阿基米德与圆周率

阿基米德，古希腊数学家，物理学家……

人类最早计算π 的科学方法是古典法——形形色色的“割圆术”．阿基米德被称为割圆术的开山鼻祖．所谓割圆术，就是先作出圆的边数较少的内接正多边形或外切正多边形（有时两者都作），通过计算其边长进而求出周长或面积（有时两者都求），再将正多边形的边数增加一倍，重复上述计算．

要说明的是，圆的内接多边形和外切多边形，可以是正多边形，也可以是一般多边形，实际上用的都是正多边形，因为这样可以简化计算．这里还隐含着一个数学定理：外围更大的凸多边形（包括凸曲线形）的周长更大.

阿基米德计算π 值的大致过程如下：

如图1，O为圆心，AB为圆O的外切正六边形一边的一半，OA为半径，∠AOB=30°，OC是∠AOB的平分线．利用有两式相加，得又由角平分线定理，得即即这个式子与前面（*）式比较得.从这个不等式出发，立刻可以推出圆外切正六边形和外切正十二边形的周长与圆直径之比的上界．（你知道这个上界是多少吗？）

同样的道理，计算正多边形的边长可以确定该比值的下界．（仍以正六边形和正十二边形为例试着证一证吧！）

不断重复上述过程，一直算到正九十六边形，最终阿基米德就得到

（节选自陈仁政著《π 的密码》，有删改）

上期答案

由于构成三角形的充要条件是任意两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边.截成的铁丝最小为1，因此可以放2 个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10.