物理解决具体问题的应用是研究的重点内容。

（四）极限问题虚拟教具开发所用GGB功能与使用方法

1.各个模块基本功能

极限问题的对象主要是函数，主要探究的是函数自变量和函数值的动态变化情况，因此在利用GGB开发虚拟教具的过程中主要用到如下功能模块。

（1）指令栏。用于输入函数表达式，输入字符一般仅识别美式键盘下的英文字母，函数运算命令的输入与一般数学软件指令类似，如加减乘除分别用 +、-、*、/表示，开平方用sqrt（x）表示，绝对值用abs（x）表示，用小括号来界定函数结构等，但也有一些自定命令，如对数函数用命令log（a，x）实现，分段函数用if命令实现等。

（2）代数区。在指令区输入的函数回车后其表达式会在代数区显示。另外，后续所画点、线的坐标与表达式均在代数区显示，点击不同式子或坐标相应图像会在绘图区加重显示。

（3）工具栏。点、线、图形、文本、移动等功能实现的工具集合。其中滑动条是极限问题动态演示的关键工具，通过滑动条变量设置，点坐标用滑动条变量表示，可实现点、线的移动，进而达到动态逼近的效果。

（4）绘图区。相当于GGB所开发虚拟教具的显示器，在指令栏输入函数后回车即可在绘图区同步显示函数图像，同时可实现点、线的绘制，文本的书写以及动画操作的演示，但是一般各个对象的移动、外观、颜色、大小长短的改变等不能在绘图区直接操作，而是需要在对象设置模块操作。

（5）对象设置模块。绘图区所有对象的属性都可在对象设置中进行编辑，如滑动条动画的播放速度，滑动条变量的改变，隐藏与显示等，函数表达式的修正，点、线颜色、形状的改变，文字设计等。另外，设计虚拟教具背景的改变，坐标轴坐标的显示调整等也要在对象设置模块完成。

2.使用方法举例

利用以上功能模块，就可以开发出一般极限问题动态演示的虚拟教具。例如，当想观察n→∞时，n2的极限，可首先在工具栏中点击滑动条，在出现的对话框中输入最小值1，最大值1000，增量为1，点击确定即可得到滑动条a（如果滑动条大小设置未成功，可再利用对象设置模块中滑动条对象设置）;接着，点击描点命令，在绘图区任意画出一个点A，双击该点，将点的坐标改为（a，a2），即可达到利用滑动条控制点的目的。由于滑动条a的范围较大，需要点击绘图区背景，对坐标轴大小进行设计，才可显示点的全部运动，改变x轴最小值为0，最大值为1000，y轴最小值为0，最大值为1000000。另外，为了更明显观察点的运动轨迹，可右击点A，点击追蹤。再点击滑动条，在对象设置模块中点击启动对象，就可以看到当n越来越大时，n2越来越大的变化趋势，如图2所示。

四、极限问题虚拟教具的应用案例

（一）极限的描述性定义讲授中的虚拟教具

在讲解极限的描述性定义时，由于学生初次接触极限的概念，对极限的无限接近还不能完全理解，借助虚拟教具的动画演示可让学生迅

速了解概念。如图3 展示的为数列

在n→∞时的变化趋势，学生通过自主拖动滑动条可观察数列数值的变化情况;图4为x→∞时sin    极限的动画，通过分别移动两个滑动条，可分别演示x→+∞和x→-∞时函数的变化趋势。另外，对于x→x0时函数极限的教学也通过类似动画演示让学生通过观察得到极限结果。

（二）ε-δ定义教学中的虚拟教具

关于ε-δ定义，讲授前教师可制作如图5所示动画，在对学生解释其内涵过程中，可请学生上台操纵滑动条a，随着a不断减小，动画中y轴上的ε的长度也越来越小，相应的x轴中δ也越来越小。在学生演示的同时，教师应同步给学生讲解：同学们请看，对于任意的ε>0，在y轴上无论ε有多小，都对应的在x轴存在一个δ，使得当0<|x-x0|<ε时，相应的函数值均有|f（x）-A|<ε。通过将数学公式与动画演示对照解释，学生会对ε-δ定义产生立体化的认识。

（三）无穷小的比较教学中的虚拟教具

在无穷小比较概念的引入中，对于几个无穷小趋向于0的速度的说明，可采用GGB动画探究的方式。上页图6给出了几个无穷小量的例子，教师可让学生操纵滑动条a，观察随着x无限趋向于0，相应的四个无穷小量x，x2，x3，x4无限趋向于0的速度，学生一目了然就可以看出，x4的函数值最小，趋向于0的速度最快，而x趋向于0的速度最慢。由此，教师直接给出无穷小的比较直观定义：趋向于0的速度快比趋向于0的速度慢的称为高阶无穷小，而趋向于0的速度慢的比趋向于0的速度快的成为低阶无穷小，而如果趋向于0的速度差不多称为同价无穷小。通过观察和教师引导，学生可以形成对无穷小的直观理解。

（四）虚拟教具在函数连续性教学中的应用

对函数在一点连续型定义讲授中，对于连续的点当自变量的增量趋向于0时函数值的增量也趋向于0 ，以及对于间断的点当自变量的增量趋向于0时函数值的增量却不趋向于0的过程，可以借助动画演示进行区分。如图7与图8所示，学生首先利用图像建立对连续和间断的直观认识，接着进一步探究增量在这两种情况下的不同的极限结果，通过滑动条逐渐变小时△x越来越小趋向于0和△y相应的动态变化，达成对极限定义的深刻理解与记忆。

（五）两个重要极限讲授中的虚拟教具

在讲授两个重要极限过程中，对于高职生而言，两个重要极限结果的证明过程较复杂，为加强对极限结果记忆，直接在GGB中将两个重要极限中函数的图像画出，利用滑动条操纵点在曲线上的变化狀态，直接得到函数极限的结果。下页图9为

时x→+∞和x→-∞时函数极限结果的

探究，两个滑动条分别控制左右两支点的动态变化，学生可以自主操作，得到左右极限的结果为同一个数值。

五、结语

教师的综合教学能力是虚拟教具开发的基础，虚拟教具在极限问题中的使用是信息技术融合高等数学教学的重要体现。教师要想开发出好的虚拟教具，不仅应具备丰富的数学教学经验，明确所教授对象的学习难点，还应具有一定的技术开发能力，能在深刻理解教学难点的基础上利用软件平台开发相适应的虚拟教具。因此，极限问题虚拟教具的开发是教师技术应用能力、知识理解能力、教学设计能力（“三能”）综合的成果;虚拟教具的开发需要因情而定，在极限问题讲授中虚拟教具是没有数量限制的，根据不同学生的理解力和教师的表达力，可能有不同的教学设计，一道练习题、一个思考题都有可能需要进行虚拟教具的开发并引入教学;虚拟教具的应用又是多方融合的，在实际教学中，虚拟教具的应用需要涉及到课堂信息工具现实、教师应用课件实际、教室硬件环境以及学生的可实践操作性等多方面因素，虚拟教具能否在教学中顺利展示，还需要教师在开发设计前进行全方位的考虑。

[参考文献]

[1]王辞晓.虚拟教具对实体教具的替代和超越：基于具身认知的视角[J].电化教育研究，2020（12）：50-58.

[2]许静妍.初中数学《分数》虚拟教具的开发及应用研究[D].上海：上海师范大学，2019.

[3]陈文瑜.基于虚拟教具的高中数学探究活动研究[D].上海：上海师范大学，2020.

[4]袁丽，张宝运.人机自然交互支持的3D虚拟教具设计[J].系统仿真学报，2012（9）：1973-1975+1979.

[5]鲍克元.几何画板与GeoGebra在初中数学教学中的适用性比较研究[D].南京：南京师范大学，2018.

[作者简介]王佳文，沧州职业技术学院讲师，硕士，研究方向：数学教育学;李鑫鑫，山东理工大学讲师，博士，研究方向：人工智能技术。

[责任编辑 李 舟]