一阶动态电路暂态过程分析及其仿真测试

付 扬，宋 磊

（1.北京工商大学 计算机与信息工程学院，北京100048；2.安标国家矿用产品安全标志中心，北京100013）

0 引 言

含有动态元件电容或电感的一阶电路，换路后一般要经历暂态过程才能达到新的稳态。在实际工程中，认识和掌握暂态过程这一物理现象的规律具有很重要的意义。

传统实验室研究一阶电路用双踪示波器观测，存在以下弊端：其一是不能同时观测电阻和电容输出波形，因为需要将观测的元件与电源共地，所以需要重新改接电路分别观测，同时元件参数变化时，也要重新改变电路，使得操作繁琐；其二是不能将不同输出、不同元件参数的波形集于一体观测，使得对一阶电路暂态过程规律显示不够全面直观和清晰；其三是对于正弦激励，示波器观测不到暂态过程，使得对产生的过电压缺乏认识，从而不能防范其危害[1]。

Multisim仿真是对电子电路设计、电路功能测试的现代实验手段，其提供了功能全面、高效、一体化的设计环境，方便完成电路设计、多种电路仿真分析和功能测试，如同真实实验环境一样；而分析功能之全是真实实验环境所不及的，可以非常方便有效地完成对电路的设计和仿真分析[2]。

将Multisim用于一阶RC电路暂态过程中，解决了实验室研究的弊端。利用Multisim参数扫描分析的功能，自定义观测所有元件的输入/输出波形，并同时可以根据R，C参数变化分析对输出的影响；利用其瞬时分析仿真功能，实现了正弦激励下暂态过程的测试，使得实际应用中合理选择参数，规避过电压的发生，同样可以分析RL电路过电流的发生，以实现动态电路设计和应用的高可靠性[3]。

1 一阶RC电路理论分析

1.1 一阶RC电路的求解

一 阶RC电路如 图1所示，t=0时开关K闭合，根 据KVL和电容的特性方程，可得到换路后的RC电路的一阶微分方程：

图1 一阶RC电路

该微分方程的解在t≥0时，由特解RTT和齐次微分方程的通解组成u′C(t)，通解又称暂态解，即其解为uC(t)=u′C(t)+u″C(t)=uC′(t)+Ae-tτ，通解中的积分常数A可由初始条件确定，若uC(0+)表示电容电压换路后的初始值，u′C(0+)表示特解的初始值，时间常数为τ=RC，得A=uC(0+)-u′C(0+)，因此有微分方程（1）的解为：

若电源为恒定激励，稳态解为u′C(t)=u′C(0+)=uC(∞)是一常数，由式（2）得：

即需要知道三个要素：初始值uC(0+)、稳态值uC(∞)、时间常数τ=RC。

若正弦激励，稳态解为正弦稳态分量，u′C(t)=uC(∞)，由式（2）得：

则需在前面三个要素的基础上，增加一个要素：稳态解[4]的初始值u′C(0+)。

1.2 方波激励下的响应分析

脉冲信号和正弦信号是动态电路常用的激励。观测脉冲信号作用下的响应时，微分电路和积分电路是两种典型电路。

1.2.1 微分电路

图1 中方波信号源周期为T，当t≪T2时，暂态过程快，此时电容器充放电快，电压很快达到稳态值uS，即uC≈uS，则即电阻输出电压与激励的微分成正比，此时电阻电压出现尖峰脉冲信号，电容很快充放电结束。

1.2.2 积分电路

当t≫T2时，暂态过程缓慢，电容器充放电慢，即uR≈uS，则，即电容输出电压与激励的积分成正比，电容输出电压为三角波，t越小，上升或下降斜率越大[5]。

1.3 正弦激励下的响应分析

设uS=Usinsin(ωt+φS)，正弦电路接通后，一般要经过4τ～5τ的时间后，暂态解基本消失，电路可进入正弦稳态，进入正弦稳态后，电路所有电压、电流均受正弦交流电源的控制，均为与电源同频率正弦波，故稳态解可用相量法求解[6]。

电容电压相量为：

由上式得电容电压正弦稳态的幅值和初相：

所以正弦激励的正弦稳态分量为u′C(t)=UCmsin(ωt+φC)，代入方程（4）得t≥0时，微分方程（1）的解为：

从式（7）可以看出，暂态解与电压初始值、信号源初相以及电路参数RC有关，t越大，相同时间暂态解的值越大。当电路参数一定，在一定条件下将出现过电压情况的暂态过程。下面根据电容的初始值不同，分析式（7）暂态过程的过电压：

1）若u(0+)=0 V，φC=±90°，此时由式（6）得电源初相如式（8）：

由式（7）得电路的响应：

由式（9）可见暂态过程将出现过电压现象，过电压将发生在接近半周期处，其值还与电路的时间常数有关[7]。

2）若u(0+)=UCm，φC=-90°，则由式（6）得φS=-90°+arctan(ωRC)，由式（7）t≥0得：

可见同样在接近半周期处，将出现过电压。

2 方波激励下的暂态过程仿真测试

在Multisim下构建图1电路，取方波激励峰-峰值为UP-P=-3～3 V，频率f=1 kHz，周期为T=1ms。分别选择t≪T2和t≫T2分析电阻和电容输出仿真波形，研究暂态过程。

2.1 微分电路仿真测试

取t≪T2，在方波的正值、负值期间，都相当于是在直流恒定电源作用下的一阶电路，由于时间常数小，电容器充电过程相当于在恒定电源3 V作用下，由-3 V充电到3 V；电容器放电过程相当于在恒定电源-3 V作用下，由3 V放电到-3 V。充电暂态过程可由三要素式（3）计算充电时间为τ时的电容电压，计算得uC(τ)=0.792 V，据此可由仿真确定时间常数τ。

选择Multisim下参数扫描分析仿真（Parameter Sweep），并设定相应选项，结束时间选2 ms，分析时电容参数固定在3 300 pF、设定电阻元件参数变化分别为10 kΩ、30 kΩ时扫描，仿真Output选择为观测信号源、电阻电压和电容电压波形。实现参数扫描仿真波形如图2所示，图中波形为：①方波输入；②③电阻为10 kΩ、30 kΩ时电阻输出；④⑤电阻为10 kΩ、30 kΩ时电容uC输出。

图2 电阻参数扫描时所有输入/输出电压波形

由图2可以看出，任何时刻都满足KVL，即在10 kΩ时②+④的波形，在30 kΩ时③+⑤均等于输入①的波形。②③电阻电压为激励的微分，在±3 V换路瞬间发生跃变，出现为尖峰脉冲，电阻越小，波形越尖锐。④⑤电容输出在换路瞬间无跃变，充放电分别为-3 V→3 V和3 V→-3 V，t越小，上升或下降越快，越接近于激励方波，可见其仿真与理论分析一致[8]。

将uC波形拉开取uC(τ)=0.792 V时，即测量对应的时间常数τ。

2.2 积分电路仿真测试

方波信号源参数同上，积分电路选择参数若为R=30 kΩ，C=0.33μF，τ=RC=9.9 ms，电容电压输出为激励的积分。

用Multisim参数扫描仿真，电容不变，电阻分别为10 kΩ和30 kΩ扫描，输出波形如图3所示，①②分别为电阻10 kΩ、30 kΩ时电容输出，可以看出，τ越小，积分速度越快，上升和下降越陡，与理论分析一致[9]。

图3 电阻参数扫描时电容输出波形

由图3可见，Multisim仿真功能强大，同时可观测电路中电源输入、各个元件输出及不同参数的动态电路响应，全面直观地显示了脉冲激励下暂态过程的规律。

3 正弦激励下的暂态过程仿真测试

在Multisim下构建图1电路中，信号源取正弦信号，其参数为Usin=30 V，f=1 kHz，则激励为uS=30 sin(ωt+φS)V。选元件参数R=2 kΩ，C=1μF，由此得时间常数为τ=2 ms，由前面理论分析代入式（5）得电容电压稳态幅值UCm=2.38 V。

在Multisim中选择瞬时分析（Transient Analysis），在Analysis Parameters选项中的Initial Conditions下拉菜单中，选择User-defind，每次仿真分析前，要设定电容器的初始条件[10]，下面为过电压仿真测试。

1）若uC(0+)=0 V，φC=±90°，由式（8）、式（9）得信号源初相和电容电压：

uC(t)是两个倒相的正弦函数分别与指数函数的叠加。

当φC=90°,φS=175.45°，采用Multisim的Transient Analysis实现仿真，结果如图4所示。由图4游尺读数，当t=0.458 51 ms时，即接近半个周期时，电容电压为-4.175 7 V，在近似5τ时，暂态过程结束，达到稳态值2.313 4 V，过电压最大值是稳态时幅值的1.8倍。当理论 计 算 时，取t=0.458 51ms，uC(0.458 51)=-4.19 V。同理可得φC=-90°,φS=-4.55°仿真，其与图4波形倒相，取t=0.458 51 ms，uC=4.19 V。可见仿真与理论一致。

图4 当uC(0+)=0 V，φS=175.45°时过电压测试

2）取u(0+)=UCm，φC=-90°，此时可以由式（6）得φS=-4.55°，由 式（10）可 得uC(t)=2.38 sin(ωt-90°)+2×2.38e-tτ，仿真结果如图5所示，由仿真可见在接近半周期处，即游尺读数在t=0.450 928 4 ms时出现最大值6.067 2 V，超出了稳态幅值的2倍多，在近似5τ时，达到稳态值2.371 3。当理论计算时，取t=0.450 928 4 ms，得uC(0.451)=2.549UCm=6.067 V，可见仿真结果与理论一致。

图5 u(0+)=UCm，φS=-4.55°过电压测试

由图5可知，Multisim仿真实现了正弦激励下的暂态过程测试，清晰可见过电压的发生，当电路参数和初始值一定时，过电压发生与初相φS有关，不同时刻合上开关，信号源初相φS会不同，当满足一定条件时，会发生过电压，实际工程中应予以规避。

4 结 语

通过现代Multisim电子电路仿真技术研究一阶动态电路的暂态过程，可以看到Multisim仿真解决了传统实验室研究的弊端，仿真研究比实际测试的功能齐全、测试方便，可以全面直观地研究一阶电路暂态过程的变化规律。该一阶电路的仿真研究可以使得更加有效利用暂态过程的变化特性，如应用微分、积分电路获得多种需要的波形；正弦激励下的暂态过程测试弥补了实验室不能测试缺陷，可以有效避免过电压产生的危害，这在工程上有着十分重要的意义，如在接通空载电缆时，应避免过电压的产生。

仿真结果表明，Multisim对一阶电路的研究准确全面、方便直观、效果理想，Multisim仿真对电路设计和测试提供了一种有效的方法和手段。