一类四阶椭圆型方程的非平凡解的存在性

李家萌, 陈会文, 肖 可, 阳 晃, 许小锋

(南华大学 数理学院,湖南 衡阳 421001)

0 引 言

考虑下列非线性四阶椭圆型方程：

(1)

其中w∈C(RN×R,R),V∈C(RN,R)。

大多数四阶椭圆型方程是在RN中的有界域Ω上研究的。例如，文献[1-3]。文献[2]利用山路引理得出以下问题的存在性结果。

(2)

其中Ω⊂RN(N>4),c∈R。Ω是一个光滑有界区域。

文献[4-7]研究了方程(2)的多个非平凡解和变号解。文献[7]中，J.W.Zhou和X.Wu研究了变号解的存在性和多重性。文献[8]中W.Wang等利用链接方法得到了至少三个非平凡解。文献[9]中,Y.Yang和A.Zhang研究了正解、负解和变号解的存在性。在文献[10]中，Y.L.Yin和X.Wu研究了方程(1)的高能解的两个存在性结果。在上述文献的启发下，本文运用临界点理论研究问题(1)的非平凡解的存在性。

给出如下假设条件：

(F0)w(x,u)=λα(x)g(u)+μβ(x)f(u);

(F1)G,F∈C1(RN,R)，以及G(0)=F(0)=0;

(F5)存在ξ∈R，使得G(ξ)>0;

(F6)对任意的u∈R，p∈(2,2*)有

|f(u)|≤a1(|u|+|u|p),

定理1假设(V1),(F0)-(F6)成立,那么存在λ1>0使得对每一个λ>λ1，存在e>0使得对每一个μ∈[0,e]，系统(1)至少存在两个非平凡解。

1 预备知识

令

那么E是一个勒贝格空间，内积定义为

并且范数‖u‖E=(u,u)1/2。E*是E的对偶空间。因为对任意的r∈[2,2*)，E是连续嵌入到Lr(RN)，所以对任意的u∈E，存在τr>0使得

‖u‖r≤τr‖u‖E

(3)

引理1(见文献[11])假设I满足条件(V1)，那么对任意的r∈[2,2*)，E是紧嵌入Lr(RN)。

对任意的u∈E,定义

(4)

引理2假设(V1)和(F6)成立，那么I∈C1(E,R)且有对任意的u,v∈E有

(5)

此外，H′,K′:E→E*是紧致的，并且I在E的临界点u是系统(1)的解。

证明 为了证明I∈C1(E,R)和式(5)，可以充分证明H∈C1(E,R)，K∈C1(E,R)以及对任意的u,v∈E有

和

首先，证明H′的存在性。

由(F3)和(F4)，则对任意的ε>0，存在η(ε)>0使得

|g(u)|≤ε|u|+η(ε)|u|2

(6)

以及

其中u∈R。

由式(6)和Hölder不等式，则对任意u,v∈E和δ∈[0,1]，得到

ε|α||u+δv|2|v|2+η(ε)|α|×

ε|α||u+δv|2|v|2+η(ε)|α||u+

(7)

由中值定理和勒贝格控制收敛定理，则对任意的u,v∈E，和一些ρ∈(0,1)有

此外，由式(3)，式(6)和Hölder不等式，则对任意的u,v∈E，有

可见H′(u)是线性且有界的，即H′(u)∈E*。

接下来，证明H′:E→E*是弱连续的。

un→ua.e.x∈RN

(8)

那么

g(u)||v|dx

由上界的定义，则存在v0∈E使得

‖v0‖E=1,

由式(6)和Hölder不等式得出

+∞

(9)

则由勒贝格控制收敛定理和式(8)，得到

产生矛盾。

当n→∞时，‖H′(un)-H′(u)‖E*→0，则H′是弱连续的。因此，H′是连续的，并且H∈C1(E,R)。此外，由于E是一个希尔伯特空间，所以H′的紧性来自于它的弱连续性。类似地，我们可以证明K∈C1(E,R)和K′是紧致的。根据式(4)和式(5)，我们有I∈C1(E,R)。

众所周知,系统(1)是I:E→R的欧拉-拉格朗日方程，因此I在E中的临界点u是系统(1)的弱解，即对任意的v∈E有

引理3(见文献[12])假设X是具有可分自反的Banach空间;设Φ:X→R是强制的、弱下半连续的C1泛函，属于ΓX，且在X上任意有界子集上都有界，它的导数在X*上存在一个连续的逆，J:X→R是一个存在紧导数的C1泛函。假设Φ存在一个严格局部极小值v0，且Φ(v0)=J(v0)=0。最后，设

且α1<α2。

Φ′(v)=λJ′(v)+μψ′(v)

在X中至少存在三个解且范数都小于N1。

引理4Φ是强制的，弱下半连续的，在E的每个有界子集上有界，以及它的导数在E*上存在一个连续的逆。

则Φ是弱下半连续的。此外，易证Φ在E的每个有界子集上有界。

还需要证明Φ′存在一个连续逆。对每一个u∈E{0}，由式(5)，有

所以

也就是说Φ′是强制的。对任意的u,v∈E，由式(5)有

所以Φ′是一致单调的，由文献[13]中Theorem 26.A(d)，得到Φ′存在一个连续逆E*。

2 定理的证明

证明由(F1),(F3),(F4)，则对任意的ε>0，u∈R,存在aε>0使得

(10)

由式(3)和式(10)，则对任意的u∈E有

因此,对每一个u∈E{0}，有

(11)

(12)

其中q被给定在(F2)中。由(F2)、式(11)和式(12)得到

因此，对任意的u∈E有

对每一个u≠0，得到

证明 对任意的0≤r1≤r2，令B[r1,r2]={x∈RN:r1≤|x|≤r2}是一个半径为r1和r2的闭环。因为α∈L∞(RN,R)是α≥0且α≠0的径向对称函数,因此存在实数R>r≥0且α0>0使得

由(F5)，令ξ∈R,对于σ∈(0,1)，定义函数uσ∈E使得

(a)suppuσ⊆B[(r-(1-σ)(R-r))+,R];

(b)对任意的x∈B[r,r+σ(R-r)]有uσ(x)=ξ;

(c)‖uσ‖∞≤|ξ|，

对t∈R，定义t+=max(0,t),

所以当σ无限接近于1时，式(13),式(14)的右边为正的。因此

证明 由(F2)，得

证毕。

证明 显然，E是可分的，自反的以及一致凸的Banach空间。由引理1～引理2，引理4～引理7，得到Φ,Η,Κ满足引理3的所有条件。因此,对每一个λ>λ1，存在e>0使得对每一个μ∈[0,e]，I在E中至少存在三个临界点。易知0是系统(1)的解。因此，系统(1)至少存在两个非平凡解。