数学建模在高中数学课堂教学中的实践*——“数据拟合”的课例及反思

江苏省无锡市第一中学(214031) 何晨良 刘 峰

《普通高中数学课程标准(2017 版)》(以下简称“课标”)指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世界的抽象,基于抽象结构,通过符号运算、形式推理、模型构建等,理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.数学与人类生活和社会发展紧密关联.数学不仅是运算和推理的工具,还是表达和交流的语言.数学承载着思想和文化,是人类文明的重要组成部分.数学是自然科学的重要基础,并且在社会科学中发挥越来越大的作用,数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展,人们获取数据和处理数据的能力都得到很大的提升,伴随着大数据时代的到来,人们常常需要对网络、文本、声音、图像等反映的信息进行数字化处理,这使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展.数学直接为社会创造价值,推动社会生产力的发展[1].”

2019年11 月29-30 日,“全国第12 届数学方法论与数学教育学术研讨会暨MM 课题实施30年纪念活动”在江苏省无锡市第一中学举行,笔者展示了一节“数据拟合”的观摩课,荣获课堂观摩一等奖,受到了与会专家和老师的好评,现将课堂教学实录分享给大家,望请指正.

本文中所用图形计算器型号为HP Prime,以下简称图形计算器.

1 课堂实录

1.1 引入

教师: 现实世界中的实物都是相互联系、相互影响的,反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系.这些关系的发现,通常是通过试验或实验测定得到一批数据,在经过分析处理得到的.

数据拟合就是研究变量之间这种关系,并给出近似的数学表达式的一种方法.

我们不妨从具体问题体验一下数据拟合的过程,首先我们来看下例1.

1.2 例题示范与探究

例1下表给出了八大行星离太阳的距离和他们运行的周期,试建立这两组数据之间的关系.

水星金星地球火星土星木星天王星海王星距离/1066km 57.9 108.2 149.6 227.9 778.3 1427 2870 4497周期/d 88 225 365 687 4329 10753 30660 60150

教师: 你能否用数学的语言将问题翻译一下?

学生1: 如果把距离看成横坐标,周期看成纵坐标,这8组数据就是8 个点的坐标,题目就是问这8 个点满足的函数解析式.

教师: 到目前为止,我们已经学习过哪些函数模型?

学生2: 我们目前学习过的函数模型有: 一次函数模型:y=kx+b(k ̸= 0);反比例型函数模型:二次函数模型:y=ax2+bx+c(a ̸= 0); 三次函数模型:y=ax3+bx2+cx+d(a ̸= 0); 指数型函数模型:y=b·ax+c(b ̸= 0,a ＞0 且a ̸= 1); 对数型函数模型:y=mlogax+n(b ̸=0,a ＞0 且a ̸=1);幂函数型函数模型:y=axn+b(a ̸=0,n ̸=1).

教师: 在图形计算器中按Apps 键进入主菜单,在主菜单中点击双变量统计,按Mun 键,在C1 中输入距离的前7 个值,再依次在C2 中输入周期中的前7 个值(图1),点击Plot键,得到了散点图(图2).

图1

图2

教师: 由这7 个点的趋势,我们可以尝试选择哪个或哪些函数模型来拟合? 老师示范操作时只输入了7 个点的坐标,第8 组数据并没有输入,为什么?

学生: 可选择二次函数、三次函数、指数型函数、幂函数型函数拟合.

教师: 点击Symb 键,从图形计算器拟合的图像上看(图3-图11),除指数型函数模型明显不符外,其他函数模型都用可能,那到底哪个函数模型更合适呢? 现在大家知道老师留着第8 组数据的用途了吗?

图3

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

学生: (齐答)检验.

教师: 我们用第8 组海王星的数据去验证, 按CAS 键,按1 双变量统计, 按2PredY键, 输入4497, 用二次函数拟合得到64292.2, 用三次函数模型拟合得到54719.9, 用幂函数模型拟合得到60108.0(图11),由这些数据,你能找到最为合适的函数模型了吗? 题中两组数据的关系如何表达?

图11

学生4: 很明显用幂函数模型模拟计算海王星的周期值60108 与60150 最为接近, 也就是说用幂函数模型模拟出的结果最好, 用幂函数模拟出的解析式为y= 0.20019066x1.49948104≈0.2x1.5.也就是说题中所给两组数据近似满足周期≈0.2×x1.5(x表示距离).

1.3 归纳数据拟合的步骤

教师: 对于实际问题,我们首先要对问题中变化过程进行分析,收集相关数据,结合例1,我们可以小结出数据拟合的一般步骤:

(1)收集数据;

(2)作图: 根据已知数据,画出散点图;

(3)选择函数模型: 一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似的图像特征,找出几个比较接近的函数模型尝试;

(4)求出函数模型: 求出(3)中找到的几个函数模型的解析式;

(5)检验: 将(4)中找到的几个函数模型进行比较、验证,得到相对合适的函数模型;

(6)应用: 利用所求出的函数模型解决问题.

1.4 知识链接

函数y= 0.2x1.5,这其实就是天文学、物理学中非常重要的开普勒第三定律的数学表达式,它揭示了“公转时间的平方与平均距离的立方成正比”这一天体运动规律.

开普勒(Johannes Kepler,1571年-1630年),德国杰出的天文学家、物理学家、数学家.他以数学的和谐性探索宇宙,在天文学方面做出了巨大成就.

开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述: 绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量.

常见表述: 绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方(R3)跟它的公转周期的二次方(T2)的比值都相等,即=k,k为开普勒常数,这是一个只与被绕星体有关的常量.

其中开普勒求直线斜率的放法是最小二乘法,最小二乘法也是数据拟合的最基础的方法,用最小二乘法解决线性回归方程是我们高二将要学习的内容.

1.5 小组探究、展示

问题: 今年11 月12 日凌晨,当阿里巴巴集团宣布2019年11 月11 日天猫双十一购物节全天销售额为2684 亿时,11月12 日当天有很多媒体质疑天猫双十一数据造假,老师收集了2009年至2018年这10年里天猫双十一的销售数据,数据如下:

年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018销售额/亿0.5 9.36 52 191 350 571 912 1207 1682 2135

请同学们用以上数据建立适当的拟合模型,试说明天猫双十一数据是否有造假嫌疑.

学生5: 我们组将2009年至2018年这10年的销售数据作为10 个点的坐标,用图形计算计算器分别尝试拟合了二次、三次函数、幂函数、指数函数模型,其中用二次函数模型拟合的解析式为y ≈30.09x2−94.15x+70.36,用此解析式计算的2019年的销售额为2675.6 亿,用三次函数模型拟合的解析式为y ≈0.1562x3+27.513x2−82.266x+56.963,用此解析式计算的2019年的销售额为2688.9 亿,2675.6 亿、2688.9 亿都比较接近天猫公布的销售额2684 亿,我们小组认为部分媒体的怀疑有一定道理.

教师: 从数据上看部分媒体的怀疑确实有一定道理,但若天猫的数据没有造假,根据大家拟合的函数,我们还能做些什么?

学生6: 用拟合所得到的二次函数计算2020年的销售额为3273.5 亿,用拟合得到的三次函数计算2020年的销售额为3301.5 亿,我们可以预估2020年天猫的销售额将在3270至3300 亿之间.

1.6 课堂小结

这节课我们从一个具体的数据拟合实例出发,探索数据拟合的一般流程.一个完整的数据拟合过程至少要包括作图、选择函数模型、求解函数模型、检验这4 个步骤.从我们解决的实际问题来看,数据拟合既可以在基础学科中起到辅助作用,又可以对对生产生活进行预测或控制.

希望通过这节课的学习,我们可以学会用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界,将数据拟合应用到更广阔的的学习、生活中去.

2 教学反思

2.1 核心素养不应停留在口号上

“课标”指出“数学学科核心素养包括: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”随着信息技术的飞速发展,数学辅助工具在教学中的运用逐渐受到重视,尤其在目前大数据时代背景下,在重视数学建模的基础上,在教学中借助数学辅助工具将为学生探索数学提供新的机会.

核心素养不是教师教出来的,而是在问题情境中借助问题解决的实践培育起来的[2].整节课,师问生答,从例题的教师示范,学生模仿,再到练习的完全由学生小组探究,课堂逐步由“牵着学生走”变为“放开手让学生自己走”,由“教师主导”向“以学生为中心”转变,实现学生的自主学习,这也是课堂教学迈向核心素养的关键一步[3].

2.2 对数学建模课程的思考与建议

新课标对数学建模的要求,表明下一级段将在高中阶段全面推进数学建模的教学, 但对于全国绝大部分高中而言,数学课程任然处于起步阶,很多一线教师将“应用题的练习”等价于“数学建模”,不能理解数学建模的内涵.另一方面,很多参与数学建模的教师普遍感觉可用的数学建模资源不够,使他们在教学中有“巧妇难为无米之炊”之感[4].

针对以上思考,笔者给出以下两点建议:

第一,各高中学校加强对数学建模校本课程的开发,教师在平时的教学过程中重视适合高中生的数学建模素材的积累与案例的开发;

第二,加强图形计算器等数字工具在数学建模中的运用,促使其对学生的学习产生积极的影响.