从认知心理视角看学生解题的“会而不对”现象

仝建 徐丽娟

摘    要：针对学生解题中“会而不对”的现象，教师需加强“数学理解”，创造“教育数学”;学生要细化“运算步骤”，减少“误传题意”;学校管理者要科学安排学生的练习时间，着眼于学生的长远发展.

关键词：认知心理;解题;会而不对;数学理解

“会而不对”现象是指解题者能够准确叙述解题中的相关知识，知道解题的流程（或步骤），能够动笔求解，但是却未能求出正确答案的现象.

现代认知心理学认为，一方面人的认知活动是认知要素相互联系又相互作用的统一整体，任何一种认知活动都是在与其相关联的其他认知活动作用下完成的;另一方面，在人的认知过程中，前后关系非常重要，它不仅包括人们接触到的语言材料的上下文关系，客观事物的上下、左右、先后等关系，还包括人脑中原有知识之间、原有知识和当前认知对象之间的关系.

我们收集部分案例，从认知心理的视角寻求导致学生“会而不对”现象的原因，并给出一些减少学生解题“会而不对”现象的策略，以期抛砖引玉.

一、从认知心理视角探究“会而不对”现象产生的原因

（一）错用“错位相减法”

例1   （南京市2021届高三年级学情9月调研第18题）已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn.

（1）在①S1+S3=2S2+2，②S3=[73]，③a2a3=4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中.求数列{an}的通项公式，并判断此时数列{an}是否满足条件P：任意m，n∈N*，aman均为数列{an}中的项，说明理由;

（2）设数列{bn}满足bn=n（[an+1an]）n-1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.

注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【典型错解】我们主要关注第（2）题的错解，错误可以说是五花八门，但主要集中在以下三个方面：一是错位相减时首项或末项运算符号错误;二是项数出错，形如“1+21+22+…+2n-1”的求和计算项数误为n-1项;三是算到-Tn或[12]Tn的结果就结束，没有进一步计算Tn.

【认知心理分析】错位相减法是求 “差比型”数列的前n项和的最为通用的方法之一.这种方法有多处“弯道”，如两式相减时，最后一项的符号与前面各项的符号不同，学生在解题时受到前面连续多项的影响， 在认知上容易产生负迁移，常常写错最后一项的符号.相减后对等比数列求和时，只有在等差数列的首项和公差相等时，中间的等比数列的项数为n，多数情况下，项数为n -1项.由于学生平时解题时，一般都是求数列的前项n和，而此处可能为n 项，更可能为n -1项，先前的解题经验，头脑中原有的认知与当前的认知容易产生冲突，在这里很可能会导致不利的影响，常常会把等比数列的项数标错;将和化简整理为A+（Bn+C） qn型（其中A，B，C为常数，q为等比数列的公比）的过程中，其中涉及去括号与添加括号，特别是括号前为负号时，由于需要关注到括号内各项的符号，若学生的注意力分配不够，也容易导致顾此失彼，去添括号时，其中的某一项的符号未处理，导致错误.

我们注意到笔者所在学校的T老师所教班级此题的均分处在前列（年级第二），而总均分为年级第五.我们选取与T老师所教班级均分最接近的S老师所带班级，进行统计分析.

T老师教学班级数学均分为86.23分，此题的均分为8.49分 ，第二问3.62分 . S老师教学班级学生数学均分为87.52 分，此题的均分為 7.35分，第二问2.91分;近两个月内的各次考试中，S老师教学班级学生数学均分都高于T老师教学班级，但这道题的均分明显低于T老师教学班级.

笔者对“第二问满分人数”与“不同老师”是否有相关性进行数据统计与分析，见表1.

根据两联表，我们采用SPSS统计软件计算统计量K2=4.57>3.841，所以有超过95%的把握认为“学生对于错位相减法的掌握程度”与“教师对这一问题的教学方式”有关.

（二）误解题意

例2   （2018年高考全国Ⅱ理数第12题改编为填空题）已知F1，F2是椭圆C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为[36]的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为

.

【错解】记F1F2=2c， 因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=2c， PF1=[23]c，根据椭圆定义得 PF1+PF2=2a， 所以有2[3]c+2c=2a，得C的离心率为[3]-1.

【评注】午练是当前不少学校的必做项目，利用午休前大约30分钟左右的时间进行限时练习，可以视为一次微型的考试.在这一次午练中，学生此题的出错率达[1142]，个别访谈了解到主要的错误是审题出错，误认为P在椭圆上.学生自行增加题目的已知信息“点P在椭圆上”，且在解题过程中没有用到“斜率为[36]”的条件，导致上面的错解.

【认知心理分析】事实上，在此次午练前几天的一次练习中出现过下面的题目：已知F1，F2是椭圆C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在椭圆上，且△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为         . 此题与午练中的题目极其相似，学生高错误率也就不甚奇怪了，头脑中的前几天解题痕迹在这里产生严重的干扰作用，导致学生误解题目信息.此外中午的时间，学生刚刚吃完午饭，常会产生睡意，困倦状态下的头脑认知的广度会下降，容易导致“会而不对”现象.

（三）简单题高错误率

例3   （2014年江苏卷第1题改编，双周测试题1）已知集合A={ -2，-1，3，4  }，B=

{-1，2，3 }，则A∩B中元素的个数为        .

【错解】 {-1，3 }.

【评注】这是学生在跑操后做的周测第一道题. 备课组的教研反馈显示四楼班级的学生的错误率20%，二楼班级的错误率为15%（四楼为最好层次班级，二楼为最弱层次班级）.简单的题目，不论是层次高的班级还是层次弱的班级都有让教师出乎意料的错误率， 并且好学生的解答正确率不如弱学生，原因在哪里呢？

【认知心理分析】通过对出错学生的访谈，我们了解到大多数学生看错了题目，误把“A∩B中元素的个数”看成“A∩B”，遗漏了“A∩B”后面的信息，导致错解为{-1，3 }. 前面几次的综合练习中，集合题都是求“A∩B”或“A∪B”，先前的解题认知在此题的解答时产生干扰，导致“会而不对”现象，错误率超出教师的预期.此外四楼班级的学生跑操最迟结束，最后回到教室，到达教室后立刻开始周测.而二楼班级的学生跑操最早结束，最早到达教室，休息调整2分钟之后才开始周测.身体上的疲倦会导致认知的准确性降低.就如开车，疲劳驾驶会导致更高的事故率. 认知的准确性降低势必容易导致“会而不对”现象.

（四）看错数

例4   （南京市2020届高三年级第三次模拟考试附加题第1题）已知矩阵A=[1  -1a   0]，a∈R.若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-2）.（1）求矩阵A;（2）求点Q（0，3）经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标.

【错解及认知心理分析】本题的难度系数为0.88.这也是一道简单题，但学生仍然有一定出错的比例，多数是看错数字，比如第（1）问正确，在第（2）问中把矩阵A中个别数字抄错，导致解题错误.我们通过调取错解案例，对产生错解的学生进行个别访谈，了解到学生能够知道这道题目的解题方法，能够准确表述矩阵乘以点（或向量）的公式. 但是由于必做卷的两个小时的投入，头脑产生疲倦，导致诸如“看错数”等低级错误.

学生解题的“会而不对”现象，产生的原因有很多.我们从认知心理的视角看，主要有三个方面的原因：一是解题过程中的认知干扰，比如，例1中进行错位相减的最后一项时容易受到前面的“惯性”认知，写错符号;二是先前的解题经验在认知上有时会产生副作用，导致对当前解题产生干扰，比如例2和例3中的“误解题意”;三是学生当下的解题状态不佳时也容易导致“会而不对”现象，比如例2午练中“睡意”，例3跑操后身体上的“疲惫”，例4前两个小时的必做题，尤其是第19、20题消耗了学生的体力和脑力，导致头脑“疲倦”.

二、从认知心理视角看减少“会而不对”现象的对策

学生产生“会而不对”现象的案例主要为容易题和中档题.根据学生产生“会而不对”现象的原因，笔者认为可以从以下几个方面减少学生的“会而不对”现象.

（一）教师需加强“数学理解”，创造“教育数学”

对于高中数学教师而言，教好数学首先就要准确深入地理解数学，否则就无法对学生进行有效的指导，与学生进行解题交流时就会“捉襟见肘”，缺少章法，也缺少底气. 数学教育要靠数学科学提供材料，对材料进行教学法的加工使之形成教材（教学的材料），这属于教育數学的任务.把学习数学比作吃核桃，教育数学就要研究怎么改良核桃的品种，让核桃的壳更薄，更好砸，营养更丰富，体现在数学上就是研究、改造、优化教学内容.

对于差比型的数列问题，根据例1的数据分析，笔者发现S老师和T老师的教学效果存在差异.通过对S老师和T老师的访谈，我们发现，T老师对错位相减法的理解更加深刻，比如运算结果进行了一般化的研究.T老师对步骤的归纳更加清晰，比如补0对齐，可以有效减少前面n项作差导致的认知干扰. 自然T老师给予学生的指导更为有效. 可以说T老师对“错位相减法”进行了“教育数学”.

（二）学生要细化“运算步骤”，减少“误传题意”

学生解题的“会而不对”现象，主要表现为两个方面：运算错误与误传题意.

由于部分学生的短时记忆能力不佳，心算能力较弱，导致计算的错误率较高. 有序的书写，在运算的拐弯处（比如去负括号、等式两边同乘以一个非零数等），适当细化运算步骤，多写几行草稿，这样增加一种视觉刺激，认知的准确就会提高，计算的错误率就会下降. 比如在例1中错位相减法求和的最后一步，整理的过程就可以多写几步.

准确理解题意是正确解题的前提. 学生在解题时更容易受到先前类似信息的干扰，产生认知错误. 因此读题时更需放慢速度，动笔作适当圈画，多重感官协调，减少“误传题意”. 同时需注意解题过程的监控，包括解题速度的监控，也包括解题结果的监控.  在平时的数学学习中，适当对问题进行主动变式， 增强对相似问题的辨别力. 在错题本划出专门 “会而不对”类问题专区，归纳整理，增强对此类错误的长久免疫力.

（三）学校管理者要科学安排学生的练习时间，着眼于学生的长远发展

疲倦状态下的头脑是很难有效吸取知识的，同样疲倦状态下的头脑也很难有效解题.比如学生在午练中“会而不对”现象的比例会高于平时的解题.学校的管理者不应让学生打疲劳战，追求解题的数量，牺牲解题的质量. 在新的高考背景下，耗时间打疲劳战无法赢得良好的高考成绩，更无法提升学生的数学核心素养，也不能落实立德树人的根本任务. 这要求学校管理者要科学规划学生的练习时间与休息时间，着眼于学生的长远发展.