学科教学如何通过发展学生学习自发性落实“双减”目标——基于一个数学解题指导案例的分析

顿继安， 孙宝英

(1.北京教育学院 数学与科学教育学院， 北京 100044；2.北京市通州区潞河中学， 北京 101199)

中共中央办公厅、国务院办公厅 2021 年印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，着眼于建设高质量教育体系、强化学校教育主阵地作用，要求“有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担。”[1]笔者认为，发展学生学习自发性，减少学生学习任务的“量”，提升学生学习结果的 “质”就成为学科教学落实“双减”目标的重要途径。

数学学科具有“系统化了的常识”[2]序2的特点，这决定了即使是面对新的、有挑战性的数学问题，学生也会产生很多本能性、自发性的反应，这些反应可能使问题顺利被解决，也可能需要他们进一步分析和努力，还可能与成功解决思路背道而驰。需要重视的是，学生学习时产生的自发性反应来自其特有的认知方式和情绪情感模式，其中“隐含着真实的生命脉络”[3]，如果学生真实的思维脉络和情感脉络没有得到关注，那么，他们对数学问题的自发性反应所内蕴的曲折或错误就会被直接否定。他们也就没有机会对自己已有的思维进行审视、修正和优化，也就不能真正理解或认同所学的新知识、新方法及其背后的价值观。学生学习“自发性就是学生在精神上自动发出能量的过程，能焕发出学生的内在的生命活力”[3]，因此，教师应守望学生学习时产生的自发性反应，理解并尊重学生特有的认知方式，引领他们通过对自己自发性学习探索的整理、重组进而找到新的成长点。当学生成功解决问题后油然而生的成就感，使这些艰苦的数学探索过程变得充满乐趣，数学学习将会变得快乐、轻松，也有利于减轻学生的负担。基于此，笔者将通过教师指导一位学生数学解题过程的案例，分析发展学生学习自发性对减负的作用。

一、案例背景：C同学被一道具有挑战性的拓展性作业题难住了却没有放弃

案例的发生缘起于学完“分式运算”后一个有挑战性的问题意外成为学生的作业。

问题1中分式的分子变成了二次式，与学生熟悉的题目相比，解答时需要将该分式变为一个整式与一个分子为整数的分式之和，之后仍然利用分子整数的整除性确定x值。从数学的角度看，问题1与学生熟悉的问题相比变化不大，但从学生认知的角度看，难度却大大增加。第二天的作业反馈表明，大多数学生此题空白未做，一些完成了的学生则表示自己是抄的答案。这种从学生熟悉的基本问题出发逐步综合更多知识产生的变式问题，在数学学习中很常见，它并没有外在的有趣的情境，解答所需的知识学生都已经具备，但根据问题调动已有知识并将之组织为解决问题的思路和步骤的过程却富有挑战性，探索过程也因此而充满趣味。如数学教育家波利亚所指出：“你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的创造力发挥出来，而且如果你用自己的方法解决了它，那么你就能经历那种紧张状态，并且享受那种发现的喜悦。在一个易受外界影响的年龄阶段，这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。”[4]

C同学有很强的学习自主性，他在全校430名同学中通常排在十名左右，最好的一次甚至排名全校第一，数学是他的优势学科。当天下午写作业时被这道题难住的C同学没有放弃，而是来到办公室找T老师寻求帮助，由此发生的故事就是本案例的主体部分。

二、案例呈现与分析：教师以守望和引领作为帮助学生突破难点的基本策略

本研究以T老师对C同学的指导过程作为资料进行分析。资料包括师生的18组对话以及学生回家完成的自主探究作品。为了凸显结构和便于阅读，笔者按照这一过程表现出的明显的三个阶段呈现。

阶段1：面对学生解决挑战性问题受挫而产生的焦虑，教师引导学生发现自发探索的价值，使学生自己找到解决问题的方法。

C：老师，这道题我一点思路都没有！

T：一点思路都没有？不知道从哪里下手吗？那就再看看题目吧？

C：题目中的分式，我能知道分母不为0，“值是整数”不明白，怎么就是整数了啊？

T：你找到了关键所在，就从“值为整数”下手呗！怎么办？

C：联系会的或者学过的知识。

T：非常好啊！那“值为整数”的问题你在哪里见过？或者题目变成什么样是你会做的？

C：“值为整数”就是整除问题，之前做过这样的题，但那些题目的分子都不是2次啊？

T：那就是说，这里边没有谁你就会做了？

C：没有x2就好了！这个我想过了，可是x2它也不能消失啊！

找到T老师的C同学表示“一点思路都没有！” 但这并非客观情况，而是学生遇挫时经常会产生的概括性且与事实并不相符的非理性、情绪化的反应。由于数学知识和数学问题之间的紧密联系性，学生面对新的问题一定会有解决思路，只不过其思路有可能与成功解决问题尚有距离，也可能不会指向成功；但教师如果不清楚学生已有的探索是什么，以及为什么未能成功解决问题，就难以从根本上指导和帮助学生。此时，教师需要发挥的重要作用并非是直接给出答案，而是引导学生回到题目本身，认识自己已有探索的脉络，特别是认识到自己已经进行的探索及其中蕴含着价值的事实。

实际上，C同学已经抓住了“值是整数”这一关键条件，并“联系会的”形成了初步的思路。教师在对学生的已有探索加以肯定和鼓励后继续启发学生：“那就是说，这里边没有谁你就会做了”。其意义在于让学生将自己感到的困扰之处准确地表达出来，从而帮助学生走出茫然和模糊的状态：“之前做过的题的分子都不是2次”，这道题如果“没有x2就好了”,但是“x2它也不能消失啊”。这也让教师准确了解到学生的难点：与其说是认知上的困难，不如说是负面情绪阻碍了他看清事实——并非x2不能消失，而是要找到符合数学逻辑的办法让它消失，认识到这一点，学生的灵感瞬间产生：

T：当然不能无故消失，但“二次方”碍事，咱还是得想办法让它“消失”。有什么办法呢？

C：降次就行！

T：很好！你好像有了思路了，接下来怎么办？

对话过程显示，在C同学突破难点的过程中，T老师并未告知其具体的思路和方法，只是引导他重新认识自己的思维过程，将他从非理性和混沌状态拉回到理性、清醒状态。之后，“降次”这一思路自然产生，进而他已经熟练掌握的用于降次的知识与技能才有了用武之地，继之而来产生了积极的情绪体验：

C：(很兴奋地继续说)老师，我光想着让x2消失了，没想到降次！我一直想着怎么变成0，约分化为整式也是消失啊！

T：看看你多么善于总结啊！

C同学的快乐体验来自问题的成功解决，但更深层的原因则在于他对自己的反思让自己找到了之前未能独立解决问题的原因：由于“光想着让x2消失了”而“没想到降次”。然而，稍显不足的是，尽管他觉察到了自己的思维进入“死胡同”的危害，但却对进入“死胡同”的情绪原因未能觉察。心理学家霍妮说：“要挖掘个人潜能，就要进行自我探索，健康的人能够有效的自我分析”[5]。但T老师并未意识到这一点，否则在肯定C同学“善于总结”外，还可以引导他总结更深层次的内容，比如追问“为什么你光想着让x2消失了，没想到降次？”这样的问题将会引发学生对处于解题困境中的自我情绪的觉察与分析，从而形成觉察情绪的意识，改变被情绪左右的状况。

阶段2：在学生“自己出题、自己解题”时，尊重学生出难题的选择，也得以让学生真正理解解决这类问题的原理 。

C同学解决了一道具体问题，并不一定意味着他理解了解决这类问题的原理。为了解学生的真实情况，有经验的老师都会用新的题目检验学生是否真懂了，而T老师颇具特色的做法是：并未直接出一道类似的题目让学生解，而是让学生自己出题。

T：那你不妨再看看，如果沿着这个思路下去，这题还可以怎么出？

C：嗯，x2的系数不是1。那就比较复杂了！

T：改编得非常好！那你试试能不能解决！干脆就着这道题改吧！

C：行！那就让x2的系数是2吧！咦，2的话可以提公因数，太简单了，换成3吧！

T：可以，随你！不过由简单到复杂有利于问题的解决。

C：我就用3吧！

“沿着这个思路”可以有多个方向的问题产生：一是将分子变为三次式，但三次式的分解并非初中数学的要求，C同学自然选择了另一个方向“x2的系数不是1”。而在本案例中的第三阶段，C同学还主动设计了一道分母为二次式的题目，表明C同学对于常规数学问题的演变规律有着非常清楚的认识，这得益于T老师在平时的教学中经常让学生自己设计题目的做法，通过解决自己设计的题目，提升学生的自发性。

在提出“x2的系数不是1”的问题后，C同学迅速做了评估：“那就比较复杂了”，但他并没有逃避困难，而是主动选择复杂且具有挑战性的问题“(系数是)2的话可以提公因数，太简单了，换成3吧”，此时他表现得非常有主见和自信，即使在T老师“由简单到复杂有利于问题的解决”的提醒下，他仍然选择二次项系数为3的复杂情况。从数学的角度看，与二次项系数为2时问题可以直接看出通过提取公因式转化为熟悉的问题不同的是，二次项系数为3的问题更具普遍意义，其解决方法的获得需要以对一般性原理的理解为基础，也会促进学生对这类问题更为深刻的理解。C同学在自己选择的问题面前再次遇到的困难凸显了这个问题的意义：

T：为什么不能降次了？

C：刚才那个刚好括号里跟分母一样，这个不行了！

问题1的探索历史再次重演。C同学不假思索地对新的问题(记为问题2)做了变形，在没能取得预期进展时，他将其归因于“这个没办法降次了”，由此再次出现非理性情绪，与问题1的探索中“可是x2它也不能消失啊”如出一辙，是其特定反应模式和个性特征的体现。T老师仍然引导他对自己的思维进行分析，使他认识到“刚才那个刚好括号里跟分母一样”这一表象背后的原理：

T：说得好！要“跟分母一样”，为什么？

C：跟分母一样就能约分了。

T：好！那“跟分母一样”就只有配方这一种方法吗？还有什么方法让其变得“跟分母一样”呢？

C(观察后，恍然大悟)：老师，我知道了！我又犯刚才的错误了，这个不一定是完全平方！(继续想了想)3x2-2x+3可以化成(x-1)(3x+1)+4的形式，这样就有x-1了！哈哈，老师我明白了！

T(不由得竖起了大拇指)：你真厉害！

通过肯定C同学思维中有意义的成分，T老师让C同学明晰自己已有思维成果的意义和存在的不足，再次让C同学回到问题本身，认识到“跟分母一样”是外在表现，而“能约分”是目的，为了达到这一目的，需要将分子变为可以与分母约分的式子以及一个常数的和。问题1的特点决定了可以用“公式法”(完全平方)达到目的，而问题2则需要新的手段，由此，解决新问题的方法就找到了， “哈哈”与维果茨基用来描述儿童在终于完全懂得了某个东西后的感受所用“啊哈”一词几乎相同，代表了学生掌握了一个实质性的东西，在发展中完成了转折。[6]T老师希望学生把自己感受到的东西明确化：

T：那你说说，二次项系数不是1时，问题该怎么解呢？

C：把分子拆成分母和另一个式子的乘积，不一定是变成完全平方的样子！

T：“另一式子”似乎还需要再准确些，应该不是随便一个式子吧！

C：嗯，得是整式！要用分母的一次项系数去凑！

“用分母的一次项系数去凑”是C同学的原话，这话不太完整和准确。“凑”的是“另一个式子”的系数，严格地说是待定系数法，需要的也不仅仅是“分母的一次项系数”。但C同学的话表达了其体会到的要点，T老师也领会了C同学的理解，这类问题的探讨就在师生的心领神会中结束了。

阶段3：学生主动提出一个更具挑战性的问题，并脱离教师独立、耐心地解决，发展其学习自发性。

第三阶段起于C同学自己提出的一个新的问题：

C：老师，您说分母如果也是2次的，那还能做吗？

T：你可以试试，从简单一点的入手，先给个特殊的，但是解决方法你心里有数就行！说不定你能归纳出“曹氏定理”呢！

C：是降次，还有约分！

T：降次的方法有了，约分需要什么条件？

C：因式分解。

T：是啊！所以你的分母得能够因式分解才行，否则情况就很复杂了！

C：好的老师，我回去试试。

事后，笔者对C同学做了进一步调查：“怎么想到提这个问题了？”他回答说：“分子是二次的已经完全可以搞定了，那要是再难、再复杂的话，就应该在分母上变了。”他的回答既代表了他对问题发展的学科逻辑的认识，也反映了他的个性特征：不在自己“完全可以搞定”的问题上浪费时间，解决“再难、再复杂”的问题对于自己才是有价值的。

从数的角度看，当分母从一次式变为二次式后，问题的性质发生了变化，因为此时通过代数变换分式不一定能变为“整式+分子为整数的分式”的形式了，已有的方法又不能解决问题了。由于这样的问题在初中并不讨论，T老师也不熟悉，但还是鼓励C同学探究，而且她很自然地用以学生的姓氏命名知识的方法鼓励学生，同时也对解决问题的思路给予了些许指导(从简单的、特殊的出发)，而情绪高涨的C同学则迅速投入到新问题的解决思路上。之后，C同学将自己的探究作品拍照发给T老师，如图1所示(图1中的题目记为问题3)。

图1 学生自主探究作品

探究中，C同学再次发现已有的经验是不适用的，于是尝试使用了三种方法，其中，通过两种方法找到了答案，而一种方法未能成功。尽管C同学给出的两种方法在逻辑上并不严谨，而严谨的逻辑方法需要的知识C同学并不具备，但是这两种方法的运用都需要繁杂而细致的分类，C同学却坚持了下来。这一过程中表现出的灵活、耐心和韧性，与解决问题1时因“碰了南墙不知道回头”而陷入沮丧的状态已经是截然不同了。

三、讨论与结论：教师的守望和引领激发了学生的学习自发性，难题带给学生“不一般的快乐”

“不一般的快乐”也叫“不顺利的快乐”，是指战胜挫折而获得成长的快乐。[7]C同学在这道拓展性问题的解决过程中产生了这种快乐，这与他自己的品质有关，也与教师的教学方式有关。

(一)主动的投入与真正的理解让成为他人负担的难题带给该学生“不一般的快乐”

与其他学生被问题1难住后或者直接放弃，或者直接寻求现成答案不同的是，C同学投入了更多的时间和精力，那么，这道作业题对C来说是否构成了学业负担？当然不是。“学习者主动性的增加会使学习者较少地感到学习是个负担”，而根据学业负担的量化模型“学业负担率=被动投入时间/总投入时间”[8]，以及C同学在这道题目上所花费的时间特别是进一步的延展性问题的探索都是主动投入的这一事实，这个题目并不构成C同学的学业负担。与之相比，那些直接抄答案交作业的同学尽管用时不多，但被动投入的时间占比更大，负担也更大。

学习成为负担的另一个重要的标志是学习引发了痛苦和厌恶。英国哲学家休谟强调：“顺利是快乐的一个必然的来源……但是还有一点：顺利虽然把痛苦转化为快乐，可是当顺利的程度太大，使得心灵的活动变得微弱无力、不足再使心灵继续感到兴奋并提起精神来时，它就把快乐变成痛苦了。”[9]问题1的解决为C同学带来了丰富的情感体验，他的思维力量得以展现，期间多次的情感表达是他产生的“不一般的快乐”的体现。实际上，“快乐程度取决于愿望满足的意外程度”[10]，C同学不仅获得了问题1的解法，还通过问题2的探索理解了问题1解法的本质，并在更为复杂的问题3的探索中表现出了耐心和坚持，显然，意外成为作业的问题1对C同学的发展所起的作用远大于其他学生，较高的学习效益和效率也带来了另一个意义上的减负。

(二)“守望和发展学生学习自发性”是教师发挥作用之所在

到底是什么让这样一道平常的题目带给C同学以不同的意义？不可否认，C同学自身的品质是根本，许多老师认为C同学的品质“是天生的，不是老师培养出来的”，这有一定的道理。的确，学生的人格塑造并非全部在学校完成，特别是某一学段、某一学科的教师所起作用极其有限。但我们也必须看到，案例中T老师通过为学生提供有发展空间的问题，通过引导学生内省而提升学生自我发展的能力，显然进一步发展了C同学的人格。理解了这一点，教师将能够更为自觉地施教，促进学生更为健康的发展。

尽管问题1的布置出于意外，但是当C同学在临近下班来寻求帮助时，T老师明知道这道题有难度，也没有以“这道题太难了，你不用做”为说辞，也没有直接提示学生做法或给出答案，而是尽量让学生自己想；在问题1解决后，又推动学生自己提出新的问题；明知道问题3并非初中阶段的要求，仍然鼓励学生去探索。这都是T老师为C同学提供的发展空间。阿德勒说：“孩子面对的重重困难，再加上他对这些障碍的反应，构成了他的个性”[11]。T老师为学生提供了挑战性问题，在学生遇到困难时，则让其展示自己的自发性反应，引导学生发现蕴含其中的智慧，这有利于学生对自己学习自发性的珍视，也在示范如何通过分析自己的自发性反应即形成“自知之明”而获得成长感。“自知之明与其说是一个内省的过程还不如说是一个成长的过程。”[12]皮亚杰也将对本能反应的反思作为促进认知发展的基本活动。[13]C同学在解决问题过程中的内省，是其获得实质性发展的内在机制。内省让C同学认识到了自己相对固定的反应模式对自己解决问题的阻碍作用，这让他形成更为灵活的反应模式，这是其问题解决能力得以发展的直接原因。

“人类最难做的事情就是认识自己，改变自己”[14]。而T老师对C同学的指导主要在于推动其认识自己。“再创造数学教学法”的提出者、数学教育家弗赖登塔尔说：“学生只需要回忆，教师的责任就是帮助他，教学过程只是引导学生回想他已经忘掉的东西。获得知识只是再发现我本人灵魂深处已有的东西，而并非别人知道的东西”[2]95，这与布鲁纳关于“发现”的说法异曲同工:“与其说是引导学生去发现‘那里发生’的事情的过程，不如说是他们发现他们自己头脑里的想法的过程。”[15]回顾案例中T老师在对话中的全部话语，指向的都是“引导学生发现自己头脑里的想法”,“引导学生回想他已经忘掉的东西”，所起作用即为帮助学生形成“自知之明”，形成更好的自发性。

(三)教师还需要关注学生情绪情感以及人格的发展，从而更好地促进学生发展自发性

“问题是数学的心脏”[16]，解题是数学研究和学习中最重要的活动。数学家季莫维耶夫这样描述问题和“解决问题的过程”带给人的感受：“问题是生活的特征，当然也是数学的特征，好的问题能把心智集中起来：它们的挑战使你懊丧；它们培育雄心，也培育出谦逊；它们暴露出我们的知识的界限，也把更有力的思想的潜在源泉显露出来。与此对照，‘解’字暗示着这种紧张的释放或缓解，所以把这两个字放在一起成为解题，这可能使得天真的人以为会有某种秘籍或者程序，像做按摩似的使得这种不受欢迎的紧张得到舒缓，这是不可能的，不会有这样的秘籍”[17],这提醒数学教师：数学问题的解决过程能够带给学生的，不仅仅是对数学自身的理解，还带动情绪情感及人格的发展，如果教师在关注学生思维发展的同时能够关注这些，将会对学生学习自发性的发展更有帮助。

T老师对学生的指导中鲜有引导学生认识并调控其情绪的言行，事后的访谈中，她也意识到了自己对学生的情绪及情绪的作用关注不够。这也代表了绝大多数数学教师的状况。情绪的觉察与调控对解决问题也有重要影响，也是学生健康自我的重要组成部分。因此，数学教师既要理解解题规律，也要理解并发展学生的自我，才能“不错过学生内心最为纯洁美丽的风景，让孩子们可爱的心灵能在我们的理解中得到滋养”[18]，让学科学习在学生健康人格形成中的价值得以更好发挥。

结 语

守望需要勇气，因为学生自发摸索的学习过程可能很“低效”，而教师在特定时空中必须完成某些教学任务，渴望让学生尽快掌握更好方法、获得更多知识并让学生顺兴而为并不容易；守望更需要智慧，既需要教师能够看到学生可能尚处于一团乱麻中的摸索的价值，也需要善于引领学生通过对自己已有的探索进行整理、重组，找到新的成长点进而成功解决问题并产生自我探索的成就感。但守望是值得的。守望与发展学生的学习自发性会让学生感到真正的被尊重、被关注，由此，学生在数学学习活动中也将会更为全神贯注，焕发出更大的能量和更多的生命活力。